巧用數學思想解決初中數學函數問題

摘? 要：函數問題是初中數學教學中的重要內容，也是學生學習的難點內容.從學生的學習效果來看，大多數學生無法充分掌握相關內容.基于此，初中數學教師需注重數學思想的巧用，準確把握函數問題的解題技巧，幫助學生更好地應對中考中的函數問題，切實提升學生的學業成績.

關鍵詞：數學思想；初中數學；函數問題；幾何問題；綜合性問題

中圖分類號：G632??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1008-0333（2024）02-0056-03

收稿日期：2023-10-15

作者簡介：徐建明（1977.11-），男，福建省長泰人，本科，一級教師，從事初中數學教學研究.

函數與幾何的綜合性問題是近幾年中考數學的重點、熱點問題，通常以壓軸題的形式出現，這類問題主要以函數的性質為基礎，注重考查運動過程中幾何圖形的變化情況.解決這類問題，不僅可以使學生準確把握函數的相關知識，而且還能通過多種數學思想巧妙應用，幫助學生充分掌握相關解題思路與技巧，從而更加有效地解決函數與幾何的綜合性問題，提升學生分析問題和解決問題的能力，進而提升學生的數學核心素養.

1 巧用數形結合法解決函數問題

例1? 如圖1，已知拋物線C：y=ax2-2ax+c過C點（1，2），且與x軸相交點A（-1，0）與點B.

（1）求取拋物線C的解析式；

（2）直線y=34x與拋物線相交于點S，T，點M位于拋物線C上的動點A與T之間，過點M作ME⊥x軸且交于E點，MF⊥ST相交于F點，求ME+MF最大值；

（3）如圖2，將拋物線C的頂點平移至原點，得到拋物線C1，直線l：y=kx-2k-4與拋物線C1相交在P、Q兩點，且拋物線C1上存在定點D，使∠PDQ=90°，求D點的坐標.

解? （1）依據待定系數法，可得出拋物線的解析式為y=-12x2+x+32.

（2）如圖1，設直線OT與ME相交點G，設M的坐標為（t，-12t2+t+32），則ME=-12t2+t+32，點G的坐標為（t，34t），OG=54t，MG=-12t2+14t+32，即sin∠OGE=sin∠MGF=45，MF=45MG=-25t2+15t+65，所以，ME+MF=-910t2+65t+2710=-910（t-23）2+3110，依據y=34xy=x22+x+32，計算可得x1=-32x2=3，也就是，xS=-32，xT=3，同時，-32＜32＜3，a＜0，當t=32的時候，ME+MF取最大值，最大值是3110.

（3）如圖2，過D點作E'F'∥x軸，作PE'⊥E'F'相交E'點，且QF'⊥E'F'相交于F'點.設D、P、Q三點的坐標分別是D（a，b），P（x1，y1），Q（x2，y2），列出方程組為y=kx-2k-4，y=-12x2.從而易得x2+2kx-4k-8=0，并得出x1+x2=-2k，x1x2=-4k-8，依據題意可推導出△PE'D∽△DF'Q，并得到DE'·DF'＝PE'·QF'，也就是（a-x1）（a-x2）=（b-y1）（b-y2），因此，b=-12a2，y1=-12x21，y2=-12x22，由此可得（a+2）（a-2）-2k（a+2）=0，由于k是任意的實數，因此，a+2=0，a=-2，b=-2，即D點的坐標為（-2，-2）［1］.

2 巧用換元法解決函數問題

例2? 如果x，y，z都是非負數，且符合x-1=y+12=z-23，此時，x2+y2+z2的最小值是（? ?）［2］

A.3? B.592? C.0? D.292

解析? 可考慮利用換元法求解.令x-1=y+12=z-23=t，則x=t+1，y=2t-1，z=3t+2，那么x2+y2+z2=（t+1）2+（2t-1）2+（3t+2）2=14t2+10t+6.令T=14t2+10t+6，依據題目的條件x，y，z都是非負數可以得t+1≥02t-1≥03t+2≥0，解得t≥12.即當t≥12時，得出的二次函數T=14t2+10t+6為增函數，那么，t =12時，函數可取得最小值，也就是14×（12）2+10（12）+ 6=292，故本題的正確選項是D.

