深度學習視閾下“問題鏈”在高中數(shù)學課堂教學中的策略研究*

曹華平

? 海南省保亭黎族苗族自治縣保亭中學

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》強調落實數(shù)學學科核心素養(yǎng),教師應該整體把握數(shù)學課程,努力提升教學設計和實施能力,在教學活動中應把握好數(shù)學的本質,通過創(chuàng)設合適的問題情景、提出合適的數(shù)學問題去引發(fā)學生思考與交流.“問題鏈”教學倡導教師緊密圍繞教學內(nèi)容,深度挖掘教學內(nèi)容的教育價值,按照一定的邏輯結構精準設計一組環(huán)環(huán)相扣的問題串,并通過這一個個問題鏈將教材內(nèi)容融入到探究活動中,實現(xiàn)數(shù)學學習從知識主線到問題主線、從問題主線到思維主線的轉變,從而引領學生的學習.“問題鏈”是以問題的梯度優(yōu)化教學結構,搭建學生在已有學習經(jīng)驗和未知問題探究之間的橋梁,實現(xiàn)數(shù)學學習的強遷移,從而促進深度學習,為數(shù)學核心素養(yǎng)的達成提供路徑.

1 “問題鏈”的設計要架構問題情境,厘清知識發(fā)展脈絡,促進有效生成,使本質更突出

問題引領師生交流對話是課堂教學中最常見的思考組織形式,是數(shù)學深度學習賴以發(fā)生的孵化器,更是數(shù)學深度學習得以維持的助推器.有效“問題鏈”的設計則把問題情境與教學目標緊密連接到一起,在為學生提供高質量的數(shù)學內(nèi)容的同時,更是師生問答境域中的“再次對話”,是問題引領課堂的深度表現(xiàn),是對問題本質的再接近,是對知識意藴的再挖掘.兩角和與差的余弦公式是三角函數(shù)的定義與性質、同角三角函數(shù)基本關系式、誘導公式的延伸,也是平面向量知識的實際應用.對于“兩角和與差的余弦公式”的教學,可以從學生的認知與思維構建的角度設計問題鏈(圖1).

圖1 “兩角和與差的余弦公式”問題鏈設計示意圖

“兩角和與差的余弦公式”的問題鏈教學設計,探究角α-β的三角函數(shù)與角α,β的三角函數(shù)之間的等量關系,讓各個主干問題作為“學習入口”,很好地銜接了學生的已有經(jīng)驗,促使學生經(jīng)歷數(shù)學知識形成發(fā)展的全過程,概覽“兩角和與差的余弦公式”推導的整體圖景,形成了學科的“大觀念”,有效厘清了“兩角和與差的余弦公式”的基本結構與內(nèi)在聯(lián)系,達到對數(shù)學核心觀念的本質理解和運用,實現(xiàn)形數(shù)思維的靈活轉換,構建出了“問題引領-活動探究-達成目標”學習活動體驗,使得學科知識生成自然、本質突出.

2 “問題鏈”的設計要搭建思維階梯,導引思維過程,消除認知障礙,使推理更自然

“問題鏈”教學的本質就是圍繞數(shù)學核心素養(yǎng)的落實,教師通過從整體視角對教學內(nèi)容進行解構與設計,確定高質量的主干問題及鋪設序列化子問題,引導學生由淺入深地建構知識骨架體系,進行層次化、遞進化和高效化的數(shù)學學習,并通過臺階搭建,引發(fā)新的思維,獲得持續(xù)向前發(fā)展的動力,逐步達到深度學習的目的,從而消除認知障礙.

例如,在“基本不等式”新授課中,問題鏈的情境創(chuàng)設借助第24屆國際數(shù)學大會會標(圖2)——趙爽的弦圖談開去.

圖2 基于趙爽“弦圖”下的第24屆國際數(shù)學大會會標

問題1三國時期吳國的數(shù)學家趙爽利用“弦圖”中的面積相等關系巧妙地證明了勾股定理,你還能在“弦圖”中根據(jù)邊長或面積找出一些相等關系或不等關系,從而得出一些等式或不等式嗎?

教師用幾何畫板展示圖3,幫助學生尋找“弦圖”中的一些相等關系或不等關系,激發(fā)學生的求知欲.

圖3 幾何畫板演示“弦圖”中的不等關系

師生活動:重要不等式——?a,b∈R,a2+b2≥2ab,當且僅當a=b時,等號成立.

教師點評(特別指出重要不等式成立的條件以及a,b是可以用別的式子整體替換的).

設計意圖：為基本不等式的引出鋪墊,也為后續(xù)區(qū)別基本不等式成立的條件埋下伏筆.

追問1:該式子要成立,需滿足什么條件呢?

基本不等式表明:兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

追問2:基本不等式和重要不等式在結構和條件上有哪些不同點,哪些相同點?

師生活動:a與b的范圍不同,式子的形式不同,應用范圍不同.相比重要不等式,基本不等式形式更為簡單,并且隨著后續(xù)的學習,能感受到基本不等式應用更加廣泛.相同點是等號成立的條件都是a,b相等.

問題3我們知道,數(shù)學中“數(shù)”與“形”是緊密聯(lián)系的,那么,“基本不等式”是否也是某種幾何關系的體現(xiàn)呢?

圖4

師生活動:如圖4,AB是圓O的直徑,C是AB上一點,AC=a,BC=b,過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD,BD.你能利用這個圖形,得出基本不等式的幾何解釋嗎?

