從自主學習到融會貫通

王國民

摘 要：高度的抽象性和概括性是數學概念最為顯著的特點，而這也正是數學學科學習難的根本原因，對于小學生來說，其抽象邏輯思維并未完全成型，還處于由具象思維轉變過渡的階段，這就對數學概念的教學提出了更高的要求，教師要盡可能地避免符號化的教學，所謂的符號化教學，就是模式化的闡述數學概念的含義，但這樣的教學是無法滿足教學需求以及學生的知識掌握的.作為數學學科的學習基礎，概念的理解和掌握是十分必要的，要通過數學概念教學發揮學科的育人作用，為此數學學科要不斷地推動學生的知識融會貫通.

關鍵詞：小學數學；數學概念；意義；構建

當下即使數學學科進行了教育改革，但其仍然存在較大的問題，絕大多數的數學概念課程為了發揮學生的自主學習性，變成了學生自學課程，教師的領導和幫助作用十分微弱，甚至部分教師嚴重的忽視了數學概念的學習的重要性，而過于注重解題技能這一學習技能的培養和加強.針對這一現象，我們需要深刻的思考和研究，將數學概念課程的立德樹人的教育效用進行落實，不斷地提高學生的學科綜合素質，提高其數學思維.在這里對數學概念教學進行具體的闡述，內容如下：數學概念教學主要包括三個部分，分別是概念的引入以及內涵的外延和概念應用.對于抽象性的數學概念，除了基礎的記憶以及模仿，更要加強學生運用數學概念進行自主探究和學習的實踐能力，不斷地提高學生的數學經驗，增強其數學思維。這就對教師的數學概念課程的教學和改革創新提出了更高的要求，需要不斷地通過數學問題驅動課程推進.

1 數學概念教學的意義——自主學習的基礎

對于概念這一名詞的解釋，在不同的領域有不同的闡述.就哲學層面來說，所謂概念就是對于事物的本質特征，人腦做出的反映.作為思維的基本單位，要對事物進行判斷和推理，就必須形成一定的概念.而聚焦到數學概念這一名詞，可以說，數學概念是展開一切數學研究的起點和基礎，一切數學問題的判斷、推理、計算以及證明都需要依靠針對性的數學概念，因為數學概念是所有數學知識的基石以及思想方法的載體.但需要注意的是，概念學習并不是數學學科教學的最終目標，對于概念的形成過程，以及歷史的發展和最后在實際數學問題的解決過程中的實踐運用更是教學的重點，這是為了更好地幫助學生構建完整科學的數學知識體系，加強其數學思維的培養和鍛煉，獲得全方位綜合性的發展與提高.

2 數學概念教學的問題——學習中的困難

傳統的數學教學往往根據教材所制定的步驟和方式來，簡單概括來說就是通過定義、性質、定理、應用這四個步驟進行演繹和呈現，這樣的教學步驟在一定程度上能夠有效地幫助學生形成系統的知識框架和結構，主要是因為能夠幫助學生在建立標準化的知識和概念架構后再展開數學問題的解決，再在解決問題的過程中加深對數學概念的理解和掌握，但其也存在不可忽視的缺陷和問題，簡單來說，就是打擊了數學概念教學活動的生動性和鮮活性，對于這些數學概念的來源以及規定的原因并沒有進行詳細的解釋和說明，學生會感到不知所云，這樣的教學形式早就有所定義，荷蘭的數學教育家弗賴登塔爾提出的“教學法的顛倒”說的就是這樣的教學形式.通過調查實踐發現，我國數學學科的概念教學主要分為三種形式，首先是急功近利式，具體來說就是通過反復的練習和訓練不斷地提高學生的數學成績，以完成應試教育.第二種方式則是直接投予式，教師掐頭去尾的直接闡述這些數學概念.最后一種方式則是大容量訓練式，顧名思義，就是通過照本宣科式的講解和大量的數學練習題輔助，達到數學概念記憶的教學目標.這三種教育方法的本質都是為了提高學生的數學成績，但都忽視了數學概念的理解以及教學.這樣的形式最后導致的結果就是學生也并沒有意識到數學概念學習的重要性，甚至在進行數學問題解答的過程中，也只是通過機械的模仿來達到目的，一旦出現新的提醒或是情況就一片空白無從下手.而且相較于新型的概念教學，傳統的解題教學需要花費學生大量的時間和精力進行大量的習題練習，但最終達到的教學和育人效果都不盡人意.