3 巧用分類討論法解決函數問題

例3? ?如圖3，已知拋物線y=ax2-5ax+4與坐標軸分別交于A，C兩點，過C點作BC∥x軸，與拋物線相交于C點，AC=BC.若點P是拋物線對稱軸上一動點，且處于x軸的下方.請問，是否存有P點，使△PAB是等腰三角形？如果存在，請求出P點的坐標，如果不存在，請說明理由［3］.

分析? 本題可通過分類討論的思想加以解題，可將其分成兩種情況，也就是AB為底或腰.當AB為腰時，則需注意頂角的位置，也就是∠A或∠B是頂角屬于兩種情況，此時可找出兩個△PAB.當AB是底邊時，△PAB的頂角必然是∠P，此時，也能找出對應的△PAB.

解? 如圖4所示，依據P點的不同位置，將其分為三種情況進行探討.

第一種情況：當AB為腰，∠A作為頂角時，標記三角形的第三個頂點為P1.過B點作出x軸的垂線，與x軸相交于點Q，直角三角形AQB中，依據勾股定理，得AB2=AQ2+BQ2=80.由此可知，Rt△ANP1中，AN2=AP12-P1N2，將相應的數據代入，可得P1N=1992，因此，P1（2.5，-1992）.

第二種情況：當AB為腰，∠B作為頂角時，將點P標記成P2.如圖2，在Rt△BMP2中，依據勾股定理可得BM2=BP22-P2M2，將對應數據代入式子，可得P2M=2952，那么，P2點的坐標是（2.5，4-2952）.

第三種情況：當AB作為底，∠P是頂角時，此時的P點記作P3.如圖2，作出AB的垂直平分線，依據△ABC是等腰三角形，可得垂直平分線經過C點，與直線MN相交于P3點，過P3點作y軸的垂線，垂足是K，此時，△CKP3∽△AQB，因此P3KCK=BQAQ=12，P3K=2.5，則能求解得到CK=5，OK=1.由此可知，對應的P3點的坐標是（2.5，-1）.

綜上所述，滿足要求的P點共有三個，即P1（2.5，-1992），P2（2.5，4-2952），P3（2.5，-1）.

4 巧用待定系數法解決函數問題

例4? 已知拋物線y=x2-mx+m22與拋物線y=x2+mx-34m2的圖象如圖5所示，其中的一條拋物線與x軸相交于點A，B.

（1）試著判斷哪條拋物線過A，B兩點，并說出理由；

（2）如果A，B兩點到原點的距離OA，OB符合條件1OB-1AO=23，求經過A，B兩點的拋物線解析式.

解? （1）由于拋物線沒有經過原點，故m≠0，令x2-mx+m22=0，Δ1=（-m）2-4×m22=-m2<0，因此，拋物線y=x2-mx+m22和x軸不存在交點；

令x2+mx-34m2=0，Δ2=m2-4（-34m2）=4m2>0，故過A，B點.

（2）設點A（x1，0），B（x2，0），那么x1，x2為方程x2+mx-34m2=0的實數根，因此x1+x2=－mx1x2=-34m2，由于A點位于原點左邊，B點位于原點右邊，因此，AO=-x1，OB=x2，依據1OB-1AO=23，可得1x2-1-x1=23，則有x1+x2x1x2=23，-m-34m2=23，求解得m=2.經檢驗，m＝2是方程的解，故過A，B兩點的拋物線解析式為y=x2+2x-3.

5 結束語

綜上所述，數形結合法、換元法、分類討論法、待定系數法是解決初中數學函數問題常用的數學思想.因此，在函數問題的解題教學過程中，教師需選擇典型的例題，幫助學生理解與掌握數學思想在函數問題解決中的運用方法，以提高學生分析問題和解決問題的能力，使學生能夠從容應對函數問題，切實提升學生的數學核心素養.

參考文獻：［1］ 張園園，姜金平.初中函數教學中數學思想的滲透［J］.成才，2022（13）：47-48.

［2］ 張海濤.借助函數思想? 指導初中數學解題研究［J］.數理化解題研究，2022（8）：56-58.

［3］ 柴麗佳.數學思想在初中數學函數教學中的應用研究［J］.數學學習與研究，2020（22）：40-41.

［責任編輯：李? 璟］