斜撐離合器環形彈簧徑向剛度計算

張作超，雷浩偉，李澤強，黃兆猛，禹鑫

（1.洛陽軸承研究所有限公司，河南 洛陽 471039；2.河南省高性能軸承技術重點實驗室，河南 洛陽 471039；3.空軍裝備部駐洛陽地區第二軍事代表室，河南 洛陽 471039；4.燕山大學，河北 秦皇島 066000；5.河南科技大學，河南 洛陽 471003）

1 概述

斜撐離合器是一種靠主、從動部分相對速度的變化或旋轉方向的變換而自動接合或脫開的超越離合器，在航空、船舶、工程機械領域廣泛應用。斜撐離合器結構如圖1所示，主要由斜撐塊、保持架和環形螺旋彈簧3部分組成，彈簧首尾相連，位于斜撐塊兩端的凹槽內，是斜撐塊支承、導向和復位的重要零件。

圖1 斜撐離合器以及各零件結構Fig.1 Diagram of sprag clutch and its parts

關于斜撐離合器的研究有：文獻［1］根據斜撐離合器的特點和設計要求對其零件進行詳細的結構設計，并基于MATLAB GUI平臺開發斜撐離合器的設計與計算軟件，用于計算離合器的主要結構參數并校核零件的應力、變形等參數，提高了工作效率；文獻［2］介紹了離心脫開型斜撐離合器的結構，建立力學分析模型，推導出離心脫開型斜撐離合器脫開轉速的理論計算公式；文獻［3］針對某型斜撐超越離合器 在使用過程中存在楔合失敗、楔合響應慢等問題，基于ADAMS分析斜撐塊與內、外圈的摩擦因數、彈簧等效力矩、負載等效質量、阻尼、接觸剛度對離合器楔合性能的影響，結果表明負載、接觸剛度對楔合性能影響較大，摩擦因數、彈簧等效力矩、阻尼對楔合性能影響較小；文獻［4］介紹了斜撐離合器的結構和工作原理，指出其常見的失效模式，分析了包括彈簧因素在內的可能產生失效的原因，并提出相應的改進措施；文獻［5］根據斜撐離合器的結構和工作原理確定了斜撐離合器的疲勞壽命及過載試驗要求，并設計了試驗機。

斜撐離合器工作時，彈簧對斜撐塊施加徑向的支承力，彈簧的徑向剛度是影響斜撐離合器脫開轉速和楔合性能的重要指標，有必要對斜撐離合器環形彈簧徑向剛度的計算方法進行研究。關于彈簧的研究有：文獻［6］通過計算圓柱螺旋鋼絲在彎矩作用下的角位移，推導出鋼絲軟軸抗彎剛度的計算公式，并通過試驗驗證其正確性；文獻［7］將高圓簧簡化為等截面彈性直桿，推導出其橫向剛度的計算公式，理論計算與試驗的最大誤差不超過10%，能夠滿足工程應用需求；文獻［8］通過材料力學假設的方法求得小曲率圓環撓曲線微分方程的通解，解決了工程設計中圓環的變形以及內力計算問題，為環形螺旋彈簧變形和位移的計算提供了參考；文獻［9］分析薄壁套筒工件在夾緊力作用下的變形，為環形螺旋彈簧受力以及變形計算提供了參考；文獻［10］針對常用螺旋圓彈簧橫向剛度不同計算方法差異大的問題，定義螺旋圓彈簧自由高與簧條直徑之差為螺旋圓彈簧有效自由高度，結果表明統一螺旋圓彈簧有效自由高度后各計算方法的螺旋圓彈簧橫向剛度與試驗結果最接近。

上述文獻對斜撐離合器和彈簧做了一定研究，但沒有關于斜撐離合器環形螺旋彈簧徑向剛度計算的研究。因此，本文推導斜撐離合器彈簧徑向剛度的理論計算公式，并通過仿真和試驗驗證其正確性。

