立體幾何解答題中體積的求解策略

馬文明

(山東省郯城縣美澳學校)

立體幾何中空間幾何體的體積求解,是高考中的重點與難點,或利用公式直接運算求解,或作為媒介交會知識應用,或創設場景融入實際問題,成為高考中的一個熱點問題.涉及立體幾何解答題中體積的求解策略主要有兩種:

1)利用等體積思維,比如,求三棱錐的體積常用換頂點法;

2)利用化整為零思維,比如,求多面體的體積常用切割法.

1 換頂點法

使用場景:三棱錐體積的求解與應用問題.

第一步:觀察三棱錐的4個頂點的情況;

第二步:尋找易求高的頂點的三棱錐,經常利用平行、相似或全等技巧等價轉化頂點;

第三步:根據體積公式求得結果.

例1 如圖1所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB＝AC＝AA1＝3,AB⊥AC,∠A1AB＝∠A1AC,D是棱B1C1的中點.

圖1

(1)證明:BC⊥平面A1AD;

(2)若三棱錐B1-A1BD的體積為,求平面A1BD與平面CBB1C1的夾角θ.

(1)如圖2所示,取BC的中點O,連接AO,A1O,A1C,CD,因為AB＝AC,所以AO⊥BC.因 為∠A1AB＝∠A1AC,AB＝AC,所 以△A1AB≌△A1AC,則A1B＝A1C,即A1O⊥BC.

圖2

因為AO∩A1O＝O,AO?平面A1AOD,A1O?平面A1AOD,所以BC⊥平面A1AOD,即BC⊥平面A1AD.

(2)如圖3所示,連接OD,由(1)可知BC⊥平面AA1DO,因 為BC?平 面ABC,且BC?平 面BCC1B1,故 平 面AA1DO⊥平 面ABC,平 面AA1DO⊥平面BCC1B1.

圖3

過H作HE⊥BD,連接A1E,因為A1H⊥平面BCC1B1,BD?平面BCC1B1,所以A1H⊥BD,又因為A1H∩HE＝H,A1H?平面A1HE,HE?平面A1HE,所以DB⊥平面A1HE.

又A1E?平 面A1HE,所 以A1E⊥BD,則∠A1EH即為所求二面角的平面角.在Rt△A1DH

采用換頂點法求解空間幾何體的體積,主要是針對三棱錐這一比較常見的幾何體,利用換頂點可以轉換視角,改變對應圖形的底與高之間的相對關系,進而達到巧妙解決問題的目的.

2 切割法

使用場景:多面體體積的求解與應用問題.

第一步:觀察空間幾何體特征,將多面體切割成其他錐體或進行合理補形;

第二步:分別求出各部分幾何體的體積;

第三步:根據切割或組合求解問題.

例2 如圖4所示,已知兩個四棱錐P1-ABCD與P2-ABCD的公共底面是邊長為a的正方形,頂點P1,P2在底面的同側,棱錐的高P1O1＝P2O2＝h,O1,O2分別為AB,CD的中點,P1D與P2A交于點E,P1C與P2B交于點F.

圖4

(1)求證:點E為線段P2A的中點;

(2)求這兩個棱錐的公共部分的體積.

(1)已知兩個四棱錐P1-ABCD與P2-ABCD的公共底面是邊長為a的正方形,連接P1P2,O1O2,如圖5所示.因為P1O1⊥平面ABCD,P2O2⊥平面ABCD,所以P1O1//P2O2,又P1O1＝P2O2＝h,所以四邊形P1O1O2P2是矩形,所以P1P2//O1O2,且P1P2＝O1O2.

圖5

又O1,O2分別為AB,CD的中點,所以O1O2//AD,且O1O2＝AD,所 以P1P2//AD,且P1P2＝AD,所以四邊形P1P2DA是平行四邊形,又P2A∩DP1＝E,所以點E為線段P2A的中點.

(2)連接P2O1交EF于點N,過點P1作P1M⊥P2O1于M,由題意知P2A＝P2B,故P2O1⊥AB.又P1O1⊥AB,P2O1∩P1O1＝O1,P2O1?平 面P2P1O1,P1O1?平 面P2P1O1,所 以AB⊥平 面P2P1O1,故AB⊥P1M.又P2O1∩AB＝O1,P2O1?平面P2AB,AB?平面P2AB,所以P1M⊥平面P2AB,即P1M是四棱錐P1-ABFE的高.由(1)同理可得點F為線段P2B的中點,所以

在Rt△P2O2O1中,,則

而P1M＝P1O1sin∠P1O1M＝hcos∠P2O1O2＝,所以

切割法主要用于求解比較復雜或沒有特殊規律的空間幾何體中的體積問題.通過切割處理,化整為零,或通過補形思想,化缺為整,將不熟悉的幾何圖形轉化為常規且可以利用體積公式來處理的空間幾何體問題,進而通過合理的組合來達到解題的目的.

其實,在解決空間幾何體的體積問題時,有時可以將一些復雜的、不規則的空間幾何體進行必要的轉化,如通過切割、組合、拼接、增減等技巧處理,轉換視角,變成一個或幾個相對規則的空間幾何體,進而簡單快捷地來求解相應的體積,或借助體積來轉化與應用,巧妙化歸與轉化,快速變形與破解.

(完)