例析立體幾何中的四種圖形變換

2024-01-12 12:59:04趙榮華

高中數理化 2023年23期

趙榮華

(吉林省四平市教育學院)

立體幾何的研究對象是空間幾何體,在研究空間幾何的有關問題時,我們經常要對它的圖形進行一些變換,如展開、折疊、割補、還原等.本文舉例說明.

1 折疊變換

將平面圖形按照一定的要求進行折疊,得到空間幾何體,研究幾何體的性質,或計算幾何體的體積與表面積是一種常見的題型.解決這類問題的關鍵是要分清折疊前后位置關系和數量關系中的變與不變.

例1 如圖1所示,在直角梯形ABCD中,AB//DC,∠BAD＝90°,AB＝4,AD＝2,DC＝3,點E在CD上,且DE＝2,將△ADE沿AE折起,使得平面ADE⊥平面ABCE,G為AE的中點.

圖1

(1)求證:DG⊥平面ABCE;

(2)求四棱錐D-ABCE的體積;

(3)在線段BD上是否存在點P,使得CP//平面ADE? 若存在,求的值;若不存在,請說明理由.

(1)因為G為AE的中點,AD＝DE＝2,所以DG⊥AE.因為平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE＝AE,DG?平面ADE,所以DG⊥平面ABCE.

(3)如圖2所示,過點C作CF//AE交AB于點F,則AF∶FB＝1∶3.過點F作FP//AD交DB于點P,連接PC,則DP∶PB＝1∶3.又CF//AE,AE?平面ADE,CF?平面ADE,所以CF//平面ADE.

圖2

同理,FP//平面ADE.又CF∩PF＝F,CF?平面PFC,PF?平面PFC,所以平面PFC//平面ADE.因為CP?平面PFC,所以CP//平面ADE,則在BD上存在點P,使得CP//平面ADE,且

本題已經給出圖形,解答時只需抓住兩個關鍵點:一是圖形翻折前后哪些數量關系和位置關系發生了變化,哪些沒有發生變化;二是對照翻折后的圖形,按照一般的立體幾何問題加以解答.

2 展平變換

將空間圖形問題轉化為平面圖形問題,是解決立體幾何問題基本的、常用的方法.將空間圖形展開成平面圖形后,弄清幾何體中相應點和線在展開圖中的相應的位置關系是解題的關鍵.

例2 如圖3 所示,已知在圓錐SO中,底面半徑r＝1,母線長l＝4,M為母線SA上的一個點,且SM＝x,從點M拉一根繩子,圍繞圓錐側面轉到點A,則當繩子最短時,頂點到繩子的最短距離為_________(用x表示).

圖3

因為底面半徑r＝1,母線長l＝4,所以側面展開圖的弧長為2πr＝2π,則側面展開扇形的圓心角,因此,將圓錐側面展開成一個扇形(如圖4),從點M拉一繩子圍繞圓錐側面轉到點A,最短距離為Rt△ASM1中斜邊AM1的長度.因為SM1＝x,SA＝4,所以繩子的最短長度的平方為f(x)＝AM21＝x2＋16(0≤x≤4).設繩子最短時,頂點S到繩子的最短距離等于d,則