分數意義整體建構的鏈接與呈現

李紫階

一、分數學習的困難

分數作為一種"新"數，也是學生對于對數的理解的一種拓展;但從分數的含義上來看，分數又不僅僅是數量，同時更是一種量，既能夠表示數量，還能夠說明量的關系，因此對比起于整數與小數的學習，這無疑使得學生對分數的認識和學習增加了困難。史寧中教授在論述“分數的數學意義”時提到：“就整個中小學數學領域而言，分數大致有二種左右：一種是作為有理數形態存在的一個數，并能與其余的數一樣參與計算;另一種則是以比的形態存在的數。而后者又是學校分數教育的重心。所以，最關鍵的分數應該是真分數，它可以代表一種事件或某個整體的部分，其本質就是它的無量綱性。”也就是說學生對分數的認識存在著二種層次，一個是“具體的數”，一個是“關系的率”。

二、分數內容的編排

基于新課程標準的特點以及對分值意義層次的分類，在北師大新版小學數學課本中對分數部分的教學內容做出了較系統的安排，突出螺旋式上升、迭代積累的原則，使得分數意義的學習分布在二、三、五、六年級。其中二年級進行“平均分”的學習，為分數的初步認識中“分”的操作進行必要的活動積累，體會分數是先分后數；而四年級一整個學年沒有編排涉及分數學習的內容，需要等到五年級才繼續學習“分數的再認識”，這無疑增加了學生學習分數的難度。接下來，筆者針對北師大版小學數學教材對分數內容的具體編排梳理如下：第一階段：學習路徑，“平均分”的學習活動，積累等分的活動經驗；教材安排，二上（分一分與除法）主要內容，教材體現分物的過程，使學習者經過四次“分一分”的操作活動，充分體會“平均分”的含義，為分數的初步認知累積活動經驗。第二階段：學習路徑，體會分數產生的必要性，通過直觀的操作，感受部分與整體的關系，從而初步認識分數；教材安排，三下（分數的初步認識）；主要內容，在“平均分”的基礎上，體會“不夠分”之后從而產生了學習新數的必要性，并且通過多種圖，有助于學習者直接理解分值所代表的總體與部分之間的關系。第三階段：學習路徑，通過對分數意義的再理解，從全方位、多角度體會分數的含義，并具體地從度量、運作、商、比率等四大方面理解分數的含義；教材安排，五上（分數的意義）；主要內容，對五年級分數的再認知，擴大分數產生的背景，擴大對“整體”的再理解，擴大對比較關系的再理解，了解分數單元，感受分數是對分數單元的再積累，并進一步認識分數和除法之間的關聯。第四階段：學習路徑，在分數運算和解決問題的過程中，進一步理解、豐富分數的意義。教材安排，五下（分數加減法與解決問題）分數乘除法與解決問題。六上（分數的混合運算）；主要內容，六年級分數的運算和解決實際問題，進一步加深對分數意義的理解，認識到分數可以進行四則運算。第五階段：學習路徑，融通分數、除法和比之間的關系；教材安排，六上（比的認識）；主要內容，六年級比的學習，溝通分數、除法、比之間的關系。

三、厘清分數學習中的核心概念

1.分數概念的豐富性和分散性。經過前面對教材的分析，分數部分的學習中包括著諸多概念，如分數的意義、分數的基本性質、分數單位、真分數、假分數、約分、通分、分數與除法的關系。正由于概念多，分布廣、聯系“淺”（此處的聯系“淺”在于分數的相關知識分布比較散，所以對學生整體、深度認識分數存在困難），學生在窺知分數全貌的過程是需要教師引導有效建構。也正由此，筆者的研究團隊以為對分數意義的多角度認識是學習分數知識以及為后續學習分數的運算和解決問題的核心所在，正如學習一個概念，需要明確其內涵和外延，內涵是為了解決“是什么的問題”，明確分數意義的多維含義，而外延則是可以解決“用來做什么的問題”，學生在學習分數的基本性質、分數單位、真假分數、帶分數、運算和解決問題的時候，都應該基于對分數意義的理解，從分數意義的角度出發，用單元整合的思路進行學習，才能達到深度的理解分數的本質。

2.分數概念的重要性和延伸性。以分數這個概念為核心，可以“生長”出一系列的概念，正因為此，分數才稱為數學的核心概念之一，并以此可以成為一個概念群，正如前文所提及的平均分、商、約分、通分、比例、數的表征、數域的擴充等。所以，分數概念的教學，既要明確它本身的定義，還要圍繞它所產生的“概念群”進行組織和呈現，這些構成的整體才是分數的教育價值所在。

四、“分數意義”學習路徑與學習方式的設計

1.設計適當的情境，幫助學生直觀體會分數產生的必要性和數系擴充的整體性。分數作為一個“新”數，對學生而言不像整數和小數的學習那么自然存在，且有豐富的生活經驗積累，分數的書寫形式本身就是一個難點，其由三個部分組成，即分子、分母和分數線。經過一定的課堂觀測，教師在教授分數初步認識的時候通常會這樣描述分數的形式：分數線表示平均分，分母表示分的份數，分子表示取的份數。顯然，這樣的方式并不能讓學生真的理解分數的意義，而且“取出來的分數”還會對后續學習假分數造成一定的負遷移。如，在三年級“分一分（一）”一課中，為了引導學生感受分數產生的必要性，我們嘗試在分數初步認識的起始課中，將“分蘋果”的情境調整為“分蛋糕”，并且從四個蛋糕、兩個蛋糕、再到一個蛋糕，讓學生感受從可以整分到無法整分的沖突，從而體會分數產生的必要性。

2.選擇豐富的素材，促進學生對分數意義的多維度理解。北師大版教材的呈現方式主要以“情境+問題串”為主，通過創設豐富的問題情境引導學生進行探究，而在五年級學習“分數基本性質”一課中是直接以圖形畫一畫的形式讓學生進行操作，過于抽象和理性，這樣的設計容易導致兒童對概念的理解過于機械化，即只知道要將分子、分母同時乘以或除以同一個數（不為零）卻不了解分數的基本性質中隱含著分割、單位量轉換以及單位分數等概念，以及理解其“等值”的本質。

3.利用幾何直觀，提高學生解決分數運算和應用的能力。傳統的分數運算教學中，主要以學生能夠熟練、準確地進行四則運算為教學的重點，注重算理和算法融合的課堂也是更多局限在于學生理解算理的基礎上掌握算法。運算的方法和技能固然重要，但是從發展學生數學素養和建構知識結構的角度思考，如果忽視學生對分數意義本質理解主導下的算理融通，便會使得分數運算和解決問題的教學趨向形式形、記憶性，而缺乏類比遷移、推理論證、迭代遞歸。

責任編輯 邱 麗