賞析2023年高考數學新課標Ⅰ卷第16題

孫夢麗 王 彬

? 江蘇省沭陽高級中學

1 試題內容

2 解法分析

以雙曲線為背景求離心率是常見題型,可選擇的切入點有:

(1)結合平面幾何知識,借助雙曲線定義、正余弦定理構建方程來求解;

(2)建立平面直角坐標系,設點或設線,將題設條件轉化為坐標關系得到方程,從而求解.

本題思維導圖如圖1所示.

圖1

3 試題解答

思路1：以向量模長關系為切入點.

解法1：用余弦定理構建a與c的關系式.

圖2

設|AF2|=2m,則|BF2|=3m=|BF1|,|AF1|=2a+2m,|AB|=5m.

在Rt△ABF1中,有9m2+(2a+2m)2=25m2,則(a+3m)·(a-m)=0,故a=m或a=-3m(舍去).

解法2：借助二倍角公式在直角三角形中構建a與c的關系式.

又cos∠F1BF2=1-2sin2∠OBF2,所以可得

解法3：由一對互補角的余弦值之和為零來構建a與c的關系式.

由cos∠BF2F1+cos∠AF2F1=0,得

思路2：以向量坐標關系為切入點.

解法4：由點A在雙曲線上構建a與c的關系式.

依題意,得F1(-c,0),F2(c,0).

令A(x0,y0),B(0,t).

化簡得t2=4c2.

所以25c2b2-16c2a2=9a2b2,即

25c2(c2-a2)-16a2c2=9a2(c2-a2).

整理得25c4-50a2c2+9a4=0,則(5c2-9a2)·(5c2-a2)=0,解得5c2=9a2或5c2=a2.

解法5：由雙曲線的定義來構建a與c的關系式.

由雙曲線的定義,知|AF1|-|AF2|=2a,即

思路3：以焦半徑公式為切入點.

解法6：由焦半徑公式結合條件得a與c的關系式.

思路4：利用焦點三角形中離心率的二級結論.

解法7：由焦點三角形中離心率的二級結論,結合條件得a與c的關系式.

4 追本溯源

歷年高考真題題源探究:

本題同樣是求解雙曲線的離心率,背景是雙曲線中的焦點三角形,且焦點三角形中有一個角已知,解決方法仍舊為幾何法或坐標法.

解法1：幾何法.設|MF2|=m,則|MF1|=3m.又|MF1|-|MF2|=2a,所以m=a.

解法2：坐標法.設M(c,y0),F1(-c,0),F2(c,0).

本題求解雙曲線的離心率,背景是雙曲線中的焦點三角形,與2023年新高考Ⅰ卷16題一樣以向量給出線段的比值關系,解決方法亦為幾何法或坐標法.

解法1：幾何法.(略)

解法2：坐標法.(略)

解法3：二級結論.

由此可見,2023年新高考Ⅰ卷第16題是例1與例2的延伸,將點B放在y軸上,構成等腰三角形.三道試題均對考生的作圖能力、邏輯推理能力、計算能力作了考查.

2023年新高考Ⅰ卷第16題是常見的圓錐曲線求離心率問題,結合了向量、解三角形等知識,深入考查邏輯推理能力、運算求解能力以及數形結合思想.需要學生能夠正確構圖、識圖、用圖,熟練借助向量語言“定位”點,窺見特殊點背后的特殊數量關系,構建合適的等量關系,還要有扎實細致的計算功底.在教學時,教師要注重學生分析問題能力的培養,從而使其做到以不變應萬變,游刃有余地解決離心率類問題.