求數列通項的題型分析及方法總結

鄧艷麗

? 甘肅省慶陽六中

求數列通項是數列部分的一種常考題型,本文中對求數列通項的題型進行分類總結,給出六種求解方法:累加法、累乘法、裂項相消法、特征根法、對數構造法、換元構造法.

1 累加法

例1已知數列{an}滿足an+1=an+2×3n+1,a1=3,求數列{an}的通項公式.

解：由題設條件,得an+1-an=2×3n+1.

所以,有

故an=3n+n-1.

總結:運用累加法求通項公式時,須注意等式兩邊的項的系數要相等.除此之外,有關f(n)的求和方法需掌握如下幾種.對于一次函數型的f(n),可采用等差數列求和公式法進行求和;對于分式函數型的f(n),可采用裂項相消法求和;對于二次函數型的f(n),可采用分組法求和;對于指數函數型的f(n),可采用等比數列求和公式進行求和,復雜的可先分組然后再利用等比數列求和公式.

2 累乘法

例2已知數列{an}滿足an+1=2(n+1)5n×an,a1=3,求數列{an}的通項公式.

當n=1時,a1=3,符合上式.

總結:采用累乘法求解通項公式時,須注意該數列可變形為數列相鄰項的比等于某個函數的形式.除此之外,在求解出通項公式后需驗證當n=1時是否滿足,若不滿足應分段寫出通項公式.

3 裂項相消法

對于分式函數型的遞推數列的通項可采用裂項相消的方法求解.具體做法是:將分式函數中的每一項進行拆解,然后重新分組求和,從而得到通項公式.

(1)求數列{an}的通項公式an;

當n≥2時,由an=Sn-Sn-1,得an=2n.

當n=1時,a1=S1=2,符合an=2n.

所以an=2n(n∈N*).

(2)因為an=2n(n∈N*),所以

總結:利用裂項相消法時,須注意消項后剩下的項在位置上是對稱的,并且前后的正負性是相反的.除此之外,在拆分的過程中應檢驗裂項后得到的式子是否與拆分前的式子相等.

4 特征根法

例4已知數列{an},a1=-1,a2=2,an+2=an+1+2an,求數列{an}的通項公式.

解：特征方程為x2=x+2.

解得x1=-1,x2=2.

總結:利用特征根法求解通項公式時,須注意先將復雜的遞推公式轉化為an+2=pan+1+qan的形式,然后再按照特征根法進行求解.

5 對數構造法

設cn=log2bn+1,則cn=2cn-1.

又c1=log21+1=1,所以cn=1×2n-1=2n-1.

于是log2bn+1=2n-1,即log2bn=2n-1-1.

所以bn=2n-1-1.

總結:運用對數構造法求數列通項時,須注意數列各項應均為正數,對數底數不一定為10,可結合題目條件選擇恰當的底數.

6 換元構造法

例6已知數列{bn}滿足bn=3bn-1+3n+1,b1=3,求數列{bn}的通項公式.

數列{cn}是以1為首項、3為公差的等差數列,即cn=1+(n-1)·3=3n-2.

總結:運用換元構造法求數列通項時,除了可將an=pan-1+qn類型的數列換元外,還可將數列中帶有根號、指數、對數等復雜的式子進行換元處理.謹記最后需將原來的式子換回來并進行求解.

本文中對于常見的數列通項的求解方法進行了歸納總結,還有其他類型的求解方法有興趣的讀者可以繼續探討.