亦說立體幾何中涉及線面所成角問題

周文國

(江蘇省張家港中等專業學校)

立體幾何中涉及線、面所成角問題,主要有異面直線所成角問題、線面所成角問題、二面角的平面角問題等,若能掌握通性通法,則能靈活求解這類問題.

1 異面直線所成角

異面直線所成角問題是立體幾何中的常見題型,其求解的方法是通過建立異面直線所成的平面角,然后視具體的問題采用不同的方法.

1.1 用平移法求解

例1 如圖1所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是C1D1,CC1的中點,求異面直線EF與A1D所成角的大小.

圖1

圖2

分析 結合正方體的特點,可知EF//A1B,結合異面直線所成角的定義將問題轉化為共面直線A1B和A1D所成角.

解 在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別是C1D1,CC1的中點,所以EF//D1C,又D1C//A1B,因此EF與A1D所成角即為直線A1B和A1D所成角.

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1B＝A1D＝BD＝2AB,△A1BD為正三角形,則∠BA1D＝60°,因此異面直線EF與A1D所成角的大小為60°.

上述問題采用了求異面直線問題常用的平移法,通過平移或尋找平行直線,依托構造三角形,將異面直線所成角放在三角形中解決.

1.2 用空間向量法求解

例2 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1＝2AB＝2BC＝2,點M是棱CC1的中點,求異面直線AM與BC所成角的余弦值.

分析 以A為坐標原點,建立空間直角坐標系,利用向量法確定異面直線AM與BC所成角的余弦值.

通過構建空間直角坐標系,求出異面直線的向量坐標,通常設直線l,m對應的方向向量分別是a和b,則兩條直線所成角θ的余弦值cosθ＝,從而確定異面直線所成角.

1.3 用向量法求解

例3 如圖3 所示,已知平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,且∠C1CB＝ ∠C1CD＝∠BCD＝60°,CD＝CC1＝2,求異面直線CA1與DC1所成角.

圖3

分析 可以求出兩條直線CA1與DC1的方向向量,再利用向量夾角的余弦公式求解.

本題結合向量運算,確定兩異面直線所在向量之間的位置關系,從而求出異面直線所成角的大小.

2 線面所成角問題

要求出直線和平面所成角,其關鍵是找到該直線在對應平面上的射影,即該直線和它的射影所成角是線面所成角.

2.1 用定義法確定

例4 (2023年全國甲卷理18)如圖4所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AA1＝2,A1C⊥底面ABC,∠ACB＝90°,點A1到平面BCC1B1的距離為1.

圖4

(1)求證:AC＝A1C;

(2)若直線AA1和BB1的距離為2,求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.

分析 本題的第(2)問是線面所成角問題,可結合定義找出直線AB1在平面BCC1B1上的射影,且在直角三角形中確定所成角的正弦值.

解 (1)如圖5 所示,取CC1的中點O,連接A1O,因為A1C⊥底面ABC,且AC?底面ABC,所以A1C⊥AC,則A1C⊥A1C1,故又A1C⊥底面ABC,且BC?底面ABC,所以A1C⊥BC,因為∠ACB＝90°,所以AC⊥BC.因為A1C∩AC＝C,所以BC⊥平面A1C1CA,因為BC?平面BCC1B1,所以平面BCC1B1⊥平面A1C1CA,因為點A1到平面BCC1B1的距離為1,所以點A1到CC1的距離為1,則A1O⊥CC1,因此AC＝A1C.

圖5

(2)過A作AM//A1O交C1C的延長線于M,連接MB1,取BB1的中點N,連接ON,所以四邊形BCON為平行四邊形,則ON⊥平面A1C1CA,且A1O∩ON＝O,故CC1⊥平面A1ON.

因為A1N?平面A1ON,所以CC1⊥A1N,則AA1⊥A1N,所以A1N為直線AA1與BB1的距離,則A1N＝2,所以ON＝3.

找到直線在對應平面上的射影,則該直線和射影所成的銳角或直角即為線面所成角,這是常用的確定線面所成角的方法.

