用學具統整知識建構

摘 要：三角尺是特殊的三角形，具備三角形的所有特征，可以從角、邊、形狀、大小等維度展開探究，從而整體建構三角形的知識。由此，以“探尋三角尺的秘密”為主題，對小學數學中三角形的相關知識進行統整（拓展），來組織研究性學習：首先引導學生查閱資料，了解三角尺的“前世今生”，然后組織學生操作實物，從一個三角尺到多個三角尺，從角、邊到形狀、大小，循序漸進地探究三角尺的奧秘，最后讓學生對三角尺進行創新設計，并闡述設計思路。

關鍵詞：小學數學；三角尺；三角形；主題教學

三角尺是數學學習的必備工具，學生需要使用三角尺進行畫線段、量長度、畫垂線和平行線、判斷角等常規操作。在一次操作過程中，一位學生對這個熟悉的學具提出了疑問：“為什么每一副三角尺的形狀都是一樣的？”一石激起千層浪：“三角形有各種形狀，為什么三角尺只有這兩種形狀？”“為什么三角尺都是直角三角形，不做成銳角三角形或鈍角三角形？”……

筆者認為，學生疑問表象的背后蘊含著對三角形概念理解的本質訴求。三角尺是特殊的三角形，具備三角形的所有特征，可以從角、邊、形狀、大小等維度展開探究，從而整體建構三角形的知識——自然可以獲得“三角尺為什么要設計成這種形狀”的答案。

從角的維度看，每一副三角尺角的度數是固定的。通過對三角尺角的研究，可以深入理解：三角尺是直角三角形（涉及三角形的分類）；三角尺三個角的和是180°（涉及三角形的內角和）；三角尺的三個角存在倍數關系（涉及拼出的角是15°的倍數）……

從邊的維度看，一種三角尺的兩條直角邊相等，另一種三角尺的短直角邊是斜邊的一半。通過對三角尺邊的研究，可以深入理解：一種三角尺是等腰三角形，另一種三角尺是等邊三角形的一半（涉及三角形的分類）；三角尺的三條邊存在一定的數量關系（涉及三角形的三邊關系以及三角形的周長）……

從形狀和大小的維度看，每一副三角尺的形狀都是固定的，而大小不固定。通過對三角尺形狀和大小的研究，可以深入理解：兩個完全一樣的三角尺能拼成正方形、長方形、平行四邊形、箏形等（涉及三角形面積與四邊形面積的關系）；四個完全一樣的三角尺能拼成弦圖等（涉及初中的勾股定理）……

鑒于此，筆者以“探尋三角尺的秘密”為主題，對小學數學中三角形的相關知識進行統整（拓展），來組織研究性學習。考慮到這是一個開放、多元的主題，相關問題的解決具有一定的難度，以及三角尺的設計通常只是一種合乎情理的“規定”，筆者首先引導學生查閱資料，了解三角尺的“前世今生”，然后組織學生操作實物，從一個三角尺到多個三角尺，從角、邊到形狀、大小，循序漸進地探究三角尺的奧秘，最后讓學生對三角尺進行創新設計，并闡述設計思路。

一、 查閱資料，了解三角尺的“前世今生”

