聚焦本質試題分析 立足教材變式研究*
——以2023年全國新高考Ⅰ卷理科第21題為例

內江師范學院數學與信息科學學院 (641100) 王 雪 余小芬

概率問題作為高中數學統計與概率領域的核心內容,是高考考查的重點.2023年全國新高考Ⅰ卷理科第21題在數學知識交匯處命題,綜合考查全概率公式、隨機變量及其分布、數列通項、求和等主干知識,展現內容主線、突出學科本質、凸顯數學思維,是一道立意新穎、構思巧妙、研究價值強的典型試題.下文對該試題進行立意、背景、解答及變式分析,以期給教師教學一些啟發.

試題呈現甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規則如下:若命中則此人繼續投籃,若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽決定第一次投籃的人選,第一次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

(Ⅰ)求第2次投籃的人是乙的概率;

(Ⅱ)求第i次投籃的人是甲的概率;

1 試題立意

試題是知識和能力的載體,它體現著考試的目的和內容.[1]從知識考查看,21題以馬爾科夫鏈為背景,以全概率公式為核心,包含互斥事件、概率的加法和乘法公式、離散型隨機變量及其分布列、數列遞推公式求通項公式、數列求和等高中主干知識,涉及構造法、待定系數法、公式法、類比等重要數學方法,蘊含分類討論、化歸轉化、整體等數學思想,體現了數學知識和方法的基礎性和綜合性.從能力考查看,21題考查數學建模(識別全概率模型、理解兩點分布模型)、邏輯推理(理清事件間關系、用構造法及待……