小學(xué)數(shù)學(xué)實驗的設(shè)計邏輯和實施策略
——“三角形的內(nèi)角和”的教學(xué)與思考

文| 錢 滔

（作者單位：江蘇省常熟市凱文小學(xué)）

數(shù)學(xué)實驗在學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念方面起著重要的作用。其作為學(xué)生動手操作的載體，對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著顯著的促進(jìn)作用。然而，許多教師在開展數(shù)學(xué)實驗時面臨學(xué)生操作不順、無所獲的問題。下面結(jié)合“三角形的內(nèi)角和”一節(jié)，對數(shù)學(xué)實驗的設(shè)計邏輯和實施策略進(jìn)行探討。這個過程強(qiáng)調(diào)了優(yōu)化實驗流程、細(xì)化操作指導(dǎo)和引導(dǎo)學(xué)生說理驗證的重要性，可以幫助教師更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)實驗課的教學(xué)價值，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全面發(fā)展。

一、研究緣起：為什么要研究“三角形的內(nèi)角和”

“三角形的內(nèi)角和”的證明需要平行線公理的加持，因此小學(xué)階段學(xué)生是無法對其進(jìn)行證明的。通過學(xué)情前測不難發(fā)現(xiàn)，班內(nèi)或多或少有學(xué)生已經(jīng)知道三角形內(nèi)角和是180°了，那本課教學(xué)的核心問題是什么？應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生哪方面的素養(yǎng)？這引發(fā)了對數(shù)學(xué)實驗課程的思考和研究，希望通過優(yōu)化數(shù)學(xué)實驗流程、發(fā)展學(xué)生的說理能力來解決這一核心問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和推理能力。因此，本次研究旨在探討如何在“三角形的內(nèi)角和”這一數(shù)學(xué)實驗課中有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗，引導(dǎo)學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念，并培養(yǎng)其數(shù)學(xué)素養(yǎng)和推理能力。

二、教前思考：怎樣教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”

既然不少學(xué)生已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和是180°，教師教學(xué)時可以直面學(xué)情，啟發(fā)學(xué)生思考下面兩個問題：（1）真的是180°嗎？（2）用什么方法來證明？這樣的引導(dǎo)可以激發(fā)學(xué)生的思考和好奇心，引導(dǎo)他們主動探索和學(xué)習(xí)。在數(shù)學(xué)實驗課中，教師可以設(shè)計一些簡單的實驗活動，讓學(xué)生通過實際操作來發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和，如通過剪紙、折紙或者利用幾何畫板進(jìn)行模擬實驗等。這樣的實踐操作能夠幫助學(xué)生更直觀地理解三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，激發(fā)他們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，并培養(yǎng)他們的觀察、實驗和推理能力。此外，教師還可以設(shè)計一些啟發(fā)性的問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論和交流，促進(jìn)他們的合作和思維碰撞。這樣的教學(xué)方式不僅可以加深學(xué)生對“三角形的內(nèi)角和”的理解，還可以培養(yǎng)他們的邏輯思維能力和表達(dá)能力。

三、教學(xué)實踐：數(shù)學(xué)實驗設(shè)計的邏輯和實施

小學(xué)數(shù)學(xué)實驗要從明確活動要求、強(qiáng)化示范指導(dǎo)、提高實驗效率、重視說理驗證等方面下功夫。下面結(jié)合“三角形的內(nèi)角和”一節(jié)談?wù)劸唧w的做法。

（一）模擬實驗——激發(fā)數(shù)學(xué)實驗需求

課標(biāo)中指出：要利用數(shù)學(xué)專用軟件等教學(xué)工具開展數(shù)學(xué)實驗，將抽象的數(shù)學(xué)知識直觀化，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解和數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)。數(shù)學(xué)實驗的開展必須有實驗的動機(jī)，倘若學(xué)生已經(jīng)知道結(jié)果，就會大大降低其探究欲望，影響實驗效果，阻礙學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