課前，讓學生自由組隊，查閱關于三角尺的資料（上網搜索、到圖書館查詢等），記錄感興趣的內容，進而結合查閱的資料，提出研究的問題，思考研究的方向。

課始，教師組織學生小組展示、匯報前期調查的結果，談談三角尺的“那些事兒”，并說說本組的研究思路。具體過程如下：

師 同學們，關于三角尺，你們查找到了哪些資料，了解了哪些情況？

生 三角尺上一般都有直尺。

生 有的三角尺上還有半圓形的量角器。

生 三角尺都是直角三角形。

生 一個三角尺的兩條直角邊相等，另一個的兩條直角邊不相等。

生 我們查到，三角尺是魯班發明的，剛開始是用來畫直角的，也被稱為班尺。

生 建筑工人可以用三角尺來測量墻是不是直角，但是為什么都是直角三角形，我們沒有查到這方面的資料。

師 同學們查到的關于三角尺的資料還比較少，無法很好地解釋我們提出的問題。對此，我們可以進一步探究。那么，你們覺得可以從哪些方面展開？

生 可以量一量三角尺的角和邊，看有沒有什么特別的地方。

生 可以用幾把三角尺拼一拼，看跟其他圖形有沒有什么聯系。

生 三角尺是三角形的，可以研究一下三角形，然后跟三角尺比一比，看有沒有什么特別的地方。

師 角、邊是平面圖形的局部要素，形狀、大小是平面圖形的整體屬性。可以從這幾個方面去探究，找一找三角尺有什么特別之處。

前期的調查與分享，使學生多角度地了解三角尺的歷史與現狀，對三角尺的價值和功能形成一定的認知：三角尺既能作為學習工具，也具有生活、生產的實用性。學生查到的資料不全面：只能提供“是什么”的直觀感受，無法更好地解釋“為什么”的理性思考。這一點在筆者的預設中：四年級學生查閱資料的能力還有待提高。同時，為后續教學做好了鋪墊：學生必須進一步基于實物，聯系三角形的特征，探究三角尺的奧秘。而引導學生確定研究思路，可以強化研究平面圖形的一般方法，幫助學生以整體的視角審視三角尺。

二、 操作實物，對一個三角尺進行觀測

（一） 探究角的特征

師 觀察三角尺的角，你有什么發現？

生 兩種三角尺都有一個直角和兩個銳角。

生 所以，它們都是直角三角形。

師 直角三角形只是三角形中的一種類型，還有哪些類型的三角形？

生 銳角三角形和鈍角三角形。

師 （出示多個三角形）有了三角尺，你能用比一比、畫一畫等方法給這些三角形歸歸類嗎？

生 我用三角尺上的直角比了一下，有一個角是鈍角，這個三角形是鈍角三角形。

生 三個角都是銳角，這個三角形是銳角三角形。

生 有一個角是直角，這個三角形是直角三角形——但是，它的形狀跟三角尺的形狀不一樣。

師 如果三角尺不是直角三角形，你還能用三角尺很快判斷出一個三角形是什么三角形嗎？

生 能，有的鈍角和銳角一眼就能看出來。

生 不一定，有的鈍角和銳角要用直角去比才能判斷出。

師 做成直角三角形，能快速判斷其他三角形的類型，這是三角尺的一個優勢。下面，請你們再測量一下三角尺三個角的大小，說說有什么發現。

生 一個三角尺的三個角分別是30°、60°、90°，兩個大的角分別是最小角的2倍、3倍。

生 另一個三角尺的三個角分別是45°、45°、90°，兩個小的角是一樣的，都是90°的一半。

生 我發現，三角尺的兩個銳角加起來都是90°。

生 我算了一下，三角尺的三個角加起來都是180°。

師 三個角的和就是內角和。每一副三角尺的內角和都是180°，請你猜測一下：其他三角形的內角和會是多少？

生 鈍角三角形的內角和應該比180°大，銳角三角形的內角和應該比180°小。

生 我猜測都是180°。

師 （提供各種三角形的紙片）請你們用量一量、撕一撕等方法研究一般三角形的內角和，說說你有什么發現。

生 我量的這個銳角三角形，三個角加起來是180°。

生 我量的是鈍角三角形，也是180°。

生 我量了這個直角三角形的兩個銳角，加起來正好是90°，所以，這個直角三角形的內角和是180°。

生 我折了一下這個鈍角三角形，三個角組合起來，正好形成一條直線，所以，它的內角和是180°。

生 我把這個銳角三角形的三個角撕下來拼了一下，發現能拼出一個平角，就是180°。

師 三角形的內角和都是180°，三角尺作為其中的兩種特殊類型，它們的三個角之間還存在倍數關系。

（二） 探究邊的特征

師 測量三角尺三條邊的長度，看它們有什么關系？

生 兩個銳角相等的三角尺，兩條直角條邊也相等。

生 兩個銳角不等的三角尺，短一點的直角邊是斜邊的一半。

生 我發現，斜邊比較長，直角邊比較短。

生 我發現，所對的角越小，邊就越短。

生 我發現，兩條短一點的邊加起來比最長的那條邊要長。

師 這就表明，任意兩條邊加起來都比第三條邊要長。那么，一般三角形的三條邊是不是也有這樣的關系呢？請你用量一量、比一比、算一算等方法來研究一下。

生 其他角度的直角三角形不存在兩條直角邊相等的情況，短一點的直角邊也不是斜邊的一半。

生 任意三角形的兩邊之和都大于第三邊。

師 看來三角形的三邊關系是一定的，而三角尺的三邊關系又有特殊的地方。

角、邊是多邊形的基本要素。對一個三角尺進行觀測，重點可以放在對角、邊的觀測上。采用從特殊到一般的探究方法，可以讓學生借助具體、直觀、真實的三角尺，更好地理解一般三角形基于角的分類、基于邊的分類以及角的關系、邊的關系，同時深刻地感悟三角尺相較于一般三角形的獨特性，進一步認識三角尺的價值和功能。

