數學類比法在平面幾何教學中的應用研究

［ 摘 要 ］數學是一門系統化的學科，知識間存在一定的聯系，尤其是平面幾何知識，可通過由此及彼的類比遷移實現高效教學.文章以“中心對稱”的教學為例，從“提出問題，類比引入”“定義對象，類比探索”“性質研究，類比分析”“知識梳理，類比提升”四個方面展開教學與評析，并有針對性地談幾點思考.

［ 關鍵詞 ］類比；平面幾何；中心對稱

數學類比是一種探索知識間聯系的遷移性對比，超越單純差異性的對象比較.有些學生覺得初中數學難以理解，究其原因，在于這部分學生對知識的理解比較片面，沒有從多層面、多維度理解所學內容.靈活應用數學類比法，可讓學生從知識本身出發，通過類比遷移，發現其中的關聯性，建構良好的知識體系，完善認知結構，實現深度學習.

教學簡錄與評析

1.提出問題，類比引入

本環節通過類比等腰三角形性質的探究過程，引入本節課的探究對象 — —中心對稱.

師：請大家一起回顧等腰三角形性質的探究方法.

生1：先分析等腰三角形的邊、角以及“三線”，而后從整體視角探索等腰三角形的軸對稱特性.

師：很好！關于平行四邊形的性質我們已經研究了一部分，類比等腰三角形的研究過程，你們覺得我們還要研究平行四邊形的哪些性質呢？

生 2：應該從整體視角出發，研究其軸對稱性.

師：不錯，平行四邊形是一種特殊的四邊形，我們已經研究過關于它的邊、角、對角線的性質，它是否像等腰三角形一樣也存在類似于軸對稱的性質呢？

評析 本環節通過巧妙設置類比式問題，引導學生思維逐步深入本節課的核心探索區域，不僅凸顯了問題的啟發與引導功能，還展現了探索數學對象時所遵循的普遍規律和路徑 . 此類比過程既深刻又淺顯，易于領會，實為教學領域的理想開端.

如此設計旨在使學生全面了解概念產生及發展的完整歷程，而深入研究對象的途徑通常可從以下兩個方面切入：①通過實際情境直觀呈現研究對象，比如，圍繞平行四邊形的對角線交點進行旋轉操作，并細致觀察圖形在旋轉180°前后的對應關系，進而深入剖析其性質；②以數學內部體系為基石，運用類比方法深度剖析新舊知識間的異同，從而精準把握研究對象.本例帶領學生通過類比等腰三角形性質的探究過程，分析平行四邊形除已知性質外，還存在其他什么性質.這種獲取研究對象的方式顯得自然而質樸，符合初中生認知發展的特點.

2.定義對象，類比探索

本環節通過類比等腰三角形相關概念的研究方法，探索共同點.主要按照以下幾步實施：

第一步，通過類比軸對稱概念的研究方法，探索什么是中心對稱圖形.

師：大家還記得咱們之前是如何研究等腰三角形軸對稱這個性質的嗎？

生 3：用實操的方法，即折疊一個等腰三角形紙片，使得等腰三角形沿著一條直線折疊后獲得完全重合的兩個三角形，由此可確定等腰三角形為軸對稱圖形.

師：與之類比，平行四邊形能不能也沿著某條直線折疊，獲得兩個完全重合的圖形呢？

學生取出預先備好的平行四邊形紙片進行折疊，卻未能找到符合條件的直線.這不禁引發了學生的疑惑：是否真的存在一種方法，能使這片平行四邊形完全重合呢？在此基礎上，筆者向學生發放了兼具軸對稱與中心對稱特性的剪紙作品，鼓勵學生自行觀察.

師：如果將平行四邊形進行旋轉，有沒有辦法能讓它完全重合？學生依據平行四邊形對角線互相平分的特性，發現當平行四邊形以其對角線的交點為中心旋轉180°時，能與原圖形重合.

