空間幾何體最值問題解題策略探究

梁琪雅

(福建省廈門雙十中學)

空間幾何體最值問題是高中數學的常考問題,該類問題情境復雜多變,解題方法靈活多樣.求解問題時需具體問題具體分析,采用針對性策略,尋找切入點.實踐表明,解答空間幾何體最值問題常用方法主要有基本不等式法、空間向量法、二次函數法、導數法等,本文舉例分析.

1 基本不等式法

基本不等式法是求解空間幾何體最值問題的常用方法.運用該方法解題的關鍵在于靈活運用題干中的已知條件,合理設出相關參數,構建相關參數之間的關系.在構建參數之間的關系時注重靈活運用幾何知識(如勾股定理、三角形相似等)探尋未知參數.

例1 在三棱錐P-ABC中,點P在底面上的射影O為△ABC的垂心,如圖1 所示,其中AO的延長線交BC于點D.S△ABC?S△OBC＝S2△PBC,若△PAB,△PBC,△PAC的面積之和的最大值為8,則三棱錐P-ABC外接球的體積為________.

由題意可知PO⊥BC,而AD⊥BC,PO∩AD＝O,則BC⊥平面PAD,則BC⊥PD,BC⊥AP.由S△ABC?S△OBC＝S2△PBC,可得

整理得AD?OD＝PD2,即,而∠ODP＝∠PDA,則△ODP∽△PDA,∠POD＝∠APD＝90°,所以AP⊥PD.又BC∩PD＝D,故AP⊥平面PBC,則AP⊥PB,AP⊥PC.同理,得BP⊥PC,即PA,PB,PC兩兩垂直.設PA,PB,PC的長分別為a,b,c,則

2 空間向量法

空間向量是研究空間幾何體的重要工具,尤其用于解決動點問題,可能會獲得事半功倍的效果.運用向量法解答空間幾何體最值問題應建立能夠便于運算的空間直角坐標系.同時,運用題干中線段的等量關系,借助坐標運算確定動點軌跡,而后運用立體幾何知識,通過轉換分析問題的視角,迅速找到解題的切入點.

例2 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD內存在一動點P,且滿足|PA|＝2|PB|.設PD1 和平面ABCD 所成角為α,則α 的最大值為_________.

動點問題應首先想到運用空間向量法分析.以點B為原點,分別以BC,BA,BB1所在直線 為x軸、y軸、z軸 建立空間直角坐標系,如圖2所示.設正方體的棱長為2,點P(x,y,z),則A(0,2,0),D(2,2,0),由|PA|＝2|PB|,得

圖2

3 二次函數法

二次函數是學生非常熟悉的函數.求解空間幾何體最值問題有時運用二次函數可獲得良好效果.當然構建二次函數應建立在對空間幾何體點、線、面空間位置的準確判斷與把握上,因此,應靈活應用線線平行、線面平行、面面平行以及垂直判定定理.

例3 如圖3所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,點P1,P2分別在線段AB,BD1(不含端點)上運動,且P1P2//平面A1ADD1, 則 四 面 體P1P2AB1 的體積的最大值為_____.

圖3

4 導數法

求解空間幾何體最值問題有時構建的函數較為特殊,為順利解答需運用導數知識判斷特殊函數的單調性求出其最值.構建函數時要注重運用空間幾何體基礎知識,基于空間幾何體面積、體積公式構建函數.為更好地突破問題,深化學生的認識與理解,實踐中可借助多媒體技術多視角展示空間幾何體,更好地把握空間幾何體之間的關系,在頭腦中留下深刻的印象.

例4 如圖4所示,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2 的正方形,PA⊥底面ABCD,且PA＝2.若在該四棱錐中挖掉一個體積最大的圓柱,則該圓柱體的體積為_________.

圖4

綜上,解決空間幾何體最值問題時應具備靈活的思維,掌握通法通解,同時,應把握不同解題方法的特點以及適用題型,多進行訓練與反思,及時發現與彌補解題中的不足,實現解題能力的進一步提升,從而在以后解題時把握關鍵點,迅速找到解題切入點,避免走彎路.

鏈接練習

1.已知三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB＝2,△ABC和△PAB的外接圓圓心分別為O1,O2,若該三棱錐外接球的表面積 為16π,設O1A＝a,O2A＝b,則a＋b的 最 大 值為_________.

2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,|AB|＝3,點E為線段AB上靠近點A的三等分點,在△A1BD內有一動點P(包括邊界),則|PA|＋|PE|的最小值為_________.

3.已知四棱錐P-ABCD內接于半徑為1的球,則該正四棱錐體積最大時,高為_________.

4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,側面ADD1A1上存在一動點P,且PB1⊥A1C,則直線PB1和直線AB所成角的正弦值的最小值為_________.

鏈接練習參考答案

(完)