基于素養(yǎng)導(dǎo)向的新高考復(fù)習(xí)創(chuàng)新教學(xué)實(shí)踐
——讓學(xué)生由“做題者”向“命題者”轉(zhuǎn)變

徐 樸 (郵編:230071)

安徽省合肥市第八中學(xué)

張永超 (郵編:230071)

安徽省合肥市教育科學(xué)研究院

隨著《深化新時(shí)代教育評價(jià)改革總體方案》和《中國高考評價(jià)體系》的貫徹落實(shí),“改變相對固化的試題形式,增強(qiáng)試題開放性,減少死記硬背和‘機(jī)械刷題’現(xiàn)象”“強(qiáng)化基礎(chǔ)考查,突出關(guān)鍵能力,加強(qiáng)教考銜接,服務(wù)‘雙減’政策實(shí)施,助力基礎(chǔ)教育提質(zhì)增效”,已成為高考命題的顯著特點(diǎn).

為了積極應(yīng)對素養(yǎng)導(dǎo)向的命題要求,契合教考銜接的命題趨勢,在高考復(fù)習(xí)時(shí),必須重視課本的基礎(chǔ)性作用,深入挖掘教材內(nèi)涵,引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對教材典型例習(xí)題、復(fù)習(xí)參考題和高考真題的分析研究;必須變革教師一言堂的高三復(fù)習(xí)教學(xué)模式,圍繞主干知識和核心內(nèi)容設(shè)計(jì)問題串,按照學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)與思維特點(diǎn)設(shè)計(jì)教學(xué),讓學(xué)生通過閱讀理解、深度思考和自主探究,尋求解決問題的思路和方法,全面提升學(xué)生的“四基”“四能”.

在高考復(fù)習(xí)教學(xué)中,應(yīng)該注重引導(dǎo)學(xué)生對典型問題進(jìn)行深度挖掘,讓他們嘗試對例習(xí)題的條件、結(jié)論作必要的拓展和變化,努力讓學(xué)生從被動的“做題者”轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃拥摹懊}者”,不斷發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),形成主動提煉、善作變式、自覺挖潛的學(xué)習(xí)習(xí)慣,為此,我們作了如下一些有益的實(shí)踐和探索.

1 教師選定母題,學(xué)生改編拓展

用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)是高考的必考內(nèi)容,既是重點(diǎn)也是難點(diǎn),為此,在進(jìn)行《導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用》復(fù)習(xí)時(shí),一方面注重知識結(jié)構(gòu)的梳理和完善,重視一般思路與方法的理解和應(yīng)用;另一方面注重對課本經(jīng)典例習(xí)題的內(nèi)涵挖掘與利用,努力讓學(xué)生在吃透原題情境與考查要點(diǎn)的基礎(chǔ)上,對原題條件和待求結(jié)論進(jìn)行變化和改進(jìn)、拓展和延伸,通過設(shè)計(jì)一個個開放性問題,探究新問題的解題方法與策略,并與原題及其解法進(jìn)行對照,發(fā)現(xiàn)異同,總結(jié)提煉.

母題1求函數(shù)f(x)=x2-2lnx的單調(diào)區(qū)間.

引導(dǎo)1回顧用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的解題步驟,將問題改造成含一個參數(shù)的求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題.

師: 若在函數(shù)解析式中適當(dāng)添加一個參數(shù)a,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,你將如何改編、如何解答?

變式1求函數(shù)f(x)=ax2-2lnx(a∈R)的單調(diào)區(qū)間.

變式2求函數(shù)f(x)=x2-2alnx(a∈R)的單調(diào)區(qū)間.

變式3求函數(shù)f(x)=x2-2lnx+a(a∈R)的單調(diào)區(qū)間.

課堂上學(xué)生給出了多個變式,這里只選取了具有代表性的三個變式,供同學(xué)們在課堂上研究解答,其他變式由學(xué)生課后作為作業(yè)或小組討論解決.