基于“基本不等式”問題鏈的教學設計,以學生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎,創(chuàng)設直觀情境加深了對基本不等式的直觀感受,強化了“基本不等式”的三種表達形式,通過“數(shù)”與“形”的聯(lián)系,引領學生經(jīng)歷定值與最值的探索活動過程,進而深層次挖掘應用“基本不等式”求最值的本質,實現(xiàn)教法和學法的最優(yōu)秀組合.

3 “問題鏈”的設計要探尋知識燃點,積累數(shù)學活動經(jīng)驗,加深認知體驗,使理解更高效

數(shù)學教材中的知識本質多是寓于數(shù)學知識結構體系之中,教師以問題鏈為教學支架,圍繞教學目標在知識體系的整體框架上進行“問題鏈”的設計,將問題的解決與目標的指向相對應,分析已知與未知的關系,探尋知識燃點,實現(xiàn)多元表征的轉化,從而將復雜的總目標一層一層分解為簡單的次目標.同時,合理把握目標間的難度、跨度、梯度及開放度,再集中力量逐步攻克次目標,做到在內(nèi)容上環(huán)環(huán)相扣,在目標上步步深入,促進學生的思維走向縱深,從而加深認知,積累豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗.

在“正方體截面的探究”的活動中,教師借助實物模型的直觀和信息技術的運用,面對生活中隨處可見裝液體的容器,引導學生觀察不同擺放位置、不同液體量時液體表面的形狀.結合探究活動,通過設置問題鏈,引導學生從截面多邊形的邊數(shù)、邊界線的長度、邊界線的位置關系,歸納截面圖形特征,總結分類原則,探索圖形的變化規(guī)律,加深對截面實質的理解,形成解決數(shù)學實際問題的科學思維,學會研究數(shù)學問題的基本方法和常規(guī)思路,提升學生的理性思維,實現(xiàn)學科育人的目的.

問題1展示將有顏色的液體注入透明正方體容器,把水面當成正方體的截面,引導學生觀察液體量不同時,液面會發(fā)生怎樣的形狀變化呢?

追問1:在液體量一定的情況下,對于正方體不同的擺放方式,觀察平靜液面的形狀變化,能畫出這些截面的示意圖嗎?

追問2:觀察這些截面示意圖,說一說這些截面有幾類不同的形狀?

追問3:在裝有顏色的液體的正方體中,觀察旋轉到不同方位的正方體內(nèi)液面的變化情況,試問平靜液面的形狀存在多于六邊形的截面嗎?

問題2通過正方體液面的形狀變化,說說截得這些形狀截面的方法.如果按照邊數(shù)進行分類,這些截面圖形可以歸納為幾類?(如表1.)

表1 “正方體截面的探究”活動案例截面形狀

追問4:如果正方體截面的形狀是三角形,能截出幾類不同形狀的三角形(分別按邊、角分類)?如何截取?

追問5:截出的三角形一定是銳角三角形嗎?試證明.

追問6:指出截出最大面積的三角形截面,說一說如何截取?

追問7:如果截面的形狀是四邊形,能截出幾類不同形狀的四邊形(分別按邊、角分類)?如何截取?

追問8:截出的四邊形可以是直角梯形嗎?試證明.

追問9:還能截出哪些多邊形?能截出正五邊形嗎?試證明.

追問10:是否存在正六邊形的截面?為什么?

結合“幾何畫板”的演示,進一步引導學生觀察、驗證自己的猜想,歸納截面圖形特征,總結圖形分類原則,體驗知識發(fā)生發(fā)展過程,積累圖形變化活動經(jīng)驗,理解數(shù)學的本質,以及邏輯性、層次性和整體性.

問題3已知正方體的棱長為1,每條棱所在的直線與平面α所成的角都相等,則平面α截此正方體所得截面面積的最大值為( ).

通過問題鏈的設置,啟發(fā)學生從截面多邊形的邊數(shù)、邊界線的長度、邊界線的位置關系來研究截面的性質,直觀感受正方體截面的形狀大小變化(圖5),經(jīng)歷“確定對象—探究性質—論證判斷”的研究過程,學會研究數(shù)學問題的基本方法和常規(guī)思路,加深對截面實質的理解,實現(xiàn)“直觀”在認知結構中的重構,從而實現(xiàn)思維的可視化.積累從具體到抽象的數(shù)學探究活動經(jīng)驗,增強正方體模型意識,初步了解如何通過運算定量描述位置特征關系,提升學生的學科素養(yǎng).

圖5 正方體棱與平面α所成的角都相等的截面示意圖

總之,問題是驅動學生思考、引領學生深度學習的重要載體,是思維的起爆器.問題鏈因其強調為學生提供思維脈絡而成為促進學生思維進階的重要途徑.在高中數(shù)學教學設計與實施中,如何架構與應用問題鏈,使之能有效促進學生的思維進階,讓學生自覺成為學習的主體,較好地起到啟學引思、導學導教的作用?這就需要在問題鏈的教學設計中從目標問題出發(fā),設置探尋導向目標問題的問題序列,解決目標間的邏輯盲區(qū),處理好預設與生成的關系,將大問題轉變?yōu)橐粋€個層次遞進的小問題,引導學生在已有的認知基礎上依次突破小目標,建構新的認知結構,最終實現(xiàn)教學大目標,讓深度學習真正發(fā)生.