一道向量數(shù)量積取值范圍問(wèn)題的多角度探究

陳輝坤 毋曉迪 鞠騰基

(廣西民族大學(xué)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院)

求解兩個(gè)向量數(shù)量積取值范圍問(wèn)題,往往會(huì)涉及動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題,需要采取“動(dòng)”與“靜”相結(jié)合的解題思路,解題難度較大,可以采取向量問(wèn)題坐標(biāo)化、基底化思想,或構(gòu)造圖形使其更直觀,體會(huì)解決向量數(shù)量積取值范圍問(wèn)題的基本方法.

題目 已知AB是半圓O的直徑,AB＝2,等腰△OCD的頂點(diǎn)C,D在半圓弧AB上運(yùn)動(dòng),且∠COD＝120°,點(diǎn)P是半圓弧AB上的動(dòng)點(diǎn),求的取值范圍.

分析1 固定△OCD的位置,采取“以靜制動(dòng)”的方法,使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合,不影響最值的結(jié)果,隨之,點(diǎn)D的位置就能固定下來(lái).通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系,可直接寫出C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo),同時(shí)得到半圓O的方程,根據(jù)圓的參數(shù)方程,寫出點(diǎn)P的坐標(biāo),再通過(guò)向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算,把求解的取值范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的取值范圍問(wèn)題.

方法1 如圖1所示,使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合,以AB所在直線為x軸,以線段AB的中垂線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則半圓O的方程為x2＋y2＝1(y≥0),則點(diǎn)C(1,0),由于∠COD＝120°,則點(diǎn)

圖1

設(shè)P(cosθ,sinθ)(θ∈[0,π]),則

所以

將幾何圖形放置于平面直角坐標(biāo)系中,易求得半圓的一般方程,并利用其參數(shù)方程,順利得到半圓上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),最后運(yùn)用坐標(biāo)法計(jì)算出向量數(shù)量積的表達(dá)式,彰顯用坐標(biāo)法解決問(wèn)題的優(yōu)越性.此外,學(xué)生有必要掌握運(yùn)用三角函數(shù)的有界性求解向量數(shù)量積取值范圍問(wèn)題的解題方法.

方法3 如圖3 所示,取線段CD的中點(diǎn)M,連接OM,OP,PM,即由極化恒等式得

圖3

圖5

下同方法2.

該方法的切入點(diǎn)是探尋點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡,進(jìn)而剖析線段PM的最大值和最小值.學(xué)生在解決此類問(wèn)題時(shí),需要聯(lián)想到:若某線段的長(zhǎng)度是定值,該線段的某一端點(diǎn)為固定的點(diǎn)時(shí),另一端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓(或一段圓弧).

分析5 構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形,觀察并分析出點(diǎn)P可以在線段OD兩側(cè)運(yùn)動(dòng),弧CD對(duì)應(yīng)的圓心角為120°,則弧CD對(duì)應(yīng)的圓周角為60°,點(diǎn)P在弧AB上的運(yùn)動(dòng)情況可分為在

弦CD兩側(cè)兩種位置,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),得到與的 夾 角 為∠CPD＝120°或60°,結(jié)合余弦定理和基本不等式,可分別求解出|PC|?|PD|的最大值和最小值,實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決.

方法5 如圖6所示,固定點(diǎn)C,使其與點(diǎn)B重合,由圓周角定理知:當(dāng)點(diǎn)P在弧AD上運(yùn)動(dòng)時(shí),記為點(diǎn)P2,此時(shí)∠CP2D＝60°,即

圖6

該方法的關(guān)鍵點(diǎn)是從構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形出發(fā),厘清點(diǎn)P在圓弧上的運(yùn)動(dòng)位置可以細(xì)分為兩類,這種思路能全面分析動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題,雖然過(guò)程稍顯復(fù)雜,但其中所體現(xiàn)出的研究問(wèn)題路徑值得大家借鑒.

分析6 受方法5的啟發(fā),從向量數(shù)量積的幾何意義出發(fā),基于點(diǎn)P在弧AD和在弧CD運(yùn)動(dòng)時(shí)的兩種情形,分別作投影向量.根據(jù)已知的線段長(zhǎng)和特殊角的大小,計(jì)算出向量數(shù)量積的最大值和最小值.

方法6 如圖7 所 示,過(guò) 點(diǎn)D作DE⊥P2B于E,過(guò)C作CF⊥P1D于F,即

圖7

該方法利用向量數(shù)量積的幾何意義,把兩個(gè)向量數(shù)量積的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為一個(gè)向量的模乘另一個(gè)向量在其方向上的投影.雖然使用此方法對(duì)思維要求較高,但是其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想值得大家思考.另外,此種方法計(jì)算量小,不容易出錯(cuò),若在考試中能將該方法應(yīng)用到求向量數(shù)量積問(wèn)題中,可能會(huì)收獲意想不到的效果.

(完)