基于知識系統的視角理解數學教材
——對一個準判定定理處理方式的比較分析

劉向權 (郵編:236700)

安徽省利辛縣利辛中學

在“圖形與幾何”領域,《義務教育數學課程標準(2022年版)》(以下簡稱“新課標”)對第四學段(7～9年級)的課程內容有如下規定:探索并證明平行四邊形的性質定理:平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分.探索并證明平行四邊形的判定定理:一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;對角線互相平分的四邊形是平行四邊形[1].《義務教育數學課程標準(2011年版)》涉及平行四邊形性質和判定的課程內容,也有與新課標相同的規定.顯然,“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”和“平行四邊形的對邊相等”“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”和“平行四邊形的對角線互相平分”是兩組互逆定理.但對“平行四邊形的對角相等”這一性質定理的逆命題(即“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”,以下簡稱“準判定定理”),新舊兩版課標似乎都在有意回避.今年7月,在滬科版八年級下冊數學新教材編寫組內部審讀期間,這一問題再次進入筆者視野,隨即引起筆者的關注與深思,進而促使筆者對現行十個版本的初中數學教材加以比較分析.本文通過系統梳理、簡要歸納準判定定理幾種不同的處理方式,基于知識系統的視角,力求厘清各版本教材試圖構建結構化的數學知識體系的基本脈絡,從而達到高位理解數學教材的目的.

1 準判定定理處理方式梳理呈現

1.1 以判定定理的形式直接呈現

人教版教材八年級下冊第18章第1節第2小節“平行四邊形的判定”

教材首先呈現了如下“思考”:通過前面的學習,我們知道,平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分.反過來,對邊相等,或對角相等,或對角線互相平分的四邊形是平行四邊形嗎?也就是說,平行四邊形的性質定理的逆命題成立嗎[2]?

隨后,教材作了如下表述:

可以證明,這些逆命題都成立.這樣我們得到平行四邊形的判定定理:

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;

兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;

對角線互相平分的四邊形是平行四邊形[2].

1.2 以教材例題的形式間接呈現

在初中現行十個版本的數學教材中,以下兩個版本在介紹完新課標規定的三個判定定理并初步鞏固后,均安排了一道例題.

(1)湘教版教材八年級下冊第2章第2節第2小節“平行四邊形的判定”(例8 )

在四邊形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D.求證:四邊形ABCD是平行四邊形[3].

(2)華東師大版教材八年級下冊第18章第2節“平行四邊形的判定”(例4)

在四邊形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D.求證:四邊形ABCD是平行四邊形[4].

1.3 設置“思考”欄目引導學生總結歸納

北京版教材八年級下冊第15章第3節“平行四邊形的性質與判定”

在探索歸納出新課標規定的三個判定定理并簡單鞏固后,教材安排了如下“思考”:

根據對角之間的關系能否判定一個四邊形是平行四邊形[5]?

1.4 通過相關題目的解答或證明變相滲透

在初中現行十個版本的數學教材中,以下五個版本均采用了這一處理方式.其中,滬科版、蘇科版、青島版教材在推出新課標規定的三個判定定理并初步鞏固后,安排了練習或習題;冀教版教材在探究得到“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”這一判定定理,并通過兩個例題加以鞏固后,安排了一道練習;北師大版教材則在全冊總復習中呈現了一道題目.

(1)滬科版教材八年級下冊第19章第2節“平行四邊形”(練習第1題)

已知:在四邊形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D.試判斷四邊形ABCD是否是平行四邊形,并說明理由[6].

(2)蘇科版教材八年級下冊第9章第3節“平行四邊形”(習題9.3第5題)

在四邊形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D.四邊形ABCD是平行四邊形嗎?證明你的結論[7].

(3)青島版教材八年級下冊第6章第2節“平行四邊形的判定”(習題6.2第1題)

求證:兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形[8].

(4)冀教版教材八年級下冊第22章第2節“平行四邊形的判定”(練習第1題)

兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形嗎?為什么[9]?

(5)北師大版教材八年級下冊(總復習第16題)

兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形嗎?證明你的結論[10].

1.5 通過教材“留白”對準判定定理“零處理”

筆者翻閱浙教版八年級下冊數學教材后發現,第4章(“平行四邊形”)第4節為“平行四邊形的判定定理”,本冊教材自始至終未以任何方式對準判定定理加以呈現.浙教版教材對準判定定理的“留白”式處理,不僅體現了其獨特的編寫思路,同時也為教師留出了靈活處理教材的余地,為學生留下了充分的思考空間.

2 從準判定定理的不同處理方式看數學知識體系構建

2.1 對準判定定理不同處理方式的比較分析

前文所述十個版本的初中數學教材,除浙教版外,其余九個版本均以各自的呈現形式對準判定定理作了相應處理,雖然處理方式不盡相同,但無疑都在試圖向學生傳遞如下信息:“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”也可以作為平行四邊形判定的依據(盡管2011年版課標和新課標均未將其視為平行四邊形的判定定理).只是信息傳遞或顯或隱,或明或暗,或強或弱而已.對準判定定理的處理,從人教版教材大膽“突破”新舊兩版課標“限制”以判定定理的形式直接給出,到湘教版、華東師大版教材以例題的形式間接呈現,北京版教材以“思考”欄目為抓手引導學生歸納總結,再到滬科版、蘇科版、青島版、冀教版、北師大版教材以練習、習題或復習題的形式變相滲透,無疑是對上述信息傳遞從顯到隱、自明至暗、由強及弱的最好詮釋.