設(shè)計(jì)意圖添加一個參數(shù)后,引導(dǎo)學(xué)生深入體會參數(shù)在解析式中不同位置帶來的函數(shù)單調(diào)性的變化,進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識和分類討論能力.

引導(dǎo)2對調(diào)母題1的條件和結(jié)論,改造成一個已知函數(shù)的單調(diào)性,逆求參數(shù)范圍的問題.

師:對于變式2,如果已知函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上的單調(diào)性,你能求得什么?

變式4已知函數(shù)f(x)=x2-2alnx(a∈R)在區(qū)間(0, 1)上單調(diào)遞減,求a的取值范圍.

引導(dǎo)3讓學(xué)生嘗試用不同的方式表述條件,加強(qiáng)多種語言的轉(zhuǎn)換表達(dá)能力.

師:對于變式4中的條件“在區(qū)間(0, 1)上單調(diào)遞減”,你能否換一種方式表述?請嘗試給出表述.

變式5已知函數(shù)f(x)=x2-2alnx(a∈R),且f′(x)≤0在區(qū)間(0, 1)內(nèi)恒成立,求a的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生學(xué)會運(yùn)用多種不同的方式表述函數(shù)的單調(diào)性,考查學(xué)生對函數(shù)的單調(diào)性定義的理解和表示能力.在學(xué)生有了變式5這種不同表述后,就可能會想到把問題改成變式6,這是課堂上生成的新問題,體現(xiàn)了學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性.要相信學(xué)生能夠命好題,要敢于放手讓他們自己去探索.

引導(dǎo)4接著讓學(xué)生變換不同的條件,使得問題條件的指向多元.

師:對于變式2,你能否改造成已知函數(shù)的一個性質(zhì),逆求參數(shù)范圍的問題?

生:可以是已知函數(shù)的極值、最值或零點(diǎn),不等式恒成立、能成立等問題 .

變式7已知函數(shù)f(x)=x2-2alnx(a∈R)在區(qū)間(0, 1)內(nèi)存在極小值,求a的取值范圍.

變式8已知函數(shù)f(x)=x2-2alnx(a∈R)在區(qū)間(0, 1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.

變式9已知函數(shù)f(x)=x2-2alnx(a∈R)在定義域內(nèi)有兩個零點(diǎn),求a的取值范圍.

變式10已知函數(shù)f(x)=x2-2alnx(a∈R)在定義域內(nèi)恒不小于0,求a的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖改編問題時(shí),要提醒學(xué)生不必拘泥于函數(shù)的單調(diào)性,可以命制考查函數(shù)的所有性質(zhì)問題.在創(chuàng)設(shè)開放的復(fù)習(xí)情境中,有的學(xué)生可能會命制已知函數(shù)的奇偶性或周期性求參數(shù)的問題,即使學(xué)生提出的問題可能存在錯誤,但通過探討可以發(fā)現(xiàn),根據(jù)二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)無法命制涉及這類性質(zhì)的問題,從而加深了學(xué)生對基本初等函數(shù)性質(zhì)的理解.

對于初次嘗試命題的學(xué)生,教師可以讓他們從簡單題改編開始,降低命題難度.改編命題不只是改動幾個數(shù)字,而要進(jìn)行全面審視與內(nèi)涵挖掘,如以上問題改編,有設(shè)置字母參數(shù),改變問題表述方式,對調(diào)或改變條件與結(jié)論,使得命題難度由淺入深,讓不同層次的學(xué)生都能進(jìn)行命題.在命題的過程中,教師要善于引導(dǎo),精心點(diǎn)撥,及時(shí)進(jìn)行評價(jià),使學(xué)生在不斷調(diào)整已知、未知關(guān)系過程中命出滿意的問題.以上命制的這組題涵蓋了含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的判斷,已知單調(diào)性逆求參數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、零點(diǎn),以及不等式恒成立等問題,學(xué)生通過自主命題,自己解答,不僅夯實(shí)了“四基”,極大地提升了“四能”,同時(shí)也獲得了學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心和內(nèi)驅(qū)力,享受命題的快樂.

