中學數學三角函數解題技巧探究

徐尚花

（甘肅省積石山縣田家炳中學，甘肅積石山 731799）

三角函數在中學數學課程中占據著重要的地位，同時也是中考的考查重點。這部分題型既容易得分、也容易失分，關鍵要看學生對解題技巧的掌握和運用情況。現階段學生在三角函數解題中面臨一些困難，包括公式運用不熟練、答題過程煩瑣、計算失誤等，這些都體現出學生沒有掌握科學的解題方法。因此，在新時期的中學數學教學中，教師應該結合三角函數的題型特點，向學生滲透解題技巧，鞏固學生的函數基礎，使其嚴謹分析、靈活解題，從而更好地應對三角函數題的考查。

一、中學數學三角函數解題中的常見問題

（一）忽視變量和角的取值范圍

解答三角函數題，最重要的是先明確變量和角的取值范圍，畢竟“函數問題，范圍優先”，把握大致的取值范圍是學生正確解決題目的前提。由于初中生接觸三角函數的時間比較短，在解題的過程中，經常因為審題不仔細、粗心大意，忽視變量和角的取值范圍，導致計算結果與正確答案大相徑庭。以已知值求角的三角函數題型為例，學生通常沒有注意挖掘題目中的隱含條件，比如題面對角的范圍給出了限制，但學生沒有發現這一點，而是直接代入公式進行計算，可能會出現增根不能排除的情況，取值范圍的精確性也難以得到保障，從而造成三角函數解題錯誤。

（二）對三角函數的平移概念把握不準

中學數學三角函數題型經常涉及平移概念，函數圖像的左右平移遵循的是“左加右減”的原則。解析此類題型不僅要求學生熟悉平移概念，還要關注圖像和定義域，把三者結合起來思考才能避免平移方向出錯。從三角函數解題的現狀來看，部分學生對三角函數的平移概念存在把握不準的問題，三角函數的定義域屬于實屬域，其中每個點都有一個唯一的值，如果沒有準確地運用平移概念，學生很容易陷入解題誤區，比方說題目中給出了平移的要求，學生在轉化原函數的過程中，弄錯了平移對象或方向，如x 向右平移沒有在整個函數式的后面減去平移單位，y 向下平移沒有加上平移單位，那么原函數的轉化就會出錯，影響學生對平移類三角函數題的準確解答。

（三）忽略三角函數的圖像變化

圖像在三角函數題目中非常重要，在求解的過程中，函數圖像會出現變形的情況，如果沒有關注到變形，就會形成錯誤的解題思路。學生在解析三角函數題目時，最常見的問題就是忽視三角函數的圖像變化，比如在求值域的三角函數題中，學生往往單純地依據三角函數角度的大小值范圍去確定其值域，沒有考慮到圖像及其變化情況，無法結合圖像的特點和性質去解析。在這種條件下，三角函數的值域經常出錯，同時也反映出學生思維方式的不足。

（四）對三角函數特性的應用不熟練

三角函數具有很多特性，包括奇偶性、對稱性、單調性、有界性、增減性等，學生對這些特性的掌握情況直接影響到解題公式的選擇以及對圖像形狀的判斷。目前在解析三角函數題目的過程中，學生的常見問題是應用三角函數特性不夠熟練，一方面是在審題時忽略了函數的特性，另一方面是無法自主運用特性知識分析函數的取值范圍，選擇相對應的計算公式。比如當三角函數題中未知數前面的系數是負數時，學生沒有考慮到函數的單調性，甚至會省略化負為正的步驟，忘記確定單調區間，很容易出現答案不唯一的情況，進而降低學生的三角函數解題效率。

