源于教材 凸顯素養
——一道立體幾何模擬試題的命制與思考

劉 臻 喻瑞明

(1.江西省南昌市第二中學 2.江西省南昌市第一中學)

筆者多次參與了模擬試題的命制工作,對試題的命制有一些思考,現以一道立體幾何模擬試題為例,探析考查學生數學學科核心素養試題的命題思路.試題命制靈感源于教材,卻高于教材,極具創新性,凸顯數學學科核心素養.本文將試題的命制與思考過程整理成文,與各位讀者分享.

1 試題呈現

引例 如圖1 所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB＝AC＝2,AA1＝1,AB⊥AC,點E,E1分別是棱BC,B1C1的中點,點G在棱A1B1上,且GB1＝2,截 面AA1E1E內 的 動 點P滿 足GB⊥PE1,則PE＋PB1的最小值是( ).

分析 這是一道以三棱柱為背景的立體幾何題,在考查立體幾何核心知識的同時,凸顯探究意識,考查學生的邏輯推理、直觀想象等數學核心素養.

2 命題立意

命題時既要立足教材,又要適度提高,既要注重基礎知識的應用,又要有一定的創新性,指向數學核心素養的考查.立體幾何試題考查的核心是借助幾何直觀,將空間幾何問題轉化為平面幾何問題,把握圖形之間的關系,揭示數學問題的本質,對提升學生的直觀想象、數學抽象與邏輯推理等數學核心素養大有幫助.因此,以簡單、熟悉的幾何體為背景,以動態問題為載體,考查立體幾何問題的平面化思想.

3 命制歷程

3.1 基于教材,初次嘗試

例1 (北師大版數學必修第二冊第115頁的例2)圖2是古希臘數學家特埃特圖斯(Theaeteus,約前417—前369)用來構造無理數2,3,5,…的圖形.試計算圖中線段BD的長度及∠DAB的大小(長度精確到0.1,角度精確到1°).

圖2

這是一道可以運用余弦定理求解的平面幾何問題,我們將△ABC沿著AC折疊,就可以將平面幾何問題轉化為立體幾何問題,于是將例1改編為例2.

例2 如圖3所示,在三棱錐A-BCD中,AB＝AC＝CD＝1,AB⊥AC,DC⊥CB,點P在線段BC上運動,則BP＋PD的 最 小 值為_________.

圖3

考慮到上述問題比較常見,立體幾何模型過于直接,因此嘗試將三棱錐隱藏到三棱柱中,如圖4所示.

圖4

3.2 線面關系,動態探究

若把注意力放在幾何體中的線面關系,則結合線面的平行關系可將例2改編為例3,結合線面的垂直關系可將例2改編為例4.

例3 如圖5所示,在直三棱柱ABE-CFD中,AB⊥AE,AB＝AE＝BF＝1,G,H分別為BE,DF的中點,點P在四邊形ABFC內運動,若HP//平面ADG,則AP＋PD的最小值為________.

圖5

例4 如圖6 所示,在直三棱柱ABE-CFD中,AB⊥AE,AB＝AE＝BF＝1,點P在四邊形ABFC內 運 動,若PF⊥DB,則BP＋PE的最小值為_________.

圖6

例3和例4是可行的,不見波瀾、中規中矩,但稍作思考總感覺例2和例3略顯平庸,“味道”不夠,那么該怎么改呢?

3.3 隱藏探究,降維變換

例3和例4的創新度稍微欠缺,如果能在幾何體中增加一些探究就可謂更上一層樓了.此時筆者突發閃念,若能將立體幾何模型的“探索”元素進一步隱藏,那就可謂是錦上添花了.

例5 如圖7所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB＝BC＝AA1＝1,AB⊥BC,D,E分別為A1B1,A1C1的中點,點P在三棱柱ABC-A1B1C1內,若AD⊥EP,則A1P＋PC的最小值為_________.

圖7

在本題的基礎上,增設棱的長度和相應的角度,依托線面垂直進行探究,這樣就滲透了空間問題平面化的思想,既體現了化歸與轉化思想的考查,也增加了命題的新穎性,吸引、激發考生解題的興致,于是確定了最后的定稿.

4 試題解析

解 如圖8 所示,過點G作GM//BC交A1C1于點M,交A1E1于點H,連接MC,EH,因為BC⊥平面AA1E1E,截面AA1E1E內的動點P滿足GB⊥PE1,所以EH⊥PE1.

圖8

如圖9所示,經計算可知四邊形EE1HN為正方形,則點P在線段E1N上(E1除外).如圖10所示,進一步探究PE＋B1P的最小值,只需將△ENE1沿著E1N折疊,使得△ENE1與平面B1E1N在同一個平面.如圖11所示,連接B1E交NE1于點P,點P即為滿足題意的點,此時,經計算可知PE＋PB1的最小值為5,故選C.

圖9

在解答立體幾何問題時,要先從幾何體的結構特征出發,增強對幾何體“形”的判斷和識別能力,即“形定而后動”,再結合已掌握的解題思想進行深入分析,把化歸與轉化及數形結合的思想運用得淋漓盡致.

5 命題思考

命題實踐是一項具有創新意義的活動,不僅能加強數學教學的針對性,科學合理地檢測學生學習的狀況和水平,更是能促進教師專業發展的有效路徑.

教師應潛心鉆研教材,充分挖掘教材中習題和例題的潛在功能,基于教材進行原創試題命制,有利于拓展學生的數學思維.在教學與評價中,要關注學生對具體內容的掌握,更要關注學生數學學科核心素養水平的表現.因此,數學題的命制既要基于基礎知識,尊重教材,又要突破、創新,凸顯數學學科核心素養.

(完)