為了深化學生的理解，讓學生從直觀感知中發展抽象能力，筆者借助幾何畫板的演示功能將平行四邊形圍繞對角線的交點旋轉 180°（順時針或逆時針），保留旋轉痕跡.要求學生觀察并思考以下問題：①圍繞哪個點進行旋轉的？②旋轉的角度是多少？③按照什么方向旋轉的？

通過以上探索與分析，師生共同總結出中心對稱圖形與對稱中心的概念，并著重強調幾條關鍵信息：旋轉中心、旋轉度數、旋轉方向與重合.為了強化學生對概念的認識，筆者在此處設計了一組辨析題，讓學生自主分析，為構建完整的知識結構奠定基礎.

評析 研究對象一旦明確，接下來的任務就是研究它的特征、屬性等.在此過程中，筆者引導學生類比等腰三角形作為軸對稱圖形的研究方法，通過折疊紙張與剪紙的細致觀察，在直觀體驗中深刻理解軸對稱圖形的本質 — —折疊后能完全重合的圖形.同時，借助先進的多媒體技術手段，旋轉平行四邊形進行動態展示，使學生在細致觀察中逐步發現、歸納并總結出“旋轉中心、旋轉方向及旋轉度數”這三個構成中心對稱圖形不可或缺的基本要素.由此可見，類比法與實操法的結合是發展學生合情推理、抽象素養與直觀想象能力的重要方法.

第二步，通過類比軸對稱的研究方法，探索中心對稱.

師：按照以往的研究規律，當我們研究完一個圖形后該干什么？

生 4：再研究兩個圖形之間具備怎樣的關系.

師：很好，首先我們一起分析軸對稱的研究方法.

生 5：把一個圖形沿著某一條直線折疊，觀察它能否與另一個圖形重合.

筆者板書：軸對稱 — —圖形重合.

生 6：之前我們探索過一個圖形的中心對稱，那么兩個圖形能否構成中心對稱呢？

師：這是個好問題，如何探索呢？

生 7：可以嘗試用轉一轉的方法來探索，即將圖形圍繞著某定點旋轉180°，觀察其能否與另一個圖形重合.其中的要素包括中心對稱和重合性等.

師：非常好！說得比較全面.那么，中心對稱與中心對稱圖形的概念具有什么聯系與區別呢？

生 8：通過對定義與圖形的觀察，發現兩者的主要區別在于中心對稱圖形針對的是一個圖形，但中心對稱針對的是兩個圖形.兩者間的聯系在于，若將成中心對稱的圖形視為整體，則該圖形就是一個典型的中心對稱圖形.

評析 通過類比軸對稱概念的形成過程，促使學生主動思考與分析中心對稱概念的形成過程，深入剖析中心對稱與中心對稱圖形的區別與聯系，進而深化對概念形成基本模式的理解.在此過程中，成功提升了學生的數學類比思維與直觀想象能力，為學生核心素養的全面發展奠定了堅實的基礎.

3.性質研究，類比分析

本環節通過類比幾何對象的研究方法，揭露組成元素與相關元素之間的關系.

師：中心對稱圖形概念的研究完畢后，接下來研究什么內容呢？

生9：應該研究其性質.

師：哦？你所說的性質指什么？

生 9：是指圖形組成元素與相關元素之間的關系，如數量關系、位置關系等.

師：大家是否還記得，當初在探索軸對稱圖形性質的過程中，我們是從哪個角度或哪個方面開始著手的呢？

生10：從對稱軸與對應點連線之間的關系著手，如垂直的位置關系與平分的數量關系.

師：關于中心對稱圖形的性質，又該從何處著手呢？

通過師生的積極互動與溝通，學生一致認為，中心對稱圖形性質的探究應從對稱中心與對應點連線之間的關系著手.

生 11：如圖 1，結合中心對稱圖形的概念可知，當平行四邊形ABCD 旋轉180°時， ∠A'OC' = 180° ，點 A，O，C 三點是共線的關系，則AO = CO . 由此可確定對應點連線（線段）不僅經過對稱中心，還恰好被對稱中心平分.

評析 概念研究應以組成元素與相關元素為出發點，深入剖析各元素間的數量關系與空間布局，從而揭示其本質屬性.這一過程，離不開類比思想的運用.在合作交流環節中，學生借助類比軸對稱圖形性質的研究路徑，自主探尋并掌握了研究中心對稱圖形性質的有效方法.由此可見，類比一般幾何對象的研究過程與方法，結合定義可揭露研究對象的組成元素與相關元素之間存在怎樣的數量關系與位置關系，從而有效暴露研究對象的性質.