2 彈簧徑向剛度計算

以某斜撐離合器環形螺旋彈簧為例，其主要參數為：彈簧鋼絲線徑d=0.45 mm，彈簧有效圈數z=123（81/0.66），彈簧中心圓直徑D=1.55 mm。彈簧材料為彈性材料，剪切模量G=7.8 GPa，彈性模量E=206 GPa，泊松比ν=0.28。

2.1 理論計算

環形螺旋彈簧工作方式與圓環相似，故將彈簧等效為圓環，如圖2 所示，設置圓環模型的抗壓剛度、剪切強度、彎曲強度與彈簧相同。采用求小曲率圓環撓曲線微分方程通解的方法，根據具體情況確定通解中的積分常數，進而確定圓環的撓曲線方程。

圖2 彈簧等效為圓環示意圖Fig.2 Diagram of spring equivalent to circular ring

設定圓環半徑為R，圓環橫截面高度遠小于圓環半徑，圓環受擠壓后變為橢圓形，如圖3所示。選取圓環任意點m，變形后點m移動至m1，曲率由變為，點m1的彎矩為M（曲率增加時彎矩為“+”，曲率減小時彎矩為“?”），曲率變化與彎矩的關系為

圖3 圓環擠壓變形示意圖Fig.3 Extrusion deformation diagram of circular ring

式中：Kry為圓環的徑向剛度。

點m1的曲率用極坐標可表示為

式中：r為點m1的極徑；φ為點m1的極角；r′，r″分別為r對φ的一階和二階導數；u為點m的徑向位移。

由（1），（2）式可得

圓環受力撓曲變形示意圖如圖4 所示：變形前，圓弧mn的弧長ds=Rdφ；變形后，點m徑向位移為u，曲率半徑r=R+u，選取的微段圓弧撓曲后的弧長rdφ=(R+u)dφ，同時彈簧受力后點m，n發生的切向位移分別為ν，ν+ dν，則圓弧m1n1的弧長為

對于小曲率圓環，可以將微段圓弧軸線近似為直梁分析，長度無變化，即dS= dS′，則

圓環的變形方程為

在圓環上任意選取弧長為ds的圓弧（圖4），圓弧受徑向載荷P(φ)和切向載荷q(φ)。在坐標φ處截面受彎矩M、剪切力Q、軸向力N，在坐標（φ+ dφ）處截面受彎矩（M+ dM）、剪切力（Q+ dQ）、軸向力（N+ dN），M，Q，N均為正方向。將所有力投影到圓弧中點的法向和切向，并對圓弧中點取力矩，列出以下平衡方程

由于dφ為任一選取的微量段，則cos≈1，，忽略高階微量值，（7）式可簡化為

由（8）式可得

對于等截面圓環，Kry，P為常量，無切向載荷q，將（3）式代入（9）式可得

（10）式的通解為

式中：A1，A2，A3為待求解系數。

由于環形彈簧的彈簧絲截面尺寸較小，彈簧離心力很小，理論計算時忽略不計。僅考慮等截面圓環受徑向力P作用，如圖5 所示，求解圓環上任一點的位移及內力。將圓環等分為n段，由于各段受力及變形相同，僅取一段分析，每段對應的圓心角為2α= 2π/n。由于圓環上無載荷，該段的撓曲線方程為（11）式，在φ=α處，由于對稱性，截面的轉角為0，即

圖5 彈簧受力示意圖Fig.5 Diagram of forces acting on spring

將（11）式代入（12）式可得

根據圓環對稱性，每段圓弧總的切向位移ν=0，在點A附近切開，舍去點A及作用在該點的力P，由對稱性及平衡條件可知，圓環切口φ=α處截面上的剪切力Q=?P/2，聯立（1）—（8），（13）式可得

