中國、美國、德國初中數學教材中“勾股定理”比較研究

陳書才 (郵編:241000)

安徽師范大學附屬萃文中學

董建功 (郵編:241000)

安徽師范大學數學與統計學院

2021年7月在中國上海舉行的第14屆國際數學教育大會(ICME-14)有一項小組專題研究,第41組(TSG41)主題是:數學學習和數學教材的資源研究與開發(www.icme14.net)．國際數學教材研究與發展會議(ICMT)已經舉辦三屆,分別在英國南安普頓大學、巴西里約熱內盧聯邦大學、德國帕德博恩大學召開,2022年11月14日至17日第四屆國際數學教材研究與發展會議(ICMT-4)在北京師范大學舉行．

由Springer出版的《ZDM—Mathematics Education》(簡稱ZDM)是數學教育研究領域最權威的SSCI學術期刊之一,2013年9月第5期特刊包含11文章,主題是:Textbook research in mathematics education(數學教育中的教科書研究),2018年7月第5期特刊包含15篇文章,主題是:Recent advances in mathematics textbook and development(數學教科書的最新進展與發展),2021年10月第6期特刊包含17篇文章,主題是:Mathematics Textbooks as Instruments for Change(數學教材作為變革的工具).可見,數學教科書研究已成為國際數學教育研究的熱點問題．范良火等(2013)列舉了教科書分析比較研究中的五個最常見的主題:數學內容和主題;認知和教學法;性別、種族、公平、文化和價值問題;不同教科書的國際比較;概念和方法問題[1]．王建磐等(2018)研究了不同國家高中教科書中選擇的內容和呈現方式[2]．王祎,范良火(2021)報道了一項實證研究,旨在通過比較的角度調查學生在上海和英國使用數學教科書的情況[3]．Sebastian Rezat,范良火和Birgit Pepin(2021)調查和分析了有關數學教材和課程資源作為變革數學內容[4]．王建磐、鮑建生(2014)做了五個國家高中數學教材中例題的綜合難度的國際比較[5]．曹一鳴、吳立寶(2015)做了十個國家初中數學教材難易程度的國際比較研究[6]．吳立寶(2016)對初中數學教材的代數內容進行了國際比較研究[7]．付鈺、張景斌(2018)進行了中美數學教材三角函數習題的比較研究[8]．覃淋(2019)進行了“中國大陸”“日本”和“中國臺灣”高中數學教材統計習題難度比較研究[9]．胡典順、王春靜、王靜(2020)進行了基于概念圖的中外高中數學教材比較研究[10]．

上述研究拓展了視野,指出了教材研究的主題、研究方法等,為數學教材的比較研究提供了一般的方法和技巧,對教材研究提供了一個范式．在文獻綜述的基礎上,發現大多數關于教材的研究立足于教材內容,從教科書的介紹,到分析知識點的安排、例題、習題設置、習題難度等．勾股定理(又稱畢達哥拉斯定理)作為平面幾何中最基礎的定理,它是聯系數學中數與形的第一定理,導致不可公度量的發現,揭示了無理數與有理數的區別,引發了第一次數學危機,勾股定理開始把數學由計算與測量的技術轉變為論證與推理的科學[11]．鑒于勾股定理在平面幾何中的重要的地位,所以有必要對最新的國際數學教材中“勾股定理”進行比較研究．希望本研究能對中國數學課程改革、數學教材編寫、數學教育教學得到啟發．

1 研究設計

1.1 研究文本的確定

中國選取人民教育出版社的數學教科書,人民教育出版社所出的數學教材在中國具有廣泛的影響,用途較廣．美國選取霍頓·米夫林出版社(Houghton Mifflin Harcourt Publishing)2020年出版的一套數學教材,霍頓·米夫林出版社是美國最具影響力的教育出版商之一,所出版的教材受眾面較廣．德國沒有統一的教材,本研究選取的是由德國Klett出版社2021年出版的數學教材,該教材在巴伐利亞州廣泛使用,巴伐利亞州位于德國南部,面積70550平方公里,約占德國國土面積的五分之一,是德國幅員最大的聯邦州．三本樣本教材詳細信息見表1．

表1 樣本教材基本信息

1.2 研究框架

結合“勾股定理”的具體內容,分別從單元整體結構、單元引入、例題分析、習題分析四個維度進行研究,具體研究框架見表2．

表2 研究框架

1.3 研究方法

本研究主要對中國、美國、德國三個版本初中數學教材中“勾股定理”進行比較研究,主要采用內容分析法和比較法等研究方法．習題難度測量模型參考了已有的研究[5-9],應用范圍較廣,并根據幾何題目的特點主要從背景、推理、運算、知識含量4個難度因素進行比較,并對每個因素劃分為3個水平,并分別賦值1、2、3．見表3.