三、 操作實物，用兩個三角尺進行組拼

（一） 用兩個不同的三角尺組角

師 三角尺的角是固定的特殊角，用一副三角尺能畫出哪些不同的角度？

生 用一個角畫，能畫出四種角度：30°、45°、60°、90°。

生 把兩個角加起來，還能畫出六種角：75°、105°、120°、135°、150°、180°。

生 用一個角減另一個角，還能畫出15°。

生 把三個角加起來，還能畫出165°，即30°+45°+90°。

師 （從小到大排列學生畫出的角度）仔細觀察這些角度，它們有什么特點？

生 能畫出的最小的角度是15°，其他角度都是15°的倍數。

師 按照這個規律，用一副三角尺還能畫出哪些角度？

生 還能畫出300°。

生 從180°開始，不停地加15°，都能畫出來。

師 是的，一直可以畫到360°。（出示一個圓）如果讓你用一副三角尺把這個圓平均分，你會操作嗎？

生 我用直角分，分成了4份。

生 我用45°角分，分成了8份。

生 我們用60°角分，分成了6份。

生 我們用30°角分，分成了12份。

師 還有不同的分法嗎？試試看。

生 可以用兩個三角尺重疊后得出的15°角分，能分成24份。

師 三角尺有邊有角，卻可以把圓平均分，這是由三角尺角的特殊性決定的。

（二） 用兩個相同的三角尺拼圖

師 嘗試發現，兩個不一樣的三角尺拼不出規則的圖形。那么，請你用兩個一樣的三角尺拼一拼，看看可以拼出哪些平面圖形。

生 我們用兩個等腰三角尺拼出了正方形、平行四邊形和大的等腰直角三角形。

生 我們用兩個斜三角尺拼出了長方形、平行四邊形、等邊三角形和等腰鈍角三角形，還有一個叫不出名字的四邊形。

師 老師來告訴你：這個四邊形叫作箏形。它有兩組鄰邊相等，它的對角線互相垂直。（出示圖1和圖2）觀察這兩個圖形，你覺得三角尺為什么要設計成現在這種形狀呢？

生 兩種三角尺分別是正方形和等邊三角形的一半。

生 正方形的四條邊相等，四個角相等；等邊三角形的三條邊相等，三個角相等。它們都是很完美的圖形，而它們一分為二就形成了三角尺的形狀。

師 等邊三角形又叫正三角形，正方形又叫正四邊形。古希臘人把最具有對稱美的正三角形和正四邊形看成最基本的圖形，而一副三角尺正好是這兩個基本圖形的一半，這就是三角尺最獨特的地方。（稍停）你覺得三角尺的面積與拼出的平面圖形的面積有什么關系呢？

生 三角尺的面積是拼出的圖形面積的一半。

師 是的，這很明顯。面積一般是用相互垂直的一組底和高來計算的。暫不考慮我們沒有學過的箏形，如果把正方形的兩條鄰邊、長方形的長和寬都看作一組底和高，那么三角尺的底和高和拼出的圖形的底和高有什么關系？

生 三角尺的底和高和拼出的三角形的底的一半和高對應相等，和拼出的四邊形（非箏形）的底和高對應相等。

師 很好！可見，三角尺的面積是底為2倍、等高三角形面積的一半，這是顯然的；三角尺的面積也是等底、等高四邊形面積的一半，這是個有趣的結論。猜一猜：一般三角形的面積與等底、等高的四邊形面積有怎樣的關系？（出示若干組相同的三角形）請你用兩個相同的三角形拼一拼、剪一剪、移一移，研究一般三角形的面積，說說你們的發現。

