立足單元整體發展運算能力

蘇教版小學《數學》二年級（下冊）安排了關于“有余數的除法”的學習內容。對于學生而言，既要認識“有余數的除法”的意義，又要在認識意義的基礎上，探索余數和除數的關系，這是比較難的?；诖耍P者作了一些探索。

借助直觀操作，連接“數”和“形”，明晰意義。教材的“例1”創設了“分鉛筆”的情境：“把10支鉛筆分給小朋友，每人分2支，可以分給幾人？每人分3支、4支、5支呢？在小組里分一分，說一說?！苯虒W時，我先引導學生體驗圈小棒的過程，旨在讓學生發現不管是“每人拿2支、3支、4支、5支”，都是“幾個幾個”地平均分。但從觀察的結果看，有的正好分完，有的不是正好分完，即分后有剩余。學生在“分”和“圈”的過程中，對不管是正好分完或分后有剩余，都有“每份一樣多”的直觀的認識，緊扣了平均分的本質。學生在后繼理解有余數除法的算式的意義時，能回憶圈小棒的直觀表象，從而來支撐理解有余數除法的意義。同樣，教學“例2”時，我組織學生進行直觀操作，先讓學生用4根小棒擺一個正方形，再用8根小棒擺這樣的2個正方形，然后用12根、13根、14根、15根小棒擺正方形。后繼研究“余數和除數的關系”時都是用4根小棒擺正方形，學生自然理解了為什么余數要比除數小。

提供多元表征，對接“具象”與“抽象”，理解算理。布魯納指出：“人們通過行動或者模式化的動作、通過習俗化的表象和知覺、通過語言和推理來對其環境作出反應?！被诙嘣碚髡J知理論，我先組織學生將10根小棒“分一分，圈一圈”，這是為了幫助學生建立動作表征，讓學生在做中學。在此基礎上，展示正好分完及分后有剩余的兩種不同的情況。借助表格，讓學生說一說“用10根小棒，每人拿幾根，可以分給幾人，余下幾根”，這是語言表征。學生經歷用不同的表征表達解決問題的過程和結果，可以順利完成從具體到半抽象再到抽象的形式化過渡，從而理解有余數除法的本質也是“平均分”的一種特殊形式。

運用水平遷移，勾連“新知”與“舊知”，歸納算法。水平遷移是指處于同一概括水平的經驗之間的相互影響。學生在先前的學習中，已經會用除法算式表示正好分完的情況，那么分后有剩余的情況是不是平均分呢？用算式又該如何表達呢？我讓學生試著把“每人分3支”的情況列出算式。有的學生這樣表示：“3×3=9（支），9＋1=10（支）”，有的學生這樣表示：“10÷3=3（人）”，有的學生這樣表示：“10÷3=3（人）還剩下1支”，還有的學生這樣表示“10÷3=3（人）……1（支）”。學生在前期直觀操作和對以往知識的激活下，能較自然地生成各種不同的表示有余數除法的算式。

依托數學推理，溝通“現象”與“本質”，建構模型。推理是數學學科核心素養之一。為了讓學生更好地發現有余數除法算式中“除數”和“余數”的關系，我組織學生經歷從現象到本質的合情推理過程。首先讓學生用4根小棒擺四邊形，再觀察“12÷4=3”“13÷4=3……1”“14÷4=3……2”等除法算式，以及擺小棒的直觀圖，引導學生發現除數“4”表示擺正方形的根數，除數“3”表示擺成的正方形個數，余數“1，2，3”表示余下的根數，從而抽象出除數是“4”的數學模型。同樣，用5根小棒擺五邊形，讓學生在觀察、比較、推理中，構建除數是“5”的數學模型。通過對比、討論“余數和除數之間有什么關系”，引導學生展開推理過程，對知識有一個整體而全面的思考，從而發現“有余數的除法算式中，余數小于除數”的結論。學生也在數學建模的過程中，從“事理”向“數理”轉化，完善認知建構，養成系統思維的習慣。

（作者單位：江蘇省蘇州市吳江區水秀實驗小學）