“特殊與一般”思想在“函數的單調性”教學中的應用

石佳佳

? 上海市復興高級中學

1 課程分析

函數是高中數學的核心內容,也是難點部分.在函數的諸多性質中,單調性無疑是非常重要的.2020年,上海市全面啟用滬教版新編高中數學教材(下文簡稱為新編教材).與舊版教材相比,新編教材更加注重數學知識的內在邏輯和思想方法,教學概念解釋得更加清晰透徹,大幅提高了教材的可讀性.在新編教材中,“函數的單調性”安排在必修第一冊第5章第2節“函數的基本性質”中,是在函數概念和表示方法之后,學習的函數的第二個基本性質.本節公開課的教學目標有以下兩點:一是學習函數單調性的抽象概念,二是學會根據函數單調性的定義判斷給定函數的單調性.

新編教材中,對函數單調性定義的描述具有一定的抽象性,學生難以準確理解和掌握單調性的含義.其實,函數的單調性普遍存在于一些具體、特殊的函數中.另外,學生在初中階段已學過一次函數、二次函數與反比例函數等具體函數,對它們的圖象、性質等比較熟悉.值得注意的是,學生在第4章已學習了指數函數與對數函數的函數值隨著自變量的變化而變化的規律,對這些類型的函數的圖象、性質等比較熟悉.因此,在給出單調性的定義之前,筆者首先引導學生回顧指數函數與對數函數等,總結出它們的共同性質,即根據函數值隨著自變量變化而變化的現象,引導學生概括函數單調變化的規律,并用嚴格的數學語言加以描述,最終抽象出函數單調性的定義.因此,學生在函數的單調性概念的學習中,經歷從特殊到一般、從具體到抽象的認知過程,培養數學抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養,有助于他們更好地掌握函數單調性的概念[1-2].采用上述從特殊到一般的正向過程,通過簡單的函數案例,總結出函數單調性的定義,再采用從一般到特殊的反向過程,帶領學生研究更多具體的函數單調性案例[3].此時學生已對函數的單調性有較多的認識,因此可適當增加探究案例的復雜程度,讓學生利用所學新概念解決更復雜的問題,增強數學知識的獲得感,進而提升學習抽象數學知識的積極性.

2 教學思想

筆者在“函數的單調性”教學中,靈活采用了特殊與一般的數學思想,先是從特殊到一般的正向過程,通過簡單的函數案例總結出函數單調性定義之后,再采用從一般到特殊的反向過程,帶領學生研究更多具體的函數單調性案例.2017年普通高等學校全國統一招生理科數學考試大綱中對特殊與一般的數學思想有明確的解釋[4]:“特殊與一般的數學思想是通過對問題的特殊情形(如特殊函數、特殊數列、特殊點、特殊位置、特殊值、特殊方程等)的解決,尋求對問題的一般的、抽象的、運動變化的解決思路.”特殊與一般的數學思想主要包括兩個方面,即從特殊到一般與從一般到特殊.如圖1所示,從特殊到一般,是指在學習抽象的數學概念、定理、性質的過程中(如函數單調性),通過從具體的例子著手研究,歸納出知識的本質屬性,采用歸納推理最終得出一般性結論.反之,從一般到特殊,是指將得到的一般性結論運用在實踐案例中,運用演繹法處理具體的新問題.

圖1 特殊與一般的數學思想

3 公開課實錄

3.1 創設情境,引出課題

德國心理學家艾賓浩斯,曾對人類記憶遺忘程度進行了實踐研究.經過實際測試,得到表1所示的一些數據:

表1

師:請同學們用描點法畫出“艾賓浩斯遺忘曲線”,你能發現什么規律?

生:記憶量隨著時間的增長而減小,從圖象上來看,呈下降趨勢.

師:仔細觀察遺忘曲線,能給我們怎樣的啟示呢?

生:當我們學了一個新知識暫時記住之后,很快就會開始遺忘,而且在記住后的兩天內就會遺忘大部分.隨著時間的推移,保留的記憶量越來越少,遺忘的越來越多.因此,可以總結出人腦的記憶保留量隨著時間的增長而逐漸遞減;反之,記憶遺忘量隨著時間的增長而逐漸增多.艾賓浩斯遺忘曲線告訴我們,學習完一個新的知識要及時復習,這樣才能提高學習效率.

師:非常好!回歸到本節課內容,圖象呈上升或下降趨勢反映了函數的一個基本性質,即本節所研究的函數的單調性.

師生互動:教師提出問題,學生思考回答,教師補充并引出本節課題.

設計意圖：一個好的問題能引起學生興趣,啟迪學生的思考,將思維引向深刻.利用“艾賓浩斯遺忘曲線”引入新課,可以激發學生學習數學的興趣,引發探究數學知識的欲望.

3.2 從特殊到一般

師:我們已經學習了指數函數和對數函數的單調性,它們的單調性如何?

生:指數函數y=ax(a>1)在區間(-∞,+∞)上是嚴格增函數.圖象由左至右是上升的,函數值y隨著自變量x的增大而增大.

師:如何用符號語言描述指數函數y=ax(a>1)在區間(-∞,+∞)上是嚴格增函數?

生:任取x1,x2∈(-∞,+∞),當x11)在(-∞,+∞)上是嚴格增函數.

師:很好!那對數函數y=logax(a>1)的單調性呢?

