動點變化巧創設,半徑最值妙轉化
——一道外接球半徑最值的探究

徐 玥

? 江蘇省南京田家炳高級中學

立體幾何中的動點問題,是創新情境背景下的一類特殊問題,主要通過空間動點的運動變化,結合一些特殊條件的限制,進而研究與之相關的空間幾何體的一些最值或取值范圍問題.其中空間幾何體的外接球問題,是此類問題中的一類熱點與難點問題.解決問題的關鍵就是合理審題,借助一些“動”與“不動”的要素,認真分析動點變化特點,尋找靜態因素與動態因素之間的關系,從靜態因素中尋找解決問題的突破口,以“靜”制“動”,以“靜”帶“動”,“動”中尋“靜”,“動”“靜”結合,巧妙處理.

1 問題呈現

圖1

問題〔2023年浙江省杭州高級中學高考數學模擬試卷(5月份)〕如圖1,在棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1上的動點(不含端點),則三棱錐M-AB1C的外接球的半徑最小值為( ).

此題以正方體為背景,結合“定底面變頂點”的三棱錐M-AB1C的創設,以“動”態形式給出場景,通過對應三棱錐M-AB1C的外接球半徑的“變化”來確定其最小值問題.問題動靜結合,解題時,可以從兩個視角切入:

(1)幾何法,這是解決此類問題的常規思路,首先找到外接球的球心,然后建立與外接球半徑有關的方程,解方程即可;

(2)代數法,對大部分學生而言,解決空間立體幾何問題的通法仍然是建立空間直角坐標系,找出與半徑有關的數量關系,建立目標函數,求得最值即可.

2 問題破解

2.1 幾何思維

方法1：幾何法.

圖2

解析：如圖2,在正方體中易得BD1⊥平面AB1C,且BD1過正三角形AB1C的外心O1,同時O1是線段BD1的三等分點,則三棱錐M-AB1C的外接球的球心O在線段BD1上.

又M是棱DD1上的動點(不含端點),則當三棱錐M-AB1C的外接球的半徑最小時有OM⊥DD1,此時外接球的半徑r=OM.

設D1M=t,其中t∈(0,3).

故選擇答案:D.

解后反思：利用幾何法解決空間幾何體的外接球問題,關鍵在于確定外接球的球心,合理構建幾何體底面截面圓的小圓與外接球直徑所在的大圓之間的位置關系,為進一步的分析與求解提供條件.

2.2 代數思維

方法2：坐標法1.

圖3

解析：易知三棱錐M-AB1C的外接球的球心O在線段BD1上.

設M(0,3,t),其中t∈(0,3).

設三棱錐M-AB1C的外接球的半徑為r,則有OA=OM=r,即OA2=OM2,可得

(3-3λ)2+(3λ)2+(3λ)2=(3-3λ)2+(3λ-3)2+(3λ-t)2.

下面從兩個方向來分析與求解.

方向(1):基本不等式法.

方向(2):函數與導數法.

方法3：坐標法2.

又M是棱DD1上的動點(不含端點),則當三棱錐M-AB1C的外接球的半徑最小時有OM⊥DD1,此時外接球的半徑為r=OM.

解后反思：根據坐標法解決立體幾何問題,就是合理構建空間直角坐標系,利用坐標運算代替一些邏輯推理便于分析與求解.如果能利用幾何法知道動點M的位置的話,利用坐標法會比較快捷;反之,若不知道動點M的位置,也可利用函數思想建立目標函數,借助函數的性質或不等式思想等來求解,這對于空間感比較薄弱的學生比較友善.

3 教學啟示

3.1 剖析動點變化,挖掘解題模型

立體幾何中的動點變化問題,往往隱藏于該動點所處的空間幾何模型中,抓住動點的運動規律,挖掘對應的空間幾何模型是制勝法寶.

在解題的過程中,關注空間想象以及邏輯推理的應用,做到“胸有圖形”,“動”中尋“寶”,構建正確的空間圖形.具體解答時,或借助邏輯推理利用幾何法定性分析,或引入參數利用代數法定量計算等,不同思維視角與應用都可以很好地實現“動”與“靜”的和諧統一與轉化.

3.2 空間最值問題,解題技巧策略

涉及立體幾何中的動點最值或取值范圍問題,正確剖析題目條件,把握問題的內涵與實質,解題的常見基本技巧與策略有:

(1)“動中覓靜”思維.結合動點變化過程中的不變性,抓住“動”的過程中的一個瞬間——“動”中取“靜”,此時是運動的一種特殊形式,化一般情形為特殊情形,問題迎刃而解.

(2)降維思維.化“三維”為“二維”,將空間動點變化問題轉化到同一個平面上對應元素的運動與變化,巧妙降維處理,利用平面幾何的知識來分析與應用.

(3)坐標思維.合理構建空間直角坐標系,結合動點坐標的設置與應用,利用空間知識來分析與處理,利用函數與導數、不等式等相關知識來分析與應用.