二、中學數學三角函數解題技巧

（一）巧用公式定理解題

在中學數學三角函數解題教學中，學生對基礎知識掌握是否扎實，能夠直接在解題的過程中反映出來，三角函數涉及的知識點非常龐雜，要想學生真正領會其中的技巧，教師必須引導他們掌握基礎定理公式的應用方法，逐步強化學生解析三角函數的能力。所謂“萬變不離其宗”，雖然三角函數的題型有很多，但是所有考點都繞不開基礎性的概念理論，應用公式定理是最便捷、最簡易的解題技巧，因此教師應該引導學生巧用公式定理解題，同時鞏固學生的函數基礎。首先，在實際教學中，學生面臨的主要難點是無法根據三角函數的題目準確選擇相對應的公式和定理，教師在滲透技巧時應該結合具體的題型，著重引導學生分析、判斷不同公式的適用范圍，比方說針對判斷符號、求值、求周期、判斷奇偶性等題型，這些都是有關三角函數基本性質的問題。在學生初步審題之后，教師可以讓他們回憶誘導公式、倍角公式的相關例題，使學生自主發現上面兩類公式適用于基本性質題的解答；針對分段函數值、求復合函數值域等比較復雜的三角函數題，教師可以啟發學生應用積化和差公式、輔助角公式和余弦定理，促進學生判定函數圖像的特殊性質，進而順利地求出正確的數值或值域。這樣經過反復練習，學生就能靈活、熟練地應用各類公式定理，突破三角函數的解析難點。再者，三角函數涉及的解題公式和定理極多，學生容易發生記憶混淆，包括體現倒數、商數、平方等關系的函數公式，和差角、三角和、和差化積等基本公式，教師可以根據三角函數題目，傳授一些有趣的公式口訣和解題口訣，比方說題目要用到和差化積公式，在學生了解題意之后，教師出示口訣“正加正，正在前，余加余，余并肩，正減正，余在前，余減余，負正弦”［1］，引導學生結合口訣自主辨別和差化積公式的應用方法，這樣既能幫助學生區分和差化積公式和積化和差公式，也能顯著增強三角函數的解題技能。

（二）巧用湊角法解題

以往在解決一些求值類的三角函數題時，題目中會出現多個角的情況，學生往往發現不了角之間的關系，進行煩瑣的計算不僅耗時高，也無法確保結果的正確性。湊角法是三角函數解題中的常用技巧。解析三角函數的關鍵在于消除三個方面的差異，包括函數名稱差異、式子結構差異以及角度差異，湊角法適用于消除特殊角和非特殊角之間的差異，能夠幫助學生輕松解題，避免死算、硬算的情況出現。因此，教師應該指導學生巧用湊角法解題。針對求值類問題，包括求sin（2a）、sin（a+b）等，這類三角函數題通常要先求出2a 或（a+b）的值，教師可以引導學生認真地觀察題目中的已知角，分析角之間存在的關系，包括角的類型、角度的倍數等，利用這些關系，巧妙地配湊出特殊角，湊角的具體做法是將題目中的已知相位進行加減法運算，湊出2a 或（a+b），也可以是帶有π 的，然后再應用誘導公式，得出三角函數題要求的值。此外，如果題目所求的值涉及角度范圍或所在象限的精確問題，在滲透湊角法時，教師還應該引導學生結合題目條件來分析，根據湊成的特殊角，判定更精確的取值范圍，最后對已求出的值進行取舍，從而達到順利解題的目標［2］。

（三）巧用化簡法解題

對于一些比較復雜的三角函數題，如果直接代入公式計算，那么運算量將是非常大的，無論在哪個步驟出現細微的運算錯誤，都會導致“滿盤皆輸”。化簡法是一種科學的三角函數解題技巧，基本思路是先化簡、再求值，把式子轉化成能夠利用題設已知條件的最簡形式，不僅有助于學生發現題目的隱含信息，也能減少運算量，達成化繁為簡、求值求證的目的。在三角函數解題教學中傳授化簡法時，教師應該引導學生審讀題意，從已知條件出發，選擇合適的三角公式進行變換，把已知條件和求值式同時化簡。具體的化簡方法有兩個：第一，切割化弦，是把題中的正切、余切、正割、余割函數都簡化為正弦、余弦函數，比方說題面含有正弦和正切，教師可以引導學生采用“切化弦”，變成只含有正弦和余弦的三角式，然后應用輔助角、兩角和或倍角公式，將式子化簡到底，最后求值；第二，化弦為切，這種化簡方法是應用萬能公式對題目變形，把正弦、余弦函數，簡化成正切、余切函數，教師可以引導學生把所求的三角函數式用“tan”表示，使原來的問題化簡為以“tan”為變量的“一元有理函數”，從三角問題演變成代數問題，最后求值的步驟就簡易許多，學生也不易出現運算錯誤，從而掌握化簡解題的技巧［3］。

