與三角有關(guān)的含參不等式恒成立問(wèn)題的解題策略

楊英輝

(人大附中北京經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)學(xué)校)

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,在三角函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的交會(huì)處命制的試題頻頻出現(xiàn),與三角有關(guān)的含參不等式恒成立問(wèn)題涉及的知識(shí)面廣、綜合性強(qiáng),重點(diǎn)考查了學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算能力和辯證思維能力.本文結(jié)合例題,談一下此類(lèi)問(wèn)題的求解策略,以饗讀者.

1 先求必要條件,后證充分性

2 特殊到一般,問(wèn)題變簡(jiǎn)單

例2 已知函數(shù)f(x)＝aex－ln(1＋x)－cos(a－1),f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.

當(dāng)a＜1 時(shí),h(a)＜h(1)＝0,即f(0)＜0,與f(x)≥0矛盾.

當(dāng)且僅當(dāng)x0＝0時(shí),等號(hào)成立,即不等式f(x)≥0恒成立.

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,＋∞).

從特殊到一般,將取特殊函數(shù)值作為解決問(wèn)題的切入點(diǎn),先縮小參數(shù)的范圍,降低解決問(wèn)題的難度.本題首先取特殊函數(shù)值f(0)＝acos(a－1)進(jìn)行研究,進(jìn)而引發(fā)對(duì)參數(shù)a的分類(lèi)討論;其次,解題過(guò)程中不可忽視零點(diǎn)方程及其變形ln(1＋x0)＝－x0－lna的作用,利用兩式恰當(dāng)換元可以減少運(yùn)算的函數(shù)種類(lèi),達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的.

3 調(diào)整結(jié)構(gòu),等價(jià)轉(zhuǎn)化

例3 已知函數(shù)f(x)＝2ax－sinx＋axcosx(a∈R),當(dāng)x∈(0,＋∞),不等式f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.

化“生”為“熟”,通過(guò)調(diào)整結(jié)構(gòu)和等價(jià)換元,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的非三角函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行研究.依據(jù)導(dǎo)函數(shù)有無(wú)變號(hào)零點(diǎn),對(duì)參數(shù)a進(jìn)行不重不漏的分類(lèi)是解決該問(wèn)題的一大難點(diǎn).

4 辯證思維,反客為主

例4 已知函數(shù)f(x)＝ex＋asinx－1(a∈R),若存在正實(shí)數(shù)m,對(duì)任意的x∈(0,m),都有f(x)＜0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

因?yàn)閒(0)＝0,所以“存在正實(shí)數(shù)m,對(duì)任意的x∈(0,m),都有f(x)＜0”的必要條件是f′(0)＜0,而f′(x)＝ex＋acosx,所以f′(0)＝1＋a＜0.

主元法是解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要方法.所謂主元法就是在多元數(shù)學(xué)問(wèn)題中,以其中一個(gè)量為主元,將原問(wèn)題化歸為該主元的函數(shù)、方程或不等式問(wèn)題,其本質(zhì)是函數(shù)與方程思想的應(yīng)用.數(shù)學(xué)中的常量與變量是相對(duì)的,有些看似復(fù)雜的問(wèn)題,如果能選取恰當(dāng)?shù)膮?shù)作為主元,往往可以化難為易.對(duì)于二元不等式問(wèn)題,往往需要固定一個(gè)變量,把動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問(wèn)題,即把二元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元問(wèn)題處理.在本題中當(dāng)sinx＞0時(shí),把g1(a)＝exasinx(a＜－1)視為a的一次減函數(shù),把g2(a)＝ex＋asinx－1(a≥－1)視為a的一元增函數(shù),進(jìn)而將二元變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元變量問(wèn)題進(jìn)行處理.此類(lèi)問(wèn)題考查學(xué)生將多元轉(zhuǎn)化為一元、動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)化為靜態(tài)、變量轉(zhuǎn)化為常量的辯證思維能力.

5 分離參數(shù),避免分類(lèi)

利用分離參數(shù)解決問(wèn)題往往可以有效避免復(fù)雜的分類(lèi)討論,收獲事半功倍的效果.

6 承上啟下,合理放縮

(完)