將A1，A2，A3代入（11）式可得圓環由擠壓產生的徑向位移為

式中：Ka為彈簧軸向剛度；l為圓環圓周長度。

求解（15）式可得

進而求得彈簧的徑向剛度為

加載徑向力P=15 N，加載數量n=15時，由（16）式可得彈簧由于擠壓產生的徑向位移u=6.3 mm，則由（17）式可得彈簧的徑向剛度Kr=2.38 N/mm。

2.2 仿真計算

采用MSC. Marc 仿真軟件計算彈簧徑向剛度，為求解彈簧徑向剛度，只保留斜撐塊和彈簧。由于彈簧結構復雜，為簡化計算，提高模型收斂性，采用梁單元模擬彈簧變形，共劃分為3000 個網格，如圖6 所示。忽略斜撐塊變形，將斜撐塊設置為剛體；初始狀態時，設定彈簧與15 個斜撐塊接觸，后設置斜撐塊沿斜撐離合器徑向收縮。

圖6 彈簧仿真模型示意圖Fig.6 Diagram of simulation model of spring

分別對斜撐塊施加1，6 mm 的徑向位移，彈簧變形如圖7 所示：變形后彈簧仍為圓環，說明彈簧徑向位移差別不大。由于15個斜撐塊的仿真結果基本一致，隨機抽取5 個斜撐塊進行分析，其所受彈簧反作用力如圖8 所示：斜撐塊的力?位移曲線呈線性，說明彈簧的受力與徑向位移呈線性關系，即彈簧的徑向剛度恒定。

圖7 不同徑向位移時彈簧的變形Fig.7 Deformation of spring under different radial displacements

圖8 斜撐塊所受彈簧反作用力Fig.8 Sprag subjected to reaction force of spring

15 個斜撐塊所受彈簧反作用力的平均值F=14.4 N，彈簧的徑向位移等于斜撐塊的徑向位移，即Δs=6 mm，則彈簧的徑向剛度K=F/Δs=2.4 N/mm，與理論計算的誤差為1%，說明了理論計算的正確性。

3 試驗驗證

為進一步驗證理論計算的正確性，開發數控全自動環形彈簧徑向剛度測試儀，如圖9 所示，主要包括驅動系統、測量系統、數據處理系統和工件固定裝夾系統。用與斜撐塊數量相同的壓頭壓迫彈簧模擬斜撐塊對彈簧的壓力，壓頭上裝有壓力和位移傳感器。

圖9 彈簧徑向剛度測量儀結構示意圖Fig.9 Structure diagram of radial stiffness measuring instrument for spring

選取2 種材料的彈簧：1）70C 材料；2）T9A 材料。測量彈簧徑向剛度時，電動機驅動轉盤轉動，帶動15個滑塊同步向內移動，給彈簧0.1 N的預壓力，將力值歸零開始記錄位移，滑塊徑向移動2 mm，得到對應的力?位移曲線，進而得到彈簧徑向剛度。

第1組彈簧的力?位移曲線如圖10所示：理論計算與試驗的力?位移曲線變化趨勢相同，隨著彈簧位移增加，受力逐漸增大，徑向剛度（曲線斜率）不變。不同長度l的彈簧徑向剛度見表1：1）隨著彈簧長度的增加，2組材料的彈簧徑向剛度均出現了少許減小；2）彈簧徑向剛度理論值與試驗值基本一致，第1 組誤差約為4.3%，第2 組誤差約為5%，均在允許范圍之內，進一步說明了理論計算的正確性。

表1 斜撐離合器彈簧的徑向剛度Tab.1 Radial stiffness of spring of sprag clutch

圖10 第1組彈簧的力?位移曲線Fig.10 Force?displacement curve of the first group of springs

4 結束語

將環形螺旋彈簧等效為彈性圓環，推導出彈簧徑向剛度的計算公式，并通過仿真和試驗驗證了理論計算的正確性，計算方法可為斜撐離合器的設計和應用提供參考；但本文的研究未考慮轉速、潤滑、振動等對彈簧徑向剛度的影響，有待進一步研究。