如前所述,相對于其余九個版本的初中數學教材,浙教版教材更傾向于給教師以靈活的處理余地,并為學生留下充分的思考空間.從上述九個版本教材依次對準判定定理的具體處理,到浙教版教材對準判定定理的“零處理”,恰恰體現了從“有”到“無”的“衰減”過程.不過,對使用浙教版初中數學教材的師生而言,也可通過對平行四邊形判定方法的拓展研究,讓準判定定理實現從“無”到“有”的自然“生長”.這其中,不僅應有教師的適時啟發、適當引導,還需要學生養成必要的反思習慣和問題意識.

2.2 基于知識系統的視角理解數學教材

通過以上分析,我們不難發現,在對準判定定理的處理上,前九個版本的教材均立足于知識系統的視角.即先將準判定定理以不同方式納入到“平行四邊形的判定”這個子系統,讓平行四邊形的三個性質定理都有互逆的判定定理(包括準判定定理)與之相對應,進而實現“平行四邊形”從定義、性質到判定這個母系統的“閉環”.基于知識系統的視角,尤其關注對結構化的數學知識體系的構建[11].鑒于此,教師“在教學中要重視對教學內容的整體分析,幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系”[1].相比之下,浙教版初中數學教材對“平行四邊形”知識系統的構建,則顯得較為開放,甚至不夠“完整”.而從另一個角度看,浙教版教材對準判定定理的回避式處理,在嚴格落實新舊兩版課標規定的同時,也更容易讓教師“跳”出教材而不囿于教材,從而更好地實現“用教材教”,而不僅僅只會“教教材”.這也為師生在教與學的雙邊活動中自主構建“平行四邊形”的完整知識體系創造了更好機遇.

3 思考與建議

3.1 幾點思考

筆者進一步翻閱2001年版《全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)》,發現課標(實驗稿)也未將準判定定理規定為平行四邊形的判定定理.既然準判定定理可以判定一個四邊形是平行四邊形,那么為何前后三版課標一脈相承,如出一轍地對準判定定理加以回避?筆者推測,這大概是出于以下幾方面考慮:

首先,如果將準判定定理作為平行四邊形的判定定理規定于課標中,初中數學各版本教材就必須將其以定理的形式加以呈現,這會在一定程度上增加學生的學習(記憶)負擔;其次,對準判定定理的推導證明難度不大,只要教師稍作引導,學生便能輕松地完成證明;再者,便于各版本教材編寫人員對教材內容設計做一定的彈性處理,也有利于發揮教師的教學創造性.《義務教育數學課程標準(2011年版)》指出:按照本標準要求,教材的編寫要面向全體學生,也要考慮到學生發展的差異,在保證基本要求的前提下,體現一定的彈性,以滿足學生的不同需求,使不同的人在數學上得到不同的發展,也便于教師發揮自己的教學創造性[12].鑒于我國現行各版本初中數學教材均是依據2011年版課標編寫的,上述十個版本教材之所以對準判定定理采取不同的處理方式,個中原委已不言自明.

3.2 教學建議

基于以上論述和分析,教學中準判定定理是否應該呈現?何時加以呈現?當以何種方式呈現?這些問題都需要初中數學教育同行們認真思考.立足知識系統的視角,參照絕大多數版本初中數學教材的做法,以適當方式對準判定定理的適時呈現顯然是必要的.鑒于前后三版課標均未將準判定定理作為平行四邊形的判定定理,筆者認為,在探索證明出新課標規定的平行四邊形的三個判定定理后,再以適當方式呈現準判定定理為妥.當然,視具體學情,實際教學中也可像人教版教材那樣讓數學結論“來得更快些”,或如北師大版教材,待整冊教材新課內容學習完畢,再引導學生完成“平行四邊形”知識體系的構建,同樣可行.值得注意的是,在準判定定理呈現時機和具體呈現方式的確定上,教師要恰當處理好“預設”與“生成”的關系,并善于敏銳觀察課堂動態,及時捕捉學情變化.對于準判定定理的探討,如果學生能自主提出如下問題實屬最佳:既然“平行四邊形的對邊相等”“平行四邊形的對角線互相平分”這兩個性質定理的逆命題都是真命題,那么,“平行四邊形的對角相等”的逆命題是否也成立呢?倘若學生未能主動提出以上問題,教師可在引導學生探索證明完新課標規定的平行四邊形的三個判定定理后,進一步啟發學生思考:學習平行四邊形的性質和判定后,同學們不妨將平行四邊形的性質定理與判定定理進行比較,你有什么發現?由此,你想提出什么數學問題?假如此時學生仍不能提出我們期待的問題,退而求其次,便可考慮直接出示類似北京版教材上述“思考”欄目的問題,或通過安排學生完成相關練習、習題、復習題,進而提煉出準判定定理.