表3 習題難度測量模型

各習題難度計算方法采用以下公式計算,其中:di表示第i個習題難度因素的加權平均值;i表示第i個習題難度因素;j表示某一個難度因素所處的水平;dij表示第i個難度因素的第j個水平上的權重;nij表示這組題目中屬于第i個難度因素的第j個水平的題目的個數,其總和等于該組題目的總數n．

2 研究結果與分析

2.1 三個版本數學教材中“勾股定理”整體比較

整理分析三個版本數學教材中有關“勾股定理”章節的分布年級,單元頁數和具體內容,詳細信息見表4．

表4 “勾股定理”章節內容整體比較

對比分析表4可以看出,三個版本教材知識的編排順序都體現了知識螺旋式的編排方式,都注重數學內容的整體性、關聯性．但是三個版本教材在年級安排、內容選擇等方面均有差異．CN-PEP版8年級下冊安排了“勾股定理”,US-HMH版在8年級第5章安排了“畢達哥拉斯定理”,DE-Klett版在9年級第4章安排了“畢達哥拉斯定理”,通過比較發現,CN-PEP版安排了數學史知識和數學活動,說明CN-PEP教材不僅重視知識技能的培養,也重視人文科學的培養．

US-HMH版單獨安排了一節在平面直角坐標系應用勾股定理,把“勾股定理”放在平面直角坐標系中去研究,并給出了距離公式．設兩個點A、B的坐標分別為A(x1,y1)、B(x2,y2),則A和B兩點之間的距離為:

兩點之間的距離公式實際上是勾股定理的一個特殊形式,即當一個直角頂點坐標為(0,0)時,勾股定理的平方項可以簡化為坐標差的平方和.說明US-HMH版教材注重幾何和代數的聯系,突出了勾股定理的距離意義,其內容廣度更廣．DE-Klett版安排了平面圖形和立體圖形中的勾股定理和射影定理.在解決平面圖形中距離問題時,利用計算、平移、對稱等方法,運用平面上兩點之間線段最短的道理,構造直角三角形,進而利用勾股定理求解,在解決有關立體圖形中路線最短的問題,把立體圖形中的路線問題轉化為平面上的路線問題,在平面圖形中將路程轉化為兩點間的距離,然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短距離．說明DE-Klett版注重知識之間前后的關聯,注重幾何思維和邏輯推理能力的培養,深化了勾股定理的距離意義,其內容廣度更廣,內容深度更深．

2.2 三個版本數學教材章首語和主題圖

章首語即章節引入語,主要作用是激發學生學習探究新知識的興趣．CN-PEP版(圖1)介紹了中國古代數學書《周脾算經》一書上記載,在約公元前11世紀,人們就已經知道,如果勾是三、股是四,那么弦是五．后來人們進一步發現并證明了關于直角三角形三邊之間的關系——兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方,這就是勾股定理．US-HMH版(圖2)介紹了埃及的金字塔是在5000年前建造的,而建造它們的人是用數學來建造的,我們的知識在很大程度上歸功于歷史學家,我們研究過去的人、事件和思想,以及他們對當今世界的影響,歷史學家利用他們收集的信息來發展理論,并對他們的主題進行總結．DE-Klett版(圖3)介紹了古埃及的繩索拉緊器是十二結繩被十二個結分成十二條等長的繩子,第十二個結連接著繩子的起點和終點,據認為,古埃及的緊繩者在每年的洪水過后,用十二結繩來勘察田地,在建造寺廟時,這些繩索也可能被用來構建角度．通過對比發現三個數學版本的教材都是用數學史作為引入,幫助學生認識“勾股定理”在生活中的應用,引發學生探究勾股定理的欲望,有利于幫助學生體會數學的創造過程,從而培養學生正確的數學思維方式．

圖1 CN-PEP

2.3 三個版本數學教材中例題數量

通過統計例題得到CN-PEP版共有4題,US-HMH版共有6題,DE-Klett版共有12題,如圖4．通過分析可知DE-Klett版例題最多,US-HMH版例題次之,CN-PEP版例題最少．

圖4 三個版本數學教材中例題數量分析

2.4 三個版本數學教材習題難度分析

根據表3給出的習題難度測量模型,分為四個維度統計各個難度因素中各個水平的習題數量和百分比,統計結果如表5所示．

表5 三個版本數學教材難度因素比較

(1)習題背景

表5可知,三種數學教材中,“純數學情境”的習題分別占73.81%、76.42%、68.38%,“生活情境”的習題分別占11.90%、16.98%、17.95%,“科學情境”的題目分別占14.29%、6.60%、13.68%．繪制折線圖如圖5所示.

