一道解析幾何綜合題的探究

劉 海

? 江蘇省曲塘高級中學

平面解析幾何中的最值(或取值范圍)問題,往往以“壓軸題”的形式出現在高考選擇題、填空題或解答題中的對應位置,成為高考命題乃至自主招生、競賽中的“常客”之一,更是各類模擬考試中常考的基本題型之一.此類問題,除了可以很好地考查平面解析幾何的基本知識,還可以巧妙融合平面幾何、函數與方程、三角函數、不等式、函數與導數等其他相關知識,契合“在知識交匯點處命題”的命題理念,同時又能很好考查學生基本的數學思想方法和核心素養等,創新新穎,花樣翻新,難度較高,但其基本解題思路與技巧方法仍然有章可循,有法可依.

1 問題呈現

此題以拋物線、圓為綜合問題載體,結合直線與拋線物、直線與圓的位置關系,以及坐標原點與交點所構成的三角形的面積,通過兩個不同三角形的面積的比值創設,進而確定相應的最值問題.

本題解題的關鍵是構建兩個不同三角形面積的表達式,合理引入參數是根本所在.可以通過設線法、設點法或參數方程法等多思維視角切入,利用三角形面積公式的不同形式來確定對應的面積表達式,為進一步確定面積比值的最值提供解題依據與基礎.

2 問題破解

方法1：設線法.

圖1

解析：由題意可知,直線AB的斜率不為0,故設直線AB的方程為x=my+4.

如圖1所示,設A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4).

將直線AB的方程代入圓E的方程,消去參數x并整理,可得(m2+1)y2-12=0.

利用韋達定理,可得

解后反思：設線法是處理直線與圓錐曲線位置關系問題中比較常用的一種“通性通法”,巧設直線方程,與圓錐曲線的方程聯立,利用函數與方程思想,通過韋達定理構建相應交點的坐標關系式,為進一步分析與探究提供條件.設線法往往要結合直線的斜率是否存在、是否為零等信息加以創新設置,其目的是回避分類討論,優化解題過程.

方法2：設點法.

以AB為直徑的圓E的方程為

(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

整理,可得x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0=x2-8x+y2+4.

所以x1+x2=8,y1+y2=0,x1x2+y1y2=4.

解后反思：設點法也是處理直線與圓錐曲線位置關系問題中比較常用的一種“通性通法”,借助點的坐標的設置,可以建立直線方程、構建坐標參數所滿足的關系式等,結合題設條件可以合理“串聯”起不同坐標之間的關系,以方便問題的進一步分析與解決.設點法往往抓住點所在的直線、圓錐曲線等加以合理設置,盡量減少參數的個數,以方便后繼的數學運算與綜合解題.

方法3：參數方程法.

解后反思：參數方程法是處理直線與圓錐曲線位置關系問題中比較常用的一種“巧技妙法”,借助直線、圓、圓錐曲線等參數方程的設法,對應直線或曲線上相應點的坐標,通過參數的變化進一步分析與求解實際問題.參數方程法的應用過程中,要注意點參、線參、角參等取值范圍的限制,要合理挖掘題設條件,正確加以確定,這對后繼的數學運算與解題起到至關重要的作用.

3 教學啟示

3.1 歸納總結方法,養成解題習慣

求解平面解析幾何中的最值(或取值范圍)問題時,要抓住直線與圓錐曲線的位置關系等場景,巧妙選取合理的參數,如點參、線參、角參等,同時結合題設條件或隱含條件等確定對應參數的取值范圍.

在設參的基礎上,借助直線與圓錐曲線的位置關系等切入,巧妙建立關于相應參數的目標函數,進而利用圓錐曲線自身的幾何性質,或借助二次函數、基本不等式、函數與導數等來分析與求解對應的最值(或取值范圍)問題.

3.2 “一題多解”思維,深入研究拓展

解平面解析幾何的最值(或取值范圍)問題時,由于參數選擇的形式多樣,根據題設合理選擇點參、線參、角參等,這就為解決此類問題提供了更加豐富多彩的思維視角,是實現多種方法解題的根本,可以很好實現“一題多解”的巧妙應用,同時對不同的技巧方法加以對比、分析,從中合理優化,提升能力.

基于此類問題的“一題多解”,可合理對問題條件、問題結論,以及問題的求解方法、求解過程等加以深入研究與分析,從而合理拓展與應用,達到“一題多思”“一題多變”“一題多得”等方面的良好效果,對于全面提升數學解題能力以及培養數學核心素養都有益處.