聚焦立體幾何與其他知識的交會

張立芳

(貴州省都勻第一中學)

在知識點交會處命題,是近年各類數學試題設計的特色,有利于考查學生對相關知識的綜合運用能力.基于此,本文著重通過歸類舉例的方式,具體說明立體幾何與其他知識常見的交會問題,旨在進一步提高學生的空間想象能力以及綜合運用能力.

1 立體幾何與歸納推理的交會

例1 已知ABCD-A1B1C1D1為單位正方體,黑、白兩只螞蟻從點A出發沿棱向前爬行,每走完一條棱稱為“走完一段”,白螞蟻爬行的路線是AA1→A1D1→…,黑螞蟻爬行的路線是AB→BB1→…,它們都遵循如下規則:所爬行的第i＋2段與第i段所在直線必須是異面直線(i∈N?).設黑、白螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個頂點處,這時黑、白兩只螞蟻的距離是________.

如圖1 所示,由題意知白螞蟻爬行的路線 為AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA,即過6 段后又回到起點,可看作以6為周期,由2020÷6＝336…4,白螞蟻爬完2020 段后回到點C.同理,黑螞蟻爬行的路線為AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA,黑 螞 蟻 爬 完2020 段 后 回 到點D1.

圖1

綜上,黑、白兩只螞蟻的距離是2.

本題設計比較好,具有較強的創新性.試題以熟悉的正方體為載體,側重考查了異面直線與歸納推理的綜合運用,解題關鍵是先根據圖形獲得黑、白螞蟻爬行的路線具有周期性,再利用周期性簡捷求解目標問題.

2 立體幾何與古代數學文化的交會

例2 如圖2所示,埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,它的形狀可視為一個正四棱錐,以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積,則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為________.

圖2

圖3

本題將金字塔中所蘊含的空間幾何關系進行恰當挖掘,充分彰顯了古埃及數學文化的源遠流長,展示了巧奪天工的古代建筑,試題能夠讓廣大考生進一步體會到古代埃及文明的無比璀璨.

3 立體幾何與基本不等式的交會

易知圓錐側面積最小時,圓錐的側面和底面都與球相切.如圖4所示,過球心作截面,設圓錐的底面半徑CD＝R,母線長AC＝l,內切球的半徑OE＝r.根據小球的體積為,可得其半徑r＝1.因為△ABC的內切圓的半徑

圖4

本題對空間想象能力的考查較強,為了保證圓錐側面積取得最小值,首先要滿足圓錐的側面和底面都與球相切,據此數形結合可獲得等量關系式,然后進行適當換元,再運用基本不等式,巧求目標最小值.

4 立體幾何與函數圖像的交會

例4 如圖5所示,在棱長為1的正方體中,E,F,G,H分別為A1B1,C1D1,AB,CD的中點,點P從G出發,沿折線GBCH勻速運動,點Q從H出 發,沿 折 線HDAG勻速運動,且點P與點Q運動的速度相等,記以E,F,P,Q四點為頂點的三棱錐的體積為V,點P運動的路程為x,在0≤x≤2時,V與x的圖像應為( ).

圖5

圖6

本題設計比較創新,具有一定的難度,試題將有關立體幾何知識與分段函數的圖像進行了有機融合,側重考查了“數形結合思想”“分類與整合思想”在解題中的靈活應用.

(完)