常規(guī)教學(xué)：通過問題“對于三角形的內(nèi)角和你知道些什么”了解學(xué)生的學(xué)情，發(fā)現(xiàn)已有不少學(xué)生知道“三角形的內(nèi)角和是180°”，而后進(jìn)行量角實驗，這時總有學(xué)生會把內(nèi)角和180°當(dāng)作已知條件，在量出兩個角的度數(shù)后，如31°、48°，接著根據(jù)“兩個角的度數(shù)和”想辦法去湊180°，通過計算得到第三個角的度數(shù)是101°后再去量。交流環(huán)節(jié)看似很流暢，學(xué)生測得的數(shù)據(jù)都是180°，得出了結(jié)論，其實這是無效實驗。

教學(xué)重構(gòu)：教師利用幾何畫板呈現(xiàn)任意正方形和長方形，通過“拖動”操作，改變正方形的邊長和長方形的長與寬，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和固定不變，都是90×4=360（度）。

接著，教師利用“運動控制臺”工具，呈現(xiàn)一個在運動中不斷改變形狀的三角形。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，隨著三角形形狀的變化，其三個內(nèi)角的度數(shù)也在不斷變化。在觀察示范實驗的過程中，學(xué)生提出以下問題：（1）內(nèi)角的度數(shù)在不斷變化，那內(nèi)角和是不是也在不斷變化呢？（2）假如內(nèi)角和是固定的，那會是多少度呢？（3）假如內(nèi)角和真的是固定不變的，為什么內(nèi)角的度數(shù)在改變，內(nèi)角和卻是固定不變的呢？這些問題正是本節(jié)課要研究的核心問題。

不少學(xué)生由于親眼看到內(nèi)角的度數(shù)隨著三角形形狀的變化在不斷變化，甚至覺得三角形的內(nèi)角和就是會變化的！這種錯誤的直覺，正好引發(fā)了后續(xù)進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗的需要。

（二）摸底學(xué)情——優(yōu)化實驗實施方案

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，但同時也都是獨立的個體。每位學(xué)生的學(xué)情各不相同，所以數(shù)學(xué)實驗應(yīng)該基于學(xué)生的學(xué)情進(jìn)行設(shè)計，且分工要有層次性，流程應(yīng)盡可能清楚。

常規(guī)教學(xué)：教師提出活動要求——4 人小組每人任意畫一個三角形，然后標(biāo)上“∠1、∠2、∠3”，接著量出三角形每個內(nèi)角的度數(shù)，再把它們加起來填到小組活動記錄表中，最后觀察組內(nèi)其他同學(xué)的測量數(shù)據(jù)。

數(shù)學(xué)實驗流程看似簡單、清晰，活動也設(shè)計得非常開放，“自主畫”“任意畫”的活動要求使得被測量的三角形更具隨機(jī)性，但是筆者忽略了非常重要的一點，那就是“學(xué)生的個體差異”。在執(zhí)教過程中（本次執(zhí)教班級45 人），多達(dá)27%的學(xué)生誤差過大（內(nèi)角和超過200°）。由于任意畫三角形，個別學(xué)生內(nèi)角度數(shù)出現(xiàn)小數(shù)，因此無法準(zhǔn)確讀數(shù)；還有個別后進(jìn)生不會測量，誤差更大。千奇百怪的實驗數(shù)據(jù)導(dǎo)致課堂教學(xué)難以推進(jìn)。

教學(xué)重構(gòu)：教師給每個四人小組準(zhǔn)備了活動材料，組長按要求從材料袋中取出3 種顏色的三角形各1 個、學(xué)習(xí)單1 張、小組活動記錄表1 張，用于數(shù)據(jù)的匯總。