4.知識梳理，類比提升

此環節旨在通過對教學內容與方法的深入梳理與全面總結，提煉并歸納平面幾何的通性通法，從而為后續的教學活動奠定堅實的基礎.隨著課堂即將步入尾聲，筆者邀請學生深入思考以下三個問題：

問題 1 本節課通過類比等腰三角形的軸對稱性質，具體研究了哪些新內容？

問題 2 說說中心對稱圖形的定義、性質與研究路徑，闡述中心對稱的定義，并探討其與中心對稱圖形之間的異同與聯系.

問題 3 我們都清楚，沿著特定直線對折一個圖形，能夠創造出軸對稱圖形；而圍繞某點旋轉圖形180°，則能得到中心對稱圖形 . 除了這兩種方法外，是否還存在其他能夠實現圖形對稱的操作方法呢？

評析 歸納總結具有梳理知識點、整理知識結構和提煉數學思想方法的作用.如此設計旨在從“大概念”體系統領平面幾何教學，引導學生借助類比思想歸納研究幾何概念的常規方法，弄清知識“由哪里來”“準備到哪里去”，為后續教學夯實基礎的同時發展學生的數學核心素養.

教學思考

1.類比是一種合情的“似然”推理

類比是發現問題的有效方法之一，對學科發展具有重要意義.法國數學家拉普拉斯認為：歸納與類比是發現數學真理的重要工具.盡管當前數學研究方法越來越多，但類比法一直處于無可替代的位置.它將兩個不同對象在某些方面的相似點放在一起進行分析，推導出兩者在其他方面可能存在的相似點.

事實證明，類比是一種合情的“似然”推理.即便類比所得的結論可能不夠精確，只要其帶來的益處顯著超越其不足之處，那么類比依然具有不可小覷的價值與可行性.在自然科學領域，類比方法被廣泛地應用于解決諸多復雜問題.這種方法依賴于同類事物間的相似性，其影響力往往超越了它們之間的差異，從而深刻展現了類比在解決科學難題中的巨大價值.

2.類比遵循循序漸進的過程

數學，作為自然科學的一個關鍵分支，以其邏輯嚴密、循序漸進、由淺入深的特性而聞名.然而，當學生面對個別知識點時，可能會覺得定理、法則以及知識種類與結構等是抽象繁雜的.從宏觀角度來分析，發現數學史的發展是循序漸進的過程，知識之間緊密相連，存在著必然的聯系，無一能夠孤立存在.

在教學中，教師帶領學生應用類比法挖掘知識間的關系，屬于普遍的類比推理過程.總體而言，此過程就是將類似的對象放在一起進行比較與聯想，將一個對象已知的性質遷移到另一個相似對象上，獲得其性質.初中階段中的眾多公式、法則、定理等，均源于類比法的巧妙運用，同時，解題思路的拓展亦常常遵循著由淺入深、逐步類比的邏輯路徑.

例如，本節課教學將等腰三角形的性質作為起點，引導學生通過類比遷移，探索平行四邊形的性質 . 在循序漸進的比較分析中，促使學生自主掌握中心對稱的內涵 .該過程既遵循知識發展規律，又遵循學生認知發展規律 . 顯然，類比法的應用促使深度學習真實發生.

3.“以舊引新”是數學類比的核心

建構主義學習理論認為，學生的學習是在自己原有的知識結構基礎上建構對新信息理解的過程，任何新知的建構都與學生原有的認知水平相關.由此可見，數學類比就是踐行建構主義學習理論的表現 . 例如，本節課教學中的每一個環節都基于學生原有的知識結構，引導學生通過新舊知識的類比，自主發現新知，并通過各種手段驗證自己的發現是否合理.

總之，數學類比的應用是數學教學不可或缺的一種教學手段，它對發展學生的思維能力與探索精神具有不可估量的作用.作為一線數學教師，要結合學情與教情應用類比法，增強學生的數學學習能力，促進其可持續發展.