化歸與轉化思想在立體幾何問題中的應用

李洪偉

(山東省青島西海岸新區第二高級中學)

化歸與轉化思想是高中數學中的重要思想方法,對學生數學學習有著重要的意義.立體幾何是高中數學的重要內容,要求學生具備較強的直觀想象、數學運算以及邏輯推理能力,同時立體幾何也是高考數學中的重要考點.本文分析化歸與轉化思想在高中立體幾何問題中的應用策略.

1 化陌生為熟悉,簡化空間圖形解題

在高中數學立體幾何問題中,一些題目對于學生來說較為陌生,此時可以利用化歸與轉化思想將陌生問題轉化成熟悉問題,再借助學生熟悉的解題方式對問題進行全面分析,提高學生學習效果與解題效率.

例1 在一個直徑為10的球體中有一個圓臺,圓臺上底面的半徑是4,下底面的半徑是5,求圓臺的體積.

如圖1 所示,設圓球的球心為O,圓臺上底面的圓心為O1,圓臺經過OO1的截面是梯形ABCD,延長AD,BC與OO1,相交于點S,則△SAB為等腰三角形,O是AB的中點.根據題目條件,可以得出CO1＝4,BO＝5.因為△SO1C∽△SOB,所 以.連接OC,在Rt△OO1C中,由勾股定理可得OO1＝3,所以,解得SO1＝12,SO＝15,所以圓臺體積

此題考查圓臺與球的切接問題,先求出底面與球的關系,之后利用幾何關系將圓臺體積轉化成大圓錐與小圓錐的體積差,進而完成問題的解答.

2 化三維為二維,借助平面圖形解題

高中數學立體幾何問題對學生空間想象能力要求比較高,在實際的解題中,教師可以引導學生將立體問題平面化處理,幫助學生分析立體問題,有效解答立體幾何問題.

例2 如圖2所示,ABCDA1B1C1D1是 長 方 體,AB＝AD＝1,AA1＝2,M是棱DD1上任意一點,當A1M＋MC取最小值時,證明:B1M⊥平面MAC.

圖2

如圖3 所示,將側面CDD1C1圍 繞DD1旋轉90°,使得其與側面ADD1A1在同一平面,當A1,M,C′三點共線時,A1M＋MC的值最小.因為AB＝AD＝1,AA1＝2,所以M是DD1的中點.因為C1M＝MC＝2,C1C＝2,利用勾股定理可以得出C1C2＝C1M2＋MC2,則∠C1MC＝90°,所以C1M⊥CM.因為B1C1⊥平面CDD1C1,所以B1C1⊥CM,因為B1C1∩C1M＝C1,所以CM⊥平面B1C1M,則CM⊥B1M,同理可證B1M⊥AM,又AM∩CM＝M,所以B1M⊥平面MAC.

圖3

在立體幾何問題中,空間位置關系可以通過平面圖形處理,如異面直線形成的角、二面角以及線面角等可以進行相應的轉化,解題時需明確平面圖形關系,通過轉化完成問題的解答.

3 化幾何為代數,利用向量知識解題

數形轉化思想是高中數學的重要思想方法,在解答代數問題時,常常會將數轉化成形,利用圖形解答問題.在立體幾何解題中,借助化歸與轉化思想將幾何問題轉化成代數問題,通過計算解答幾何問題.

例3 如圖4 所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,底 面ABCD為正方形,在棱AA1上有一個點E,且BE⊥EC1.

圖4

(1) 證 明:BE⊥ 平面EB1C1;

(2)若AE＝A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.

(1)因為ABCD-A1B1C1D1是長方體,所以C1B1⊥平 面ABB1A1.因 為BE在 平 面ABB1A1上,所 以BE⊥B1C1.又BE⊥EC1,EC1∩B1C1＝C1,所以BE⊥平面EB1C1.

(2)以B點 為 原 點,分 別 為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,如圖5所示.設AB＝a,BB1＝2b,則B(0,0,0),C(a,0,0),C1(a,0,2b),E(0,a,b).

圖5

在空間幾何問題中,若線線角、線面角以及二面角難以直接求解時,可以通過構建空間直角坐標系,將幾何問題轉化成代數問題.

4 化無形為有形,借助模型解答問題

在高中數學中,有很多復雜、抽象的問題.面對這樣的問題,如果學生無法有效提煉信息,則難以找到解題思路,此時可以通過化歸與轉化思想將無形轉化成有形,借助模型分析和解答問題.

例4 如圖6所示,在三棱錐P-ABC中,AP⊥平 面ABC,∠ACB＝90°,AC＝BC＝1,AP＝3,則三棱錐P-ABC外接球的體積為____.

圖6

方法2 如圖7 所示,根據題意,對三棱錐進行補形,補成一個長為1、寬為1、高為3的長方體,則三棱錐的外接球與長方體的外接球是同一個球.設外接球的半徑是R,所以所以,從而該三棱錐外接球的體積為

圖7

此題是求解三棱錐外接球體積的典型例題,方法1是常規解法,通過分析幾何圖形特征,確定外接球的球心,進而求解出外接球的半徑,完成體積求解.方法2是利用補形法,將無形轉化成有形,通過對幾何圖形的結構特點進行分析,將三棱錐補形得到長方體,根據長方體的結構特點,求解外接球半徑,簡化解題過程,提高立體幾何解題效率.

(完)