立體幾何動態(tài)問題的求解策略

王 慎

(甘肅省定西市渭源縣第四高級中學(xué))

立體幾何的動態(tài)問題,歷來是高考的熱點(diǎn)與難點(diǎn),這類集策略性、挑戰(zhàn)性與創(chuàng)新性于一體的考題,常常令考生“望而生畏”,因此研究這類問題的求解策略意義重大.這類動態(tài)問題主要包含動點(diǎn)變化、平面圖形的翻折、幾何體的平移和旋轉(zhuǎn)問題等,由此引發(fā)的常見題型有動點(diǎn)軌跡、角度與距離的計(jì)算、面積與體積的計(jì)算以及有關(guān)幾何量的最值求解等.那么,求解這類問題有何策略? 本文舉例說明.

1 去枝除葉現(xiàn)本質(zhì)

立體幾何動態(tài)問題的本質(zhì)是研究空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,因此面對復(fù)雜的圖形,我們應(yīng)排除各種干擾,捕捉最簡單的具有實(shí)質(zhì)性意義的點(diǎn)、線、面的有關(guān)信息,抓住問題的本質(zhì),從而從看似無序的圖形中找到規(guī)律,這是解決“動態(tài)”問題的關(guān)鍵.

例1 如圖1 所示,在正 方 體ABCD-A′B′C′D′中,點(diǎn)P在線段AD′上運(yùn)動,設(shè)異面直線CP與BA′所成角為θ,則cosθ的最小值是______.

圖1

本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征及異面直線所成角的定義,因此只需抓住問題的本質(zhì),發(fā)現(xiàn)CP與A′B所成角即為CP與D′C所成角θ,于是可得出θ的取值范圍,進(jìn)而得到最小值.

2 極端位置顯神奇

對于某些以填空題形式出現(xiàn)的立體幾何“移動”問題,要求某個(gè)變量的取值范圍,不妨依據(jù)圖形變化的連續(xù)性,從極端位置中發(fā)現(xiàn)取值范圍的上限與下限,進(jìn)而得出答案.

例2 如圖2所示,在棱長為1 的正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分 別是棱BC,CC1的中點(diǎn),P是底面ABCD(含邊界)上一動點(diǎn),滿足A1P⊥EF,則線段A1P 長度的取值范圍是_____.

圖2

如圖3 所示,連接BC1,A1D,A1C,則EF//BC1,所以A1D⊥BC1,A1D⊥EF.又DC⊥EF,所以EF⊥平面A1DC,故當(dāng)P在線段CD上運(yùn)動時(shí),有A1P⊥EF.

圖3

當(dāng)P與D重合時(shí),A1P有最小值2,當(dāng)P與C重合時(shí),A1P有最大值,則線段A1P長度的取值范圍是

由于A1是定點(diǎn),而P是底面ABCD(含邊界)上一動點(diǎn),故只需找到P在底面ABCD(含邊界)上的極端位置,問題便迎刃而解.

3 翻折問題找垂面

求解立體幾何翻折動態(tài)問題的關(guān)鍵是找到圖形變化過程中的“不變因素”,比如,若能抓住相關(guān)線或面的垂面,化空間為平面,那么問題的突破口便躍然紙上.

例3 如圖4所示,在等腰直角△ABC中,AB＝BC＝8,D為AC的中點(diǎn),l為平面ABC內(nèi)過點(diǎn)D的一條動直線,沿直線l進(jìn)行翻折,點(diǎn)C在翻折過程中記為點(diǎn)C′,C′在直線l上的射影為C1,C′在平面ABC上的射影C2落在直線AB上,則當(dāng)取得最小值時(shí),C1到直線AB的距離為_________.

圖4

C′C2⊥平面ABC,l?平面ABC,則C′C2⊥l,而C′C1⊥l,C′C1∩C′C2＝C′,所以l⊥平面C′C1C2,于是C1C2⊥l,因此點(diǎn)C2,C1,C三點(diǎn) 共 線,|CC1|＝|C′C1|＞|C1C2|.以直 線AB,BC分 別 為x軸、y軸 建 立 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系,如 圖5 所 示,則A(－8,0),C(0,8),D(－4,4),依題意,直線l的斜率存在且不為0.設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋4)＋4,直線CC1的方程為,則C2(8k,0),且

圖5

由|C′C1|＞|C1C2|,得|2k2＋k＋1|＜|k－1|,解得－1＜k＜0.因此,有

對于平面圖形翻折問題,我們應(yīng)注意在翻折過程中位于同一平面內(nèi)的點(diǎn)線的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的不變性.

4 軌跡問題探定值

立體幾何中的軌跡問題是一類與解析幾何有關(guān)的動態(tài)問題,而解析幾何中的曲線具有“動中有定”的特點(diǎn),因此探求立體幾何軌跡問題,就是探尋變化過程中的不變關(guān)系.

例4 如圖6 所示,在直三 棱 柱ABC-A1B1C1中,△ABC是邊長為2 的正三角形,AA1＝3,N為棱A1B1上的中點(diǎn),M為棱CC1上的動點(diǎn),過N作平面ABM的垂線段,垂足為點(diǎn)O,當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)C1時(shí),點(diǎn)O的軌跡長度為__________.

圖6

圖7

圖8

本題要求點(diǎn)O的軌跡的長度,需先探究O的軌跡形狀,于是采用數(shù)形結(jié)合的方法發(fā)現(xiàn)點(diǎn)O是以PN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn),因此它到PN的中點(diǎn)的距離是PN的一半,它的軌跡是圓的一部分.

(完)