如何利用等體積法求點線面的距離

溫德俊

(四川省威遠縣競力學校)

等體積法是空間幾何中常用的一種求距離的方法,它可以求出點與線、點與面、線與面之間的距離.當我們遇到與點線面有關的距離問題時,可以考慮將一個空間幾何圖形換個方向投影,然后通過體積的不同表示方法求出相應的距離.等體積法較為簡單,不需要對圖形進行復雜的分割和計算,但是在轉化方面稍有難度.

1 求定點到面的距離

例1 如圖1 所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E是棱CC1的中點,則點C1到平面EBD的距離為( ).

圖1

因為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E是棱CC1的中點,所以

設點C1到平面EBD的距離為h,則VC1-EBD＝VB-C1ED,所以

該題為基礎題,類似于平面幾何三角形中的利用等面積法求高,體積等于底面積乘高,在高不好求的情況下,可嘗試將該三棱錐換個底面,然后通過等體積法進行求解.

2 求動點到面的距離

例2 如圖2所示,在三棱錐P-ABC中,PA＝PB＝PC,△ABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點,且CE⊥EF,若M為三棱錐PABC外接球上的動點,則點M到平面ABC距離的最大值為_________.

圖2

可以先證得PB⊥平面PAC,再求得PA＝PB＝PC＝2,從而可知P-ABC為正方體的一部分(如圖3),正方體的體對角線即為球的直徑,從而使問題獲解.

圖3

因為PA＝PB＝PC,△ABC是邊長為2的等邊三角形,故P-ABC為正三棱錐,PB⊥AC.又E,F分別為PA,AB的中點,故EF//PB,所以EF⊥AC,又EF⊥CE,CE∩AC＝C,因此EF⊥平面PAC,PB⊥平面PAC,則∠APB＝90°,所以

又M為三棱錐P-ABC外接球上的動點,所以當M位于正方體的頂點(如圖3)時,點M到平面ABC的距離最大,設最大距離為h,則三棱錐M-ABC的體積為

該題難點在于P-ABC外接球的構建需要較強的空間想象力.在外接球的構建過程中,正方體(或長方體)這類的特殊幾何體可以作為中介,可先將三棱錐置于正方體(或長方體)內,如此,便可在正方體(或長方體)的空間內進行求解,將來無論是利用體積公式,還是建立空間直角坐標系,都將更加容易.

3 求直線到面的距離

例3 如 圖4 所 示,AD//BC且AD＝2BC,AD⊥CD,EG//AD且EG＝AD,CD//FG且CD＝2FG,DG⊥平面ABCD,DA＝DC＝DG＝2.

圖4

(1)求平面EBC與平面EFG的夾角;

(2)求直線AD到平面EBC的距離.

本題可通過建立空間直角坐標系求解第(1)問,第(2)問可以利用等體積法進行求解.

(1)因為AD⊥CD,DG⊥平面ABCD,故以D為 坐標原 點,DA,DC,DG分 別 為x軸、y軸、z軸 建立空間直角坐標系,如圖5所示.

圖5

由題可知D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),易知平面EFG的一個法向量為,設平面EBC的一個法向量為

所以平面EBC與平面EFG的夾角為45°.

(2)因為AD//BC,BC?平面BCE,則AD//平面BCE,所以直線AD到平面EBC的距離與點D到平面EBC的距離相等.

如圖6所示,連接CG,BD,由(1)可知AD⊥平面CDGF,所以AD⊥CG.

圖6

又BC//AD,所以BC⊥CG,設點D到平面EBC的距離為h,則

又VD-BCE＝VE-BCD,所以,解得h＝2,所以直線AD到平面EBC的距離為2.

本題既考查了向量計算,又考查了等體積轉化的方法.尤其在第(2)問中,既可以直接建立空間直角坐標系進行向量計算,又可以通過巧妙的等體積法進行體積公式的轉化和表示.求直線到平面的距離,隱含著直線與平面平行的條件,因此實際上是考查直線上的點到平面的距離,通過等體積轉化可以巧妙求解.

(完)