出示活動要求：首先組長將三角形發(fā)給組員，組員用量角器量出∠1、∠2、∠3 的度數(shù)，算出內(nèi)角和。然后，組長在學(xué)習(xí)單上任意畫一個三角形，量出3 個內(nèi)角的度數(shù)，算出內(nèi)角和，測量完后把數(shù)據(jù)填寫到小組活動記錄表中。為了測量方便，教師為每個小組準(zhǔn)備了銳角三角形（三個角分別為50°、60°、70°）、直角三角形（三個角分別為30°、60°、90°）和鈍角三角形（三個角分別為20°、30°、130°），讓組員進(jìn)行測量，同時準(zhǔn)備了學(xué)習(xí)單，讓每個小組的組長任意畫出三角形，測量，然后計算內(nèi)角和。這樣的設(shè)計不僅照顧了學(xué)生的個體差異，同時兼顧了素材的多樣性。本次執(zhí)教班級44 人（11 個小組），要求每位組長提供一組關(guān)于內(nèi)角和的隨機(jī)數(shù)據(jù)。

在展示實驗數(shù)據(jù)環(huán)節(jié)，雖然測量的都是相同形狀的三角形，但是由于測量存在誤差，學(xué)生測量計算得到的內(nèi)角和數(shù)據(jù)都在180°左右。交流完數(shù)據(jù)后，學(xué)生提出猜測：三角形的內(nèi)角和應(yīng)該在180°左右，真的是這樣嗎？其他形狀三角形的內(nèi)角和也在180°左右嗎？部分學(xué)生半信半疑。這時，教師亮出11 位組長測量的隨機(jī)三角形的內(nèi)角和數(shù)據(jù)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這么多隨機(jī)畫出的三角形內(nèi)角和也都在180°左右，這樣就堅定了大家的猜測。

（三）示范指導(dǎo)——細(xì)化實驗操作流程

教師是教學(xué)活動的組織者和引導(dǎo)者。數(shù)學(xué)家的舉世發(fā)明尚需時間。讓幾個小學(xué)生在有限的數(shù)學(xué)課堂中進(jìn)行發(fā)明創(chuàng)造并非易事。倘若教師任由學(xué)生操作，多半會無功而返。為此，不論是數(shù)學(xué)實驗活動，還是日常數(shù)學(xué)教學(xué)，教師都應(yīng)該在學(xué)生自主學(xué)習(xí)時加強(qiáng)巡視，并及時給予點撥和幫助。

常規(guī)教學(xué)：教師讓學(xué)生通過剪一剪、折一折的方法自主驗證，然后組織學(xué)生匯報。這種教學(xué)方法的弊端是學(xué)生可能只是機(jī)械地進(jìn)行剪紙和折紙的操作，而缺乏對數(shù)學(xué)原理的深刻理解。他們可能只是按照老師的要求進(jìn)行實驗，而沒有真正理解其中蘊含的數(shù)學(xué)道理。

教學(xué)重構(gòu)：通過核心問題“不測量，不計算，你能想辦法求出三角形的內(nèi)角和嗎”引領(lǐng)學(xué)生思考。另外，利用成果展示板催生更多求三角形內(nèi)角和的方法：“把你們小組的方法粘貼到成果展示板上后，想想是否還有不同的方法。”

通過小組合作，本次執(zhí)教不僅呈現(xiàn)出1、2、3 這3 種常規(guī)方法，還出現(xiàn)了4、5、6 這3 種預(yù)設(shè)之外的素材（見圖1），不過只要言之有理，都是好素材。豐富的實驗成果更加堅定了學(xué)生對三角形內(nèi)角和是180°的信念。此時，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行說理驗證，自然水到渠成！

圖1

（四）說理驗證——完善數(shù)學(xué)實驗結(jié)果

數(shù)學(xué)結(jié)論的得出要經(jīng)歷系統(tǒng)論證的過程。學(xué)生假如僅通過不完全歸納就得出了結(jié)論，對數(shù)學(xué)思維嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)是不利的。不管是測量法還是剪拼成平角，都不可避免存在誤差，要想繞過平行線公理對三角形的內(nèi)角和進(jìn)行說明，就要利用數(shù)學(xué)小故事啟發(fā)學(xué)生思考。