3 數學概念教學的方法——自主學習到融會貫通的策略

通過專業的研究和調查，對于數學概念的認知和獲取，可以通過兩種方式來達成，即概念形成和概念同化.對于具體的事物或者專門的例子的概括，可以通過概念形成的方式來達到概念的認知和獲取，而概念同化主要針對的對象是相關知識架構中的某一個舊的概念，通過舊概念來衍生出新概念的認知.概念形成的主要過程分為五個步驟，首先需要區別同一類事物的不同例子，接著對每個例子的本質進行概括，再將這些本質的屬性和認知與已有的知識框架進行聯系和區分，以不斷地完善自身的認知結構.而數學概念的學習需要不斷地進行衍生，完成第三個步驟后將已有的認知屬性推廣到更寬的范圍，以達成新概念的外延，最后就是對已有的認知結構的優化.同樣的，概念同化也需要完成五個步驟來達到教學的目的，首先，對于某一個數學概念的關鍵屬性進行明確，并且對其進行定義和符號化，第二部就是將這一概念所有的特點和特例進行闡述；接著也是將這一概念的本質屬性融入已有的認知框架當中，進行知識的融會貫通，從第四步開始概念同化與概念形成之間的差別就進行了顯現，概念同化的第四步需要明確肯定以及否定的例證，對概念進行分化，最后再將有關聯的概念進行重新連接，以形成一個完整的知識框架體系.

總而言之，兩種學習的方式需要進行配合和聯結，在概念形成和概念同化的過程中，學生能夠更好地明確實例中所蘊含的概念的相關屬性，并且對問題進行分析以及概括，以保證更加科學合理的數學知識體系的構建和完善.

4 以“生活中的比”教學為例——自主學習到融會貫通的實踐

要想更好地體現學生數學概念的構建的意義，教師就需要在進行教學設計的過程中精確的把握數學概念的本質，以更好地完成教學路徑的設計，不斷地改造和重新構建教學的課堂.

4.1 理解把握“比”的數學本質

這里所說的數學概念的學習，除了基礎的概念定義的記憶，以及理解外，還包括了相關數學概念本質屬性的掌握以及運用.這也在一定程度上提高了教師的專業教學要求，教師需要充分的掌握和了解相關數學概念的本質以及其發展的過程，以更好地完成教學方案的設計和教學路徑的規劃.在這里需要重點地強調“比”這一數學概念的數學本質.教材中對于“比”的概念闡述更趨向于做數的除法，二者之間的本質并沒有進行區分，但這顯然是不全面的，對此，本文將詳細地闡述“比”的本質.

（1）“比”的歷史發展.對一個數學概念的理解和認知，首先需要從其發展的歷史和過程入手，在這一數學概念出現的最初，其沒有被用作于數學計算中的除法運算，更傾向于幾何數學中量之間的關系的描述，也就是說度量的本質就是比較.在幾何中的比是兩個同類的量之間的度量，使用一個量的標準去推算另一個同類的量.而其逐漸地運用于計算領域當中，是因為部分數學家，例如約翰·沃利德用其進行了倍數關系的描述.說到底，比較就是產生“比”這一數學概念的根本前提和原因，不管是幾何層面還是算術領域，“比”都有著比較和度量的功能.

（2）“比”的數學本質.上文說到，“比”最初運用于幾何表達，因此其數學本質并不是所說的除法運算，其范圍更加的廣闊，是兩個數量，可以是兩個量或者數之間倍數關系的呈現，教師可以通過將教學與生活進行連接，幫助學生更好的理解這一數學概念的產生以及其所蘊含的數學本質.

4.2 調查學生已有經驗

一切數學教學活動展開和完成的基礎條件就是學生的已有知識和相關的活動經驗，因此，教師在進行教學活動的設計時，需要圍繞學生的具體學習情況和知識內容來進行，并且充分的考慮教學課題中的難點以及重點，設置科學有效的教學情境.