（四）巧用圖像法解題

在中學三角函數解題教學中，很多題目的背景都與圖形有關，數與形是數學的兩大支柱，二者在內容上互相聯系，在一定條件下能夠互相轉化，學生解不出三角函數題，很多時候不是因為題目有多難，而是條件過于抽象，使其解題思路出現混亂。圖像法基于數形結合思想，在三角函數解題中滲透該技巧，能夠幫助學生直觀地理解題意，實現對題目的快捷解答［4］。在引導學生巧用圖像法解題時，教師可以讓學生根據題目給出的條件做出對應的草圖，觀察草圖的形狀、位置、性質，對圖像特征進行綜合分析，明確三角函數圖像所經過的區域或是函數值的取值范圍等。比方說在解析正弦型三角函數題時，教師應該啟發學生結合題意，在草圖上探索函數的單調區間，從靠近原點的單調周期中找出正弦函數的增區間，體會從特殊到一般的思考過程，然后分析距離或長度是周期的多少倍，代入具體的數值，計算出函數圖像的范圍，按照最終所求的值，通過取舍得出精確的結果，至于結果是正數還是負數是由象限所決定的，教師可以指導學生看一看角處在圖中的哪個象限，一、三為正，二、四為負，這樣通過傳授圖像法，學生就能養成做草圖解析三角函數的好習慣，同時感受到數與形的相互滲透和轉化，實現解題技能的強化。

（五）巧用換元法解題

中學數學教學中的三角函數題大部分都是給值求值的類型，如果只分析題目條件中已有的數值，計算量和觀察難度都是非常大的，學生可能無法發現一些簡便算法。換元法是一種代數方法，而三角換元法具有一定的特殊性，簡單來說就是用一個量代替另一個量，利用題設中的隱含條件進行帶式替換，使三角函數求值和代數式求值互相轉化，非常適用于三角函數解題，教師應該指導學生巧用換元法，簡化思考過程和運算步驟，從而促進高效解題［5］。在實際教學中，教師需要結合不同的題型，為學生滲透換元法解題技巧。以同角三角函數題為例，假如題設中含有明顯的根式結構，直接計算是不容易的，教師可以引導學生代入三角函數公式，對題設的式子進行正弦函數換元，從而消去根號，使計算變得簡便；在含有雙變量的三角函數解析中，教師應該指導學生根據題設給出的三角函數值，使用換元法將原來的問題轉化成熟悉的求值問題，包括求周期、對稱軸、對稱中心等，在換元的過程中還要對變量進行控制，用一個變量來控制它們總體的大小，用另一個變量控制角之間的關系，在此基礎上還可以融合前文談到的湊角法，從而提高學生的三角函數解題水平。

（六）巧用特殊值法解題

在三角函數解題中，常常會涉及一些特殊值，最常見的就是與三個特殊角即30°、45°、60°相對應的正弦、余弦和正切數值，很多求值問題不適合應用先化簡、再計算的方法，如果學生能熟練地運用特殊三角函數值，就能把三角函數式變成代數進行計算［6］。特殊值法屬于一種“投機取巧”的解題方法，優點是簡便易行，是每個學生都應該掌握的三角函數解題技巧。在傳授該技巧時，教師可以針對暗示答案是一個定值的題設，引導學生運用特殊角的函數值，把題設中的條件和字母具體化，使一般形式轉化為特殊形式，尤其當題設條件給出具體的角度時，特殊值法更加有效。比方說題中出現30°、45°和60°，應用特殊值法就能推斷出這三個角正弦值和余弦值的共同點，包括分母都是2，如果把分子都加上根號，則被開方數就相應地變成1、2、3，學生也能自主發現三個角正切值的特點，將分子都帶上根號，分母為3，被開方數就變成3、9、27，教師可指導學生在三角函數式中代入以上具體的特殊值，再按實數的運算順序進行計算，化成最簡的形式，從而順利求出正確的結果，培養學生的三角函數解題思維。

三、結語

綜上所述，在中學數學三角函數解題中，學生最常遇到的問題主要是忽視變量和角的取值范圍以及三角函數的圖像變化情況，對平移概念把握不準，無法熟練地應用三角函數特性。教師應該結合三角函數的題型以及學生的函數基礎和認知規律，引導學生仔細審題、分析題設條件，傳授巧用公式定理解題的方法，滲透湊角法、化簡法、圖像法、換元法、特殊值法等簡便的解題技巧，使學生能夠根據不同的題設自主選擇最恰當的答題方式，實現快速、準確解題，從而增強三角函數教學質量，提高學生的思維能力和解題水平。