教學(xué)時，教師通過呈現(xiàn)數(shù)學(xué)故事“因為長方形的內(nèi)角和總是360°，聰明的帕斯卡通過把長方形分成兩個完全相同的三角形，從而解釋了為什么三角形的內(nèi)角和總是180°”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行說理驗證：①任意長方形沿對角線對折都可以分成兩個完全相同的直角三角形。（見圖2）②因為∠1+∠2=90°，∠2=∠3，所以∠1+∠3 也等于90°。③其再加上直角就是180°。通過說理，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：因為任意直角三角形中兩個銳角的和總是90°，所以再加上一個直角后，任意直角三角形的內(nèi)角和就一定是180°。

圖2

用同樣的方法，把任意三角形沿高分成兩個直角三角形后（見圖3），再次讓學(xué)生先交流后說理。預(yù)設(shè)1：①因為∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°。②90+90=180（度）預(yù)設(shè)2：①左邊直角三角形內(nèi)角和為180°，右邊直角三角形內(nèi)角和為180°，加起來一共360°。②去掉中間兩個直角的度數(shù)，360-180=180（度）。

圖3

通過這種多角度的探討和說理，學(xué)生不僅能夠驗證數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性，而且能夠體會到數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性。最后，教師利用幾何畫板軟件進(jìn)行示范實驗（仍用圖3 中的三角形），對三角形的三個頂點進(jìn)行“拖動”操作，呈現(xiàn)任意三角形。學(xué)生發(fā)現(xiàn)不管三角形的形狀如何改變，∠1 加∠2 總是等于90°，∠3 加∠4 也總是等于90°，合起來就是180°。看來，不管三角形形狀如何變化，內(nèi)角和總是180°。這樣的教學(xué)有助于學(xué)生初步養(yǎng)成講道理、有條理的思維品質(zhì)。

四、教學(xué)啟示

合理的實施策略是數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的關(guān)鍵所在。首先，在設(shè)計實驗時，教師要充分考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)需求和個體差異。為每個小組準(zhǔn)備不同形狀的三角形和活動材料，設(shè)置明確的活動要求，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時也照顧了學(xué)生的個體差異，兼顧了素材的多樣性。其次，在實驗過程中，教師的示范指導(dǎo)和引導(dǎo)也非常關(guān)鍵。教師要通過引導(dǎo)學(xué)生自主探究，讓他們在實驗中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并進(jìn)行說理驗證，從而深化對數(shù)學(xué)概念的理解。另外，摸底學(xué)情也是非常重要的一環(huán)。實驗前，教師可以通過提問或者小測驗等方式了解學(xué)生對三角形內(nèi)角和概念的掌握情況，有針對性地進(jìn)行實驗設(shè)計和教學(xué)引導(dǎo)，從而更好地滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。最后，說理驗證是教學(xué)實踐中的重要環(huán)節(jié)。進(jìn)行說理驗證，可以幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識，培養(yǎng)邏輯思維能力，也能夠讓學(xué)生更深入地理解數(shù)學(xué)概念。在說理驗證的過程中，學(xué)生不僅能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的規(guī)律，還能夠培養(yǎng)邏輯思維和表達(dá)能力。

綜上所述，數(shù)學(xué)實驗對于培養(yǎng)學(xué)生理性思維有著不可或缺的作用。數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅要告訴學(xué)生結(jié)論，更重要的是教會學(xué)生如何進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)表達(dá)。通過這樣的教學(xué)，學(xué)生能夠在未來的學(xué)習(xí)和工作中更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題。教師只有不斷在細(xì)化實驗流程、強(qiáng)化示范指導(dǎo)、啟發(fā)說理表達(dá)上下功夫，才能充分發(fā)揮數(shù)學(xué)實驗課的價值，使發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的工作落到實處！