圖5 三種數學教材在習題背景因素上的比較

純數學情境,指純粹數學問題表述;生活情境,指學生熟悉的生活中的現象和問題;科學情境,指涉及到科學知識和其他學科融合．通過圖5發現三種版本數學教材中純數學習題所占比例最大,都在百分之70左右．在生活情境上,DE-Klett版所占比例最多,其次是US-HMH版,最后是CN-PEP版．在科學情境上,CN-PEP版所占比例最多,其次是DE-Klett版,最后是US-HMH版．通過對比發現,三種教材純數學情境最多,說明三種數學教材均重視基礎知識和基本技能的培養;其次是生活情境,說明三個版本的教材均重視學生的生活經驗,重視數學在生活中的應用,尤其是德國DE-Klett版教材提供了大量的生活情境的圖片;最后是科學情境,說明三種數學教材均重視數學與其他學科的聯系,值得一提的是US-HMH版教材每一節習題中都有一題或兩題STEM(科學、技術、工程、數學)情境的題目．

(2)推理水平

由表5可知,三種數學教材中,“簡單推理”的習題分別占57.14%、74.53%、63.25%,“復雜推理”的習題分別占28.57%、17.92%、21.37%,“較復雜推理”的題目分別占14.29%、7.55%、15.38%．繪制折線圖如圖6所示．

圖6 三種數學教材在推理水平因素上的比較

推理的難易程度在一定程度上反映了教材的難易程度,通過圖6發現,US-HMH版教材簡單推理最多,其次是DE-Klett版,最后是CN-PEP版,在“復雜推理”水平上,CN-PEP版所占比例多于DE-Klett版,US-HMH版所占比例最少,在“較復雜推理”水平上,DE-Klett版所占比例最多,其次是CN-PEP版,最后是US-HMH版．

(3)習題背景

由表5可知,三種數學教材中,“簡單運算”的習題分別占57.14%、72.64%、53.85%,“復雜運算”的習題分別占33.33%、21.70%、29.91%,“較復雜運算”的習題分別占9.52%、5.66%、16.24%．繪制折線圖如圖7所示．

圖7 三種數學教材在習題運算因素上的比較

運算能力是數學能力的重要組成部分之一,通過數學運算,學生可以鞏固基本知識,提高解決實際問題的能力．通過圖7發現,在“簡單運算”水平上,US-HMH版教材所占比例最多,其次是CN-PEP版,最后是DE-Klett版;在“復雜運算”水平上,CN-PEP版教材所占比例最多,其次是DE-Klett版,最后是,US-HMH版;在“較復雜運算”水平上,DE-Klett版所占比例多與CN-PEP版多與US-HMH版．

(4)知識含量

由表5可知,三種數學教材中,“1個知識點”的習題分別占57.14%、71.70%、52.99%,“2個知識點”的習題分別占28.57%、19.81%、30.77%,“3個知識點及以上”的習題分別占14.29%、8.49%、16.24%．繪制折線圖如圖8所示．

圖8 三種數學教材在知識含量因素上的比較

通過圖8發現,在“1個知識點”水平上,US-HMH版教材所占比例最多,其次是CN-PEP版,最后是DE-Klett版;在“2個知識點”水平上,DE-Klett版教材所占比例最多,其次是CN-PEP版,最后是US-HMH版;在“3個知識點及以上”水平上,DE-Klett版所占比例多于CN-PEP版多于US-HMH版．通過對比發現,US-HMH版教材偏重單個知識點的練習,DE-Klett版教材注重知識的綜合性練習．

(5)綜合難度

在對習題難度的4個因素進行比較分析的基礎上,根據習題綜合難度測量模型,對各難度因素進行加權平均值計算得到表6．

為了更加直觀呈現得到的結果,繪制雷達圖,如圖9．

圖9 三種數學教材習題綜合難度直觀模型

從“習題背景”上看,DE-Klett版大于CN-PEP版大于US-HMH版,從“推理水平”上CN-PEP版大于DE-Klett版大于US-HMH版,從“習題運算”和“知識含量”上看,DE-Klett版和US-HMH都大于CN-PEP版,最后從“綜合難度”上看,DE-Klett版大于CN-PEP版大于US-HMH版．