2 教師確定方向,學(xué)生發(fā)散新編

在高考復(fù)習(xí)教學(xué)中,教師可以進(jìn)一步放手,給學(xué)生以更大的思維空間,讓他們不斷積累命題經(jīng)驗(yàn).教師可以只給定知識與方法的拓展方向,或是給定一個研究的專題,而不給具體的求解目標(biāo),讓學(xué)生自主探究、發(fā)散設(shè)計(jì)新的問題,進(jìn)入開放的、自主的命題境界.

引導(dǎo)1本題的條件是什么?在命制新問題時(shí),為了簡化運(yùn)算,給定什么形式的橢圓方程比較合適?

師:根據(jù)橢圓的定義,橢圓上的點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=2a,當(dāng)P,F1,F2構(gòu)成三角形時(shí),我們可以研究這個三角形中的一些幾何問題,請你給橢圓選定一個具體的方程．

引導(dǎo)2在焦點(diǎn)三角形△PF1F2中,你認(rèn)為可以求解哪些幾何問題?

(以上問題具有開放性,有的學(xué)生可能想求△PF1F2的邊長,有的可能想求△PF1F2的面積、內(nèi)角等)

師:給出橢圓的方程后,可以求出△PF1F2的哪些幾何量?

生:求△PF1F2的周長.

師:大家認(rèn)為前面給出的方程中,用哪一個方程求對應(yīng)的△PF1F2的周長最簡便?

經(jīng)過啟發(fā)引導(dǎo),學(xué)生命制出如下問題:

引導(dǎo)3根據(jù)學(xué)生想求解的結(jié)果,引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)添加或轉(zhuǎn)變條件,進(jìn)行多個變式,舉一反三.

師:除了求△PF1F2的周長外,你還想求解這個三角形的哪些幾何量呢?

生:求△PF1F2的面積.

師:只給出橢圓的方程,能否求出△PF1F2的面積?隨著點(diǎn)P的移動,顯然△PF1F2的面積在變化,求△PF1F2的面積的條件不夠,還需要提供什么幾何條件?

生:可以給出三角形的一條邊或一個內(nèi)角,有三個獨(dú)立條件,就可以解三角形了,進(jìn)而可求△PF1F2的面積.

師:分三組合作探究,請第一組同學(xué)給出一條邊|PF1|的長度,第二組同學(xué)給出內(nèi)角∠F1PF2,第三組同學(xué)給出內(nèi)角∠PF1F2,分別求△PF1F2的面積.

師:對于變式2,若∠F1PF2=90°,能否求出△PF1F2的面積?請同學(xué)們試一試.

師:若∠F1PF2=90°,你能求出|PF1|, |PF2|的長度嗎?

生:因?yàn)閙2+n2=4,m2+(4-m)2=4,所以m2-4m+6=0,△=16-24=-8<0,m沒有實(shí)數(shù)解(無解).

引導(dǎo)4由問題無解自然引出求范圍問題,引導(dǎo)學(xué)生探究,設(shè)計(jì)求長度和角度等幾何量的最值或取值范圍問題時(shí),需要關(guān)注其存在性,從而拓展命題的廣度和深度.

師:當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)|PF1|, |PF2|的長度無解時(shí),說明∠F1PF2的大小變化有范圍限制.為了避免命制錯題,我們有必要研究∠F1PF2的范圍.請命制一個與∠F1PF2的大小變化相關(guān)的問題.

師:根據(jù)對變式4的研究,在命題時(shí),給出∠F1PF2的大小不能超過多少度?

生:不能超過60°.

師:通過研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)P位于短軸頂點(diǎn)時(shí),∠F1PF2取得最大值.除∠F1PF2外,你覺得△F1PF2中還有哪些幾何量存在最值?

生:邊長、面積等.

引導(dǎo)5讓學(xué)生用類比的方法,對上述討論的△PF1F2作變式與拓展,提出并解決新問題.

師:我們已經(jīng)研究了△PF1F2的相關(guān)幾何量,我們能否研究與橢圓C相關(guān)的其他三角形的周長、面積等問題?

