利用函數圖象確定零點個數

曹 兵

? 江蘇省南通市海門第一中學

在高中必修課程體系中,判斷函數零點的個數屬于必學內容之一,函數零點個數的判斷比較抽象,需要深入理解,與方程有關的根和函數的零點個數的內容主要包括兩個理論以及由這兩個理論推廣出的一個理論.

理論1：函數y=f(x)有零點?方程f(x)=0有實數根?函數y=f(x)的圖象與x軸有交點.

理論2：如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是一條連續不斷的曲線,且有f(a)f(b)<0,那么,函數y=f(x)在區間(a,b)內至少有一個零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的解.

理論3：函數y=f(x)與y=g(x)的圖象有交點?方程g(x)-f(x)=0有解,即g(x)-f(x)=0有實數根?函數g(x)-f(x)=F(x)有零點.

上面的分析以及相應的三個結論,如果從純粹的數學知識的角度來看,屬于高中數學知識體系當中的重要內容.學生掌握這些內容,一方面可以完善自己的認知體系,另一方面可以形成較強的問題分析與解決能力.但筆者以為僅有這樣的認識是不夠的,因為利用函數圖象確定零點的個數,更是在一定程度上體現了數學學科的內在特點,同時也體現出了數學思想方法的應用[1].其中,最典型的思想就是數形結合思想.根據筆者的調查研究發現,盡管幾乎所有學生在數學知識學習與運用的過程當中都能體會數形結合思想,但很多時候學生的這種體會并沒有上升為數學意識,這也就導致很多學生在學習新的數學知識或在解題的時候,難以有意識地將數形結合作為思維突破的切入口.說得直白一點,就是學生的體驗沒有上升為理性認識,這顯然無助于數學核心素養的發展.因此,基于上面的分析,接下來結合實例來分析、研究函數零點的相關問題,融合數形結合思想和函數思想,培養學生數形結合的思維方式,體會數形結合方法的典型性和優點.

圖1

例2方程log2x=-(x-1)2+2實數根的個數為______.

圖2

這道題也可以采用圖象法.設g(x)=-(x-1)2+2,f(x)=log2x在同一直角坐標系中作出這兩個函數的圖象,如圖2所示.根據圖象分析可以得到,兩個函數圖象有且只有一個交點,因此方程log2x=-(x-1)2+2有且只有一個實數根.

評析：求方程實根的個數通常有兩條途徑.(1)轉化為兩個函數圖象交點的個數,結合函數圖象求解;(2)轉化為一個函數零點的個數,結合零點存在定理求解.相較于利用零點存在定理,明顯結合函數圖象的方法更簡單明了.

例3求方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)(a是常數)的實數根個數.

lg[(x-1)(3-x)]=lg(a-x),

即a-x=(x-1)(3-x).

圖3

令f(x)=(x-1)(3-x)(其中1

方法2:根據題意分析可知,原方程等價于

在同一個直角坐標系中,作出函數h(x)=-3+5x-x2(1

圖4

根據圖象,可以觀察函數y=h(x)和y=g(x)圖象交點的個數情況(略).

評析：結合函數圖象求解與函數零點個數相關的問題,不僅可以省去較為復雜的運算,而且通過圖象可以快速得出正確的答案.

掌握確定函數零點個數的方法對于學生來說十分重要,結合圖象確定零點個數是目前最常用、最簡便的方法之一,它要求學生有良好的計算能力和基本的作圖能力,對學生的邏輯思維有一定的要求,要求學生能全面分析問題,還要注意限制條件,作圖要盡量準確.學好零點個數求解,可以有效提升數學素養[2].

對上述教學過程進行概括與反思,筆者以為在高中數學教學中,最直接的抓手當然是數學知識的建構與運用,這是由當前的考核評價機制決定的,教師的教學必須努力服務于學生思維能力的發展與解題能力的提升.與此同時,教師也必須關注學生數學學科核心素養的發展和學生對數學思想方法的領悟.無論是核心素養的發展還是數學思想方法的領悟,其實都不影響學生解題能力的提升,同時還能夠為學生的可持續發展奠定基礎.比如上面所強調的數形結合,是數學學科特征的直接體現,更是高中數學教學最不能忽視的思想方法之一.對于數形結合,不僅要讓學生有實際的體驗,還要讓學生有真切的收獲.這種收獲對于學生來說應當是顯性的,只有當學生明確認識到數形結合能夠反映數學學科的特征時,才能夠有意識地在數學知識學習與運用的過程當中自動激活數形結合思想,從而讓數形結合真正成為學生數學解題的利器[3].

在這篇文章當中,函數圖象與零點個數的研究是一個突破口,只是一條明線,數形結合思想是背后的暗線,是學生領悟的重點,這才是筆者想重點強調的.