生:對數函數y=logax(a>1)在區間(0,+∞)上是嚴格增函數.圖象由左至右是上升的,函數值y隨著自變量x的增大而增大,即任取x1,x2∈(0,+∞),當x11)在區間(0,+∞)上是嚴格增函數.

師:結合指數函數與對數函數在給定區間上是嚴格增函數的符號語言,能給一般函數y=f(x),x∈D下一個嚴格增函數的定義嗎?

生:任意x1,x2∈D,當x1

師:有沒有不同的意見?是所有的函數在定義域上都是嚴格增函數嗎?你能舉出反例嗎?

生:y=x2的定義域為R,而它在區間[0,+∞)上是嚴格增函數.

師:非常好!所以我們需要修訂定義中的區間,不妨設區間I是D的一個子集.下面給出課本上對一般函數單調性下的定義:“對于定義在D上的函數y=f(x),設區間I是D的一個子集.對于區間I上的任意給定的兩個自變量的值x1,x2,當x1

師:類比嚴格增函數的定義,你能否給嚴格減函數下一個定義?

生:對于定義在D上的函數y=f(x),設區間I是D的一個子集,對于區間I上的任意給定的兩個自變量的值x1,x2,當x1f(x2),就稱函數y=f(x)在區間I上是嚴格減函數;如果總有f(x1)≥f(x2),就稱函數y=f(x)在區間I上是減函數.

師:非常好!上述我們定義的“嚴格增”“嚴格減”“增”及“減”統稱為函數的單調性.

師:根據函數單調性的定義,嚴格增函數是增函數嗎?增函數是嚴格增函數嗎?

生:嚴格增函數是增函數,但增函數未必是嚴格增函數.

設計意圖：引導學生采用從特殊到一般的數學思想,用符號語言定義函數的單調性.

3.3 從一般到特殊

(1)常值函數的單調性

師:下面探究常值函數y=c(c∈R)的單調性,請同學們分小組討論.

生:結合函數單調性的定義,常值函數y=c(c∈R)在定義域(-∞,+∞)上既是增函數也是減函數.

(2)二次函數的單調性

師:探究二次函數y=x2-2x的單調性,并加以證明.

生:先結合該二次函數的圖象得出初步結論,再通過函數單調性的定義給出證明.

令f(x)=x2-2x,設x1

f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1+x2-2)>0,

因此f(x1)>f(x2).故y=x2-2x在(-∞,1]上為嚴格減函數.

同理,y=x2-2x在[1,+∞)上為嚴格增函數.

師:你能歸納出利用定義證明函數單調性的一般步驟嗎?

生:①設x1,x2是給定區間內的任意兩個實數,且x1

②比較f(x1)與f(x2)的大小;

③給出結論.

師:上述二次函數y=x2-2x在區間[-2,2]上是嚴格減函數嗎?

生:不是.當x=1時,f(x)=-1;x=2時,f(x)=0.

師:你能構造一個二次函數,使得它在區間[-2,2]上是嚴格減函數嗎?

生:若二次函數的圖象開口向上,則只需對稱軸在區間[-2,2]的右側即可.

師:結合上述特殊的二次函數,探究一般二次函數f(x)=ax2+bx+c(a<0)的單調性,并加以證明.

設計意圖：利用函數單調性的定義,探究常值函數、二次函數等特殊函數的單調性問題,鞏固了函數單調性的定義,更體現出一般到特殊的數學思想.

3.4 課堂小結

師:這節課主要學習了什么?有何收獲?

生:通過“艾賓浩斯遺忘曲線”的引入,結合指數函數、對數函數等特殊的例子,學習了函數單調性的定義,并掌握了利用函數單調性的定義證明函數單調性的方法與步驟.

師:本節課體現了哪些數學思想?

生:從“特殊到一般”、再從“一般到特殊”的辯證數學思想.

4 舉一反三

新編教材著重強調培養學生的數學學科核心素養,擺在第一位的便是數學抽象能力,即從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構,并用抽象的數學語言予以表征.在結構安排上,新編教材在介紹抽象概念之前,會先介紹相關具體化的概念.例如,在必修第一冊第5章介紹函數性質之前,先在第4章介紹指數與對數函數;在必修第二冊第7章介紹三角函數之前,先在第6章介紹三角的數學概念;等等.特殊與一般的思想方法不僅符合學生對新概念的認知規律,也符合新編教材編排規律與課程標準提出的提高學生推理能力的要求[5].因此,在新知識、新概念的教學過程中,結合具體授課內容特點,靈活實施特殊與一般的數學思想,注重在分析、歸納與概括的過程中形成概念,并在概念形成之后,運用具體練習強化對新學概念的理解,最終能提升學生掌握新編教材中抽象數學知識的能力[6].

5 小結

綜上可知,滬教版新編數學教材加強了對學生數學抽象能力的培養,對一線教師的教學能力與水平提出了更高的要求.本文中以函數單調性的抽象定義教學為例,提出利用從“特殊到一般”、再從“一般到特殊”的數學思想,引導學生在具體案例與一般定義之間靈活轉換思維,使抽象的數學定義形象化,破解學生對抽象數學知識的學習障礙.在實際教學當中,教師應深挖新編教材的結構規律,了解學生已掌握的知識背景,合理安排與選取典型的教學案例,促使學生全面提升掌握抽象數學概念的能力.