師:還記得橢圓這一章一道課后習(xí)題嗎?如果我們延長PF1交橢圓C于點(diǎn)Q,連接QF2,線段QF1與QF2長度有什么關(guān)系?參照前面的問題設(shè)計(jì),請你命制出新的問題.

讓學(xué)生自己給出橢圓方程,命制有關(guān)焦點(diǎn)三角形的幾何元素求解問題,具有較大的開放性,學(xué)生需要根據(jù)自己對橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)的掌握和熟練程度,以及相關(guān)的解題經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行命題,綜合性、應(yīng)用性都很強(qiáng),難度也更大,所以開展這種形式的問題探究和命題活動,適宜在高考二輪復(fù)習(xí)時(shí)進(jìn)行.

教師在組織學(xué)生開展這類具有發(fā)散性的命題活動時(shí),需要為學(xué)生搭建好“腳手架”,布置學(xué)生課前作好專題知識、方法和典型試題的回顧復(fù)習(xí)工作,做到目標(biāo)明確,針對性強(qiáng).在課堂復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí),教師要根據(jù)預(yù)設(shè)的主題,讓學(xué)生盡情展示,發(fā)散新編,必要時(shí)給予精妙的點(diǎn)撥和引導(dǎo),切忌越俎代皰,欲放不忍.

以上討論的是橢圓的焦點(diǎn)三角形問題.我們還可以讓學(xué)生課后繼續(xù)研究雙曲線的焦點(diǎn)三角形問題等.

3 教師約定要求,學(xué)生創(chuàng)新挖潛

數(shù)學(xué)試題的價(jià)值體現(xiàn)在它的綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性.若想命制一道體現(xiàn)“四層四翼”要求,考查多個知識模塊或系列知識,考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力和必備知識的綜合題,需要教師在復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí),精選例習(xí)題,精準(zhǔn)指出挖潛改編方向,讓學(xué)生由淺入深地探索母題涉及知識和方法的橫、縱向聯(lián)系,不斷提高學(xué)生的命題和解題能力.

在基本不等式復(fù)習(xí)時(shí),由于基本不等式背景豐富,應(yīng)用廣泛,現(xiàn)選擇了一道可以用基本不等式求解的最值問題,引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)知識和方法的不同應(yīng)用設(shè)置不同的問題背景,讓學(xué)生從不同的角度辨析和理解問題,打通知識間的相互聯(lián)系,取得了不錯的教學(xué)效果.

引導(dǎo)1從長度、角度、面積等幾何角度,引導(dǎo)學(xué)生給題目的條件設(shè)置不同的背景命制試題.

師:這是一道考查用基本不等式求最值的典型問題.條件是一個代數(shù)等式,我們能否賦予條件以幾何背景,變成一個考查幾何要素的新問題呢?

師生合作討論,教師適當(dāng)給予點(diǎn)撥,學(xué)生陸續(xù)命制出如下試題:

問題1在Rt△AOB中,|OA|=a, |OB|=b,過斜邊AB上一點(diǎn)P分別作OA,OB的垂線,垂足分別為C,D,若|OC|=2, |OD|=1,求|OA|+|OB|的最小值.

師:在引例中,除了求a+b的最小值外,還可以求哪些最值?

生:求ab的最小值.

師:ab可以看成Rt△AOB中的哪個幾何量?

生:|OA|·|OB|或Rt△AOB面積的2倍.

問題2在Rt△AOB中,|OA|=a, |OB|=b,過斜邊AB上一點(diǎn)P分別作OA,OB的垂線,垂足分別為C,D,|OC|=2, |OD|=1,求△AOB面積的最小值.

引導(dǎo)2讓學(xué)生嘗試把幾何圖形放入直角坐標(biāo)系中,將幾何條件坐標(biāo)化,命制一道解析幾何問題.

師:如果把Rt△AOB的邊放入直角坐標(biāo)系中,分別以O(shè)A,OB所在的直線為x,y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,此時(shí)直線AB的方程是什么?點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么?問題2的條件又可以如何表示?

