直觀想象素養下的球體切接問題

雷 譽

(湖北省咸寧市青龍山高級中學)

空間幾何體與球有關的切接問題,在立體幾何中常常出現,是命題的熱點和難點.本文就錐體的外接球與內切球問題進行探究和推廣,幫助學生提升空間想象能力,提高學生的直觀想象、邏輯推理和數學運算等核心素養.

1 例題探究

例1 已知四棱錐的各個頂點都在同一個球面上,若該球的體積為36π,則該四棱錐體積的最大值是_______.

方法2 利用基本不等式來求最值,即

當且僅當6－2h＝3＋h,即h＝1時,等號成立.

先將四棱錐的各個頂點放進一個圓錐中,當底面圓的內接四邊形為正方形時,該四棱錐體積最大.據此可表示出四棱錐體積與球心到底面的距離h之間的函數關系,進而利用函數的單調性或基本不等式求得最大值.本題可以推廣為結論1.

例2 球M是圓錐SO的內切球,若球M的半徑為1,則圓錐SO體積的最小值為( ).

本題是圓錐的內切球問題,利用軸截面面積法或圖形相似尋找等量關系,進而表示出圓錐體積,最后利用基本不等式或二次函數的性質求得最值.本題可以推廣為結論2～結論4.

例3 現有10個直徑為4的小球,全部放進棱長為a的正四面體盒子中,則a的最小值為( ).

10個小球放進正四面體ABCD中,呈三棱錐形狀,有3層,從上到下每層的小球個數依次為1,3,6.當a取得最小值時,每層放在邊緣的小球

例4 圖2 是某一零件的結構模型,中間的最大球為正四面體ABCD的內切球,中等球與最大球同正四面體三個面均相切,最小球與中等球同正四面體三個面均相切.已知正四面體ABCD的棱長為2 6,則模型中9個球的表面積之和為( ).

圖2

如圖3 所示,取BC的中點E,連接AE和DE,F為A在平面BCD上的投影點,則

圖3

本題是正四面體和多個大小不等的小球相切問題,還可利用正四面體內切球的半徑為棱長的的結論快速求出r＝1.多個大小不等的小球相切問題的處理方法是通過截面圖的相似三角形,建立關系,得到這些球的半徑之比為2,即最大球的半徑是中等球半徑的2倍,中等球的半徑是最小球半徑的2倍.本題可以推廣為結論8.

2 結論推廣

證明 可將四棱錐看成圓錐來分析,設圓錐的底面圓半徑為r,高為h,其外接球的半徑為R,則(h－R)2＋r2＝R2,得h2＋r2－2hR＝0,當四棱錐為正四棱錐時,其體積取得最大值

3 鞏固練習

練習1 將一個半徑為6的球削成一個體積最大的圓錐,則該圓錐的內切球的半徑為( ).

答案 D.

練習2 (多選題)如圖4所示,有一個棱長為4 的正四面體P-ABC容器,D為PB的中點,E是CD上的動點,則下列說法正確的是( ).

圖4

A.直線AE與PB所成的角為

B.△ABE的周長最小值為4＋ 34

C.如果在這個容器中放入1個小球(全部放入),則小球半徑的最大值為

D.如果在這個容器中放入4個完全相同的小球(全部放入),則小球半徑的最大值為

答案 ACD.

練習3 半正多面體亦稱“阿基米德體”或“阿基米德多面體”,是以邊數不全相同的正多邊形為面的多面體,體現了數學的對稱美.某半正多面體由4個正三角形和4個正六邊形構成,其可由正四面體切割而成,如圖5所示.已知MN＝3,若在該半正多面體內放一個球,則該球體積的最大值為( ).

圖5

答案 A.

4 小結

求解立體幾何中有關球的切接問題,有利于培養學生的直觀想象、邏輯推理和數學運算等核心素養.數學問題的解決僅僅是一個開端,更重要的是解題后的反思與回顧.當遇到經典題目,不能僅僅停留在解題的層面,還應反思是否有其他解法,能否將試題進行拓展和推廣,試題的本質是什么,這樣才能將試題的價值最大化.

(完)