3 研究結論

三種版本數學教材“勾股定理”編寫既有相同之處,也有不同之處,相同之處表現在:

(1)在內容選擇上,三種版本教材雖然標題或名稱不同,但都包括勾股定理,勾股定理逆定理基本知識點,在章節引入上,三種數學教材都使用了數學史素材．(2)在內容組織上,三種版本教材都采用了“螺旋式”編寫特點,都注重數學內容的整體性、聯系性.(3)在習題情境上,三個版本數學教材純數學情境所占比例最多,都重視注重問題情景和數學活動,提供大量的生活情境,強調數學與現實生活的關系．

三種版本數學教材“勾股定理”編寫存在著一定的差異,其差異性表現在:

(1)在內容選擇上,美國版數學教材安排了“在平面直角坐標系中應用勾股定理”,其內容廣度更廣．德國版數學教材涉及知識點比較廣,其內容廣度更廣且內容深度更深,例如安排了“在平面圖形和立體圖形中應該勾股定理”和“射影定理”等內容．美國版教材和德國版教材都注重突出勾股定理的距離意義．

(2)在習題難度上,首先從“綜合難度”上看,德國數學教材習題難度最高,其次是人教版數學教材,最后是美國數學教材;從“習題背景”上看,德國數學教材大于人教版大于美國版;從“推理水平”上人教版數學教材大于德國數學教材大于美國數學教材;從“習題運算”和“知識含量”上看上,德國和美國數學教材都大于人教版數學教材．另外,值得一提的是美國版數學教材和德國版數學教材在教材最后都提供了練習題參考答案,人教版數學教材沒有習題參考答案．

4 啟示

它山之石可以攻玉,通過以上的分析,結合中國、美國、德國數學教材的特點,提出幾點對中國數學教材編寫的建議．

4.1 注重數學知識之間的聯系

通過比較分析發現三種版本數學教材都體現教材編寫的知識之間螺旋上升的特點,美國教材和德國教材在知識的內容選擇上,內容廣度更廣,內容深度更深,尤其是德國數學教材,以“勾股定理”為例,把和“勾股定理”有關的知識點幾乎都聯系起來了．美國版教材和德國版教材都注重突出勾股定理的距離意義．教材編寫要體現知識之間的關聯,將知識點按照一定的邏輯進行排序、整合,形成相互聯系、易于理解和遷移的知識結構,體現知識內容的整體性和關聯性,體現大單元思想和知識的結構化特征．

4.2 注重真實問題情境的設置

PISA 2021把數學素養表述為:數學素養是個人在不同真實世界情境下進行數學推理并表示、使用和解釋數學來解決問題的能力[12]．三個版本教材都使用了大量的情境,都體現了數學與現實生活的聯系,以德國數學教材為例,不僅提供了大量的生活情境而且提供了一些科學情境,且教材情境圖片選擇真實、精美,與學生生活息息相關．在教材編寫過程中應注重真實情境的設置,提高學生在真實復雜情境中解決問題的能力,進一步提高學生的數學核心素養．

4.3 注重與信息技術的結合

信息技術最重要的價值之一就是變革數學教學模式,使得數學探究、數學實驗和數學建模等更加可操作[13]．以圖形計算器為例,信息技術支持下數學建模的教學不再局限于課堂,不再停留在虛擬的情境中．借助圖形計算器技術,學生可以直接在真實的生活情境和科學情境中收集數據、分析數據、構建模型并檢驗模型．在教材編寫時,不僅要體現計算工具的使用,也要體現圖形工具和軟件在數學中的應用,作圖軟件的應用可以更加直觀和精確地體現幾何圖形的特征,幫助學生增強學生的幾何直觀能力,發展學生空間想象能力和幾何邏輯推理證明能力,提高學生數學建模的能力．

4.4 注重與其他學科的融合

重視學科的交叉與融合,不僅是教育發展的必然趨勢,也是數學現代發展的時代特點,世界上許多國家都重視數學教科書中的跨學科內容研究[14]．通過研究發現美國教材在習題設置上體現了STEM理念,專門設置了STEM題目．在教材編寫的過程中,體現跨學科的特征,不僅重視對自身學科的理解,也要注重學科之間的關聯和整合,以數學課程內容為基礎,運用并整合其他學科知識,探究和解決社會生活和科學技術問題,提高學生應用數學的能力．