問題3已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(2, 1),并分別與x,y軸正半軸交于點(diǎn)A,B,求△AOB面積的最小值.

引導(dǎo)3引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用向量設(shè)計(jì)問題,考查向量的幾何表示和坐標(biāo)運(yùn)算.

師:我們能否利用向量的代數(shù)運(yùn)算和幾何運(yùn)算,把條件改造成一個考查向量運(yùn)算的問題呢?

引導(dǎo)4數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活,讓學(xué)生從實(shí)際應(yīng)用的角度改編試題,展現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

師:我們知道,數(shù)學(xué)來源于生活,能否賦予問題以生活背景,變成一個應(yīng)用題呢?

生:行程問題中路程除以速度等于時(shí)間,工程問題中工作總量除以工作時(shí)間等于工作效率,商品買賣中總價(jià)除以數(shù)量等于單價(jià)……

問題6小明購買甲、乙兩種糖果共1千克,其中甲糖果每千克a元,花去2元,乙糖果每千克b元,花去1元.如果小明購買甲、乙兩種糖果各1千克,最少需要多少元?

這樣的試題,融幾何、代數(shù)于一體,考查學(xué)生對所學(xué)知識和方法的融會貫通能力,考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和邏輯推理能力等.如果能夠堅(jiān)持讓學(xué)生深刻理解題目所蘊(yùn)含的幾何與代數(shù)關(guān)系,不僅可以幫助他們更深刻地認(rèn)識到試題的結(jié)構(gòu)和命制方法,而且可以突破他們解題、命題的畏難情緒,增強(qiáng)他們的解題能力和學(xué)習(xí)信心,激勵他們敢于迎接更大的挑戰(zhàn).

以上改編拓展、發(fā)散新編、創(chuàng)新挖潛三種方法,不論是否有母題,只要教師給出明確的命題目標(biāo)與方向,學(xué)生總可以從不同的方向、不同的視角嘗試命制試題,這樣做,不僅有助于學(xué)生養(yǎng)成多角度、多方位、多層次認(rèn)識與探究問題內(nèi)涵的習(xí)慣,而且有助于更全面、更深刻地解析知識和方法,構(gòu)建成完整的發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的思維能力體系.

讓學(xué)生參與課堂例習(xí)題的改編拓展、發(fā)散新編、創(chuàng)新挖潛,是培養(yǎng)學(xué)生問題意識與創(chuàng)新能力的重要途徑,也是高考復(fù)習(xí)的必然要求.若能長期堅(jiān)持,必將增強(qiáng)學(xué)生的命題、解題能力,讓他們既能高效地復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)主干知識和常用方法,深化對知識和方法相互聯(lián)系的理解,又能讓他們感受到知識與方法的演化和遞進(jìn),逐步做到融會貫通、舉一反三,有助于他們養(yǎng)成用聯(lián)系的觀念理解和認(rèn)識問題的習(xí)慣,有利于他們進(jìn)行知識和方法的縱、橫向比較與綜合,有助于他們將新知識納入自己已有的知識系統(tǒng)中,有利于他們構(gòu)建知識的整體性,突出了高考復(fù)習(xí)單元整體教學(xué)思想,有助于促進(jìn)他們學(xué)會學(xué)習(xí)、主動探究、敢于創(chuàng)新,增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自信心.

4 結(jié)語

如果我們在高考復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí),能夠讓教師由“講題者”變?yōu)椤耙龑?dǎo)者”,讓學(xué)生由“做題者”變?yōu)椤懊}者”,學(xué)生真正地成為課堂的主人,真實(shí)地經(jīng)歷自主探究的過程,學(xué)生就會站在命題者的角度分析思考問題,清晰地解析試題結(jié)構(gòu),揭示試題考查的知識與方法,準(zhǔn)確地找到解題的思路與方法,就會有“會當(dāng)臨絕頂,一覽眾山小”的感覺,不斷提高自己的解題能力,從而使高考復(fù)習(xí)教學(xué)事半功倍,走向高效、走向成功.