2.2 用空間向量法求解

例5 (2022年全國甲卷理18)如圖6所示,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD//AB,AD＝DC＝CB＝1,AB＝2,DP＝3.

圖6

圖7

(1)證明:BD⊥PA;

(2)求PD與平面PAB所成角的正弦值.

分析 可知PD⊥BD,取AB的中點E,證明四邊形BCDE為平行四邊形,再根據長度關系可得到BD⊥AD.通過建立空間直角坐標系,求出各點的坐標,再求出平面PAB的法向量,結合向量的夾角公式使問題獲解.

解 (1)因 為PD⊥平 面ABCD,BD?平 面ABCD,所以PD⊥BD,取AB的中點E,連接DE,因 為AD＝DC＝CB＝1,AB＝2.又AD＝1,所以,則△ABD為直角三角形,且AB為斜邊,故BD⊥AD.

又PD∩AD＝D,PD?平面PAD,AD?平面PAD,所以BD⊥平面PAD.因為PA?平面PAD,所以BD⊥PA.

設平面PAB的法向量為n＝(x,y,z),則

3 二面角的平面角

確定二面角的平面角方法比較多,但一般是根據所求兩個平面是否有公共棱進行分類,如果是有棱,則常常通過找點或者是連線和平移的方法來確定二面角;若是無棱,則需要構造圖形才能確定二面角的平面角.

3.1 用法向量求解

例6 (2023年新高考Ⅱ卷20)如圖8所示,在三 棱 錐A-BCD中,DA＝DB＝DC,BD⊥CD,∠ADB＝∠ADC＝60°,E為BC的中點.

圖8

圖9

(1)證明:BC⊥DA;

(2)點F滿足,求二面角D-AB-F的正弦值.

分析 對于第(1)問,可得DE⊥BC,AE⊥BC,并結合線面垂直的判定定理證明;對于第(2)問,可得AE⊥平面BCD,再依次求出兩個平面的法向量,利用向量的夾角公式求解.

解 (1)連接AE,DE,因為DB＝DC,E為BC的中點,所以DE⊥BC,又DA＝DB＝DC,∠ADB＝∠ADC＝60°,所以△ACD與△ABD均為等邊三角形,則AC＝AB,故AE⊥BC,AE∩DE＝E,則BC⊥平面ADE,因為AD?平面ADE,所以BC⊥DA.

利用向量法求二面角的平面角,關鍵是要確定對應兩個平面的法向量,再通過代數法求解.

3.2 用三垂線定理求解

例7 (2023年上海卷17)如圖10所示,已知直四 棱 柱ABCD-A1B1C1D1,AB⊥AD,AB//CD,AB＝2,AD＝3,CD＝4.

圖10

(1)證明:直線A1B//平面DCC1D1;

(2)若四棱柱的體積為36,求二面角A1-BD-A的大小.

分析 對于第(1)問可先證明平面A1ABB1//平面DCC1D1,再根據面面平行的性質證明;對于第(2)問,可先求出A1A＝4,再利用三垂線定理作出所求二面角的平面角,然后求解.

解 (1)結合題意可知AB//CD,AA1//DD1,且AB∩AA1＝A,所以平面A1ABB1//平面DCC1D1,又A1B?平面A1ABB1,所以直線A1B//平面DCC1D1.

(2)設AA1＝h,則根據題意得到該四棱柱的體積為,所以h＝4,又AA1⊥ 平 面ABCD,所以在底面ABCD內 過A作AE⊥BD(如 圖11),垂足為E,因此A1E在底面ABCD內的射影為AE,再根據三垂線定理得到BD⊥A1E,∠A1EA為二面角A1-BD-A的平面角.

圖11

在Rt△ABD中,AB＝2,AD＝3,所 以BD＝,則

而AA1＝h＝4,所以

故二面角A1-BD-A的大小為

用三垂線定理求出二面角的平面角,這是確定二面角平面角的常用方法,即利用三垂線定理證明兩垂足的連線與棱垂直,就可找到二面角的平面角.

(完)