生 我用兩個相同的三角形拼出了平行四邊形，三角形的面積就是這個平行四邊形面積的一半。

生 我拼出的四邊形跟他不一樣，但是我的結論跟他一樣。

師 看來，無論是哪一種三角形，它的面積都是與它等底、等高的四邊形面積的一半。

對兩個三角尺進行組拼，重點可以放在對角和整個圖形的組拼上。組角可以引導學生從單個角到多個角地有序思考，發現所得角度的規律，感受其中的基本量思想，體會三角尺角的特殊性。用兩個一樣的三角尺拼圖可以引導學生分三條邊重合、兩個方向重合地有序思考，窮盡所得圖形的所有可能，在感受基本圖形作用的同時，建立三角形與四邊形之間的關系，在體會三角尺形狀特殊性的同時，認識三角尺設計的重要道理，并且從特殊到一般，借助圖形間的關系得到面積間的關系，從形狀的認識走向大小的認識。

四、 創新設計，從更多的三角尺到不一樣的“三角尺”

（一） 用四個相同的三角尺拼圖

師 嘗試發現，用更多一樣的三角尺拼圖很難窮盡所有可能。現在，請你試著用四個一樣的三角尺拼一拼，盡量發揮你們的創意，拼出漂亮的圖形。

生 我們用四個相同的等腰三角尺拼出了梯形、平行四邊形、長方形和大的等腰直角三角形。

生 我們用四個相同的斜三角尺拼出了梯形、平行四邊形、長方形和大的斜直角三角形。當然，梯形、平行四邊形、長方形的形狀和他們的不一樣。

師 很好！不過，這些都是比較常規的靠在一起的邊完全重合的拼法。還有沒有更有創意的拼法？

生 （出示圖3）我用等腰三角尺拼出了一個正方形。（出示圖4）把四個等腰三角尺向外翻過去，就得到了這樣的中空的正方形。

生 （出示圖5）我用斜三角尺拼出了這樣的有點中空的正方形。（出示圖6）把四個斜三角尺向外翻過去，就得到了這樣的中空更大的正方形。

師 這四個圖形就比較有創意了，也更漂亮了。我們再來分析分析它們，看看還可以怎樣想到這樣的拼法，以及它們之間還有什么聯系？

生 無論是等腰三角尺，還是斜三角尺，兩個銳角的和都是90°，能拼出直角，加上相同的三角尺斜邊相等，所以能拼出正方形。

生 無論是等腰三角尺，還是斜三角尺，相同三角尺，兩條直角邊的和也相等，加上它們都有直角，所以也能拼出正方形。

生 第一個正方形和第二個正方形中間的空白正方形一樣大，它們的邊都是等腰三角尺的斜邊。

生 第三個正方形和第四個正方形中間的空白正方形一樣大，它們的邊都是斜三角尺的斜邊。

師 很好！其實，這些圖形背后還蘊藏著更深奧的數學原理，同學們進入初中后會進一步學習的。

（二） 設計不一樣的“三角尺”

學生分工合作，結合三角尺的特征及使用中的問題，從美觀和實用兩個角度對三角尺進行創新設計（繪制圖紙），撰寫設計思路，并召開“新型三角尺設計分享會”，交流作品與理念。教學片段如下：

生 （出示圖7）我們組設計了一把組合尺：斜三角尺的長直角邊可以在等腰三角尺的斜邊上左右移動，這樣畫垂線和平行線就很方便；斜三角尺還可以翻折上去，便于收納。

生 （出示圖8）我們做了“合三為一”的設計，以等腰三角尺為主，中間鏤空一把斜三角尺和一把直尺，這樣一把尺子就有三個功能。

生 （出示圖9）我們把直尺和三角尺組合在一起，折疊合攏時就是一把直尺，旋轉展開后就有兩把三角尺。

師 同學們對這些創新的“三角尺”有什么評價和建議？

生 我覺得，他們都考慮到了三角尺的特殊性，把三角尺組合起來，就能把它們的優點整合到一起，既方便我們在操作中使用，也方便我們保存。

生 我更喜歡第一個設計，因為我畫平行線和垂線時，總是不太會使用兩把尺子，他們這樣設計就幫我解決了畫線的問題。

師 看來同學們在設計時都保留了三角尺的原有特征，同時通過各種組合讓新的“三角尺”更實用了。當然，通過后續學習，大家還會有更新、更好的設計。

讓學生發揮審美創意，拓展實用追求，從數量和形式兩個方面對三角尺進行創新設計，有助于學生對三角形特征做更全面的審視與更深入的思考，也可以通過更加開放的探究充分發揮本課內容的教育價值。

（莊治新，江蘇省無錫市新吳區坊前實驗小學。）