空間幾何體外接球問題的四種常見類型

蔡志山

(福建省莆田市媽祖中學)

空間幾何體的外接球問題作為高中數(shù)學立體幾何模塊中的一類重點問題,是高考中的熱點.求解空間幾何體外接球問題的關鍵是正確尋找外接球的球心或確定外接球的半徑.空間幾何體的形式多樣,題目類型變化多端,給尋找外接球的球心或確定外接球的半徑等造成很大的困難.本文結(jié)合空間幾何體的不同結(jié)構(gòu)特征加以合理歸類,總結(jié)空間幾何體外接球問題的四種基本模型.

1 墻角模型

墻角模型是指三棱錐的三條棱兩兩垂直或三個平面兩兩垂直,將該三棱錐放入長方體中,把該三棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為該長方體的外接球,不用找出球心的具體位置,即可求出該球的半徑.圖1給出三種不同情況的三棱錐P-ABC的墻角模型.

圖1

例1 在三棱錐P-ABC中,已知PA,PB,PC兩兩垂直,且PA＝1,PB＝2,PC＝3,則三棱 錐P-ABC的外接球的表面積為( ).

A.13π B.14π C.56π D.64π_____

把三棱錐P-ABC放置在一個長方體中,如圖2所示,則該長方體的外接球即為三棱錐P-ABC的外接球,其外接球的半徑為

圖2

所以三棱錐P-ABC外接球的表面積為S＝4πR2＝14π,故選B.

求解此類墻角模型問題的關鍵:一是“見數(shù)思形”,需在草稿紙上畫出三棱錐的草圖,判斷是否有兩兩垂直的三條棱;二是“會構(gòu)圖形”,即靈活構(gòu)造長方體;三是“會用公式”,4R2＝a2＋b2＋c2(其中R為該三棱錐的外接球的半徑,a,b,c為兩兩垂直的三條棱的長).

2 對棱相等模型

對棱相等模型是指三棱錐的相對的兩條棱相等,可以通過構(gòu)建長方體,將該三棱錐放入該長方體中,使三棱錐的頂點與長方體的頂點重合,進而將該三棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為該長方體的外接球,從而求出該外接球的半徑.圖3 是四面體ABCD的對棱相等的模型.

圖3

圖4

例2 在平行四邊形ABCD中,AB＝2 2,BC＝3,且,沿BD將△BDC折起,使點C到達點E處,且滿足AE＝AD,則三棱錐E-ABD的外接球的表面積為_________.

E-ABD的外接球相同,所以三棱錐E-ABD的外接球的表面積為S＝4πR2＝13π.

求解此類對棱相等模型問題的關鍵:一是通過翻折,明確不變與變化的量;二是構(gòu)造,即根據(jù)所給的相等對棱的長度,構(gòu)造符合條件的長方體;三是列出方程組,即設出長方體的長、寬、高,根據(jù)三棱錐的三組對棱的長度,列出方程組,解方程組即可求出所構(gòu)造的長方體的共頂點的相鄰的三條棱的長;四是用公式,利用長方體的體對角線長等于該三棱錐的外接球的直徑,求出該三棱錐的外接球半徑,最后利用球的表面積與體積公式即可得到外接球的表面積與體積.

3 “心有所依”模型

“心有所依”模型是指對于圓錐、圓臺及側(cè)棱相等的棱錐等幾何體,可得球心必在該幾何體的高所在的直線上,或者在棱錐一個底面的高所在直線上,由此可把相關信息集中到某一個直角三角形內(nèi),利用勾股定理求解.圖5 是三棱錐P-ABC的“心有所依”模型.

圖5

例3 已知三棱錐M-ABC的四個頂點均在表面積為32π 的球面上,,AC＝4,則三棱錐M-ABC的體積的最大值為( ).

根據(jù)題意可知△ABC是一個直角三角形,其面積為4,其外接圓的圓心在斜邊AC的中點上.設外接圓的圓心為Q,當MQ⊥平面ABC時,三棱錐M-ABC的體積最大(如圖6),設球心為O,半徑為R,則有4πR2＝32π,解得R＝2 2,而點O到平面ABC的距離為,所以三棱錐M-ABC的體積的最大值為,故選C.

圖6

求解此類“心有所依”模型問題的關鍵:一是確定球心O的位置,先確定底面三角形的外接圓的圓心;二是計算出三棱錐底面外接圓的半徑;三是利用勾股定理,即可求出球心到底面的距離,從而求出三棱錐的高.

4 “雙心”模型

“雙心”模型是指可利用球心、三角形(或四邊形等)外接圓的圓心,以及外接圓與球的交點所構(gòu)成的直角三角形進行求解.圖7是三棱錐P-ABC的“雙心”模型.

圖7

圖8

例4 在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底 面ABCD,PA＝AB＝AD＝1,BC＝CD＝BD＝3,則該四棱錐的外接球的表面積為__________.

求解此類“雙心”模型問題時,外接球球心到各頂點的距離相等,因此可以先考慮到三個頂點的距離相等的點是三角形的外心,球心一定在過此點與此平面垂直的直線上.