關于“比”這一數學概念的教學，教師需要從多個層面，包括教材邏輯、自我經驗、教師團隊經驗以及自測練習調查等進行充分的調查和分析，在此基礎上進行教學問題的設計，問題如下：提到“比”，你第一反應會想到什么？在生活中你在哪里聽到過比呢？你能寫出一個比嗎？

將一個班級49名學生作為調查的對象，針對上述所提的三個問題，最終的結果如下：提到“比”，所有的學生想到的都是同類量的相比，而絕大部分學生的認知是大小以及多少這種相對的度量之間的比較，只有少部分的學生想到了倍數之間的比較，這樣的結果表明，對于比的認知，學生更多的來自于日常的生活經驗.針對第二個問題，所有的學生都提到球類比賽的比分，而還有18.4%的學生聽說過蓋房屋時沙、水泥和水三者的比；22.4%的學生聽說過煮米飯水與米的比，講述了建造時的水泥以及沙石之間混合的比例，同樣的，煮飯時放入的水和米的比例也是學生提到的答案，結果表明，球類比賽之間的比分為絕大部分學生認知，但對于生活實踐中出現的比例問題所蘊含的數學意義認知較少.對于最后一個問題，超過90%的學生都寫出了至少一個比的例子，部分學生甚至能夠舉出詳細的生活案例，但仍然存在寫不出比這樣的情況.

總而言之，學生對于同類量的比存在一定的認知，但若是將比的對象換成不同的量，則存在一定的認知困難，此外，在日常生活實際中獲取數學相關概念知識的能力較弱.

4.3 數學概念的意義建構的學習路徑

教師需要重視“生活中的比”這一課題的教學，在進行教學方案和材料的設計時，需要充分地考慮學生的數學知識儲備以及“比”這一數學概念的發展歷程和數學本質，以更好地完成學習路徑的明確和規劃.這里提到了“學習路徑”，顧名思義就是展開教學活動過程中，學生學習的路徑以及序列，需要教師根據明確的教學目標和針對性的教學內容進行學習策略的設計，因為學生需要根據明確的學習策略展開學習進程.總而言之，教師與學生需要進行配合，通過統一的學習路徑，以完善“教”與“學”之間的關系.

除此之外，準備充足的引發學生思考的教學材料也是展開“生活中的比”教學必不可少的，對于學生來說，要想充分理解“比”這一數學概念的本質，還存在一定的差距和困難，而這些差距也正是教師突破教學進行創新的根本和靈感.

5 結束語

綜上所述，學生已有的數學經驗和概念認知都是教師在進行教學創新和改進需要充分了解的基礎前提，以更好地完善教學材料的設計與準備.對于相關的數學概念的講解，需要從其歷史的演變以及來源入手，對其進行分析比較，通過分類和甄別等多個步驟以更好地明確數學概念本質，以及不同概念之間的關系，從而完善學生知識框架的構建和數學核心素養的提升.

參考文獻：

［1］丁悅.任務驅動：從自主學習到融會貫通——以數學概念的意義建構為例［J］.小學數學教育，2023（Z4）：2729.

［2］錢中華，羊琴.數學學習展開思辨 意義建構數學概念——以“生活中的比”一課教學為例［J］.現代中小學教育，2023，39（1）：2732.

［3］李美芳.促進教師評估與支持幼兒數學過程性能力的行動研究［D］.華東師范大學，2022.

［4］陳敏.假于情境 基于理解 意義建構——“充分條件與必要條件”教學設計與反思［J］.中學數學月刊，2022（5）：47.

［5］王思儉.重視數學概念的意義建構——以“平均變化率”教學為例［J］.江蘇教育，2021（45）：7680+3.

［6］明新華.數學概念語境性分析與其能效性的實證研究［D］.陜西師范大學，2018.

［7］張志剛.曲徑通幽處：一道高考模擬題的背景揭示與破解［J］.數學之友，2022，36（6）：8084.

［8］李瑩.課程思政視域下的高中數學教學設計研究——以高中數學“數列”教學為例［J］.數學之友，2022，36（6）：3538.