一道高考線段比值問題的一般化推廣

福建省廈門第一中學 (361003) 陳 恬

1.試題解析

2022年全國甲卷數學第16題考查解三角形、函數最值等內容,考查直觀想象、數學運算、邏輯推理等核心素養.

圖1

2.試題轉化

圖2

圖3

注意到此處要對2x-1的符號進行討論:

圖4

這個結論非常優美,幾何構造也非常簡單,從直觀上很容易想到背后可能存在更一般化的幾何性質.進而思考當線段的比值改變或夾角改變的情況下,結論是否成立.

3.一般化推廣

3.1 推廣結論的驗證

分析：由于給出的條件是一般化的,結論是否成立還不確定,想要從平面幾何直接處理是有難度的,采用解析幾何運算來定量分析;又考慮到需要找到點A的位置,因此借助直線參數方程來解決.

解析：如圖5,以D為原點,以BC為x軸,建立平面直角坐標系.設B(-m,0),C(n,0).先考慮特殊情況:

圖5

結合參數方程的幾何意義,進而探究t1,t2的具體涵義.

我國歷史上最大的一部大型叢書是乾隆三十七年（1772年）下詔纂修的《欽定四庫全書》。《四庫全書》編成后，共抄寫七部，分別建立七座藏書樓進行收藏，總稱為“四庫七閣”。 其中，紫禁城的文淵閣、奉天故宮（今沈陽）的文溯閣、圓明園的文源閣、承德避暑山莊的文津閣被稱為“內廷四閣”。 鎮江金山寺的文宗閣、江都大觀堂（今揚州市）的文匯閣和杭州西湖行宮的文瀾閣，被稱為“江浙三閣”。

推廣結論如圖6,在△ABC中,已知邊BC上一點D,BD=m,CD=n,∠ADB=θ,其中m≠n且0°<θ<180°.則

圖6

當然,可以將θ為直角時的情況看作圓心E在無窮遠處,半徑為無窮大,則A1對應是D點,A2對應無窮遠點處.

3.2 推廣結論的平幾探索

上述方法雖然能夠準確得到取值的變化規律,但對于只求最值的問題來說相對復雜.在得到結論的基礎上,嘗試用平面幾何方法找出最值位置.

圖7

圖8

同理可得當θ為鈍角時的情況.

4 結語

直觀想象核心素養是高考考查的重要內容,幾何中的最值問題往往存在一個更一般化的幾何性質作為命題背景,教師與學生在日常教學中不應只停留在解出問題的表面,還應該鼓勵師生進行深入探索,培養堅忍不拔的探索精神,形成做研究的習慣,促進數學學科素養的提升.