從結構尋解法 用思維提素養
——一道解斜三角形統測題的解與思

王 凱 金建軍

(1.浙江杭州市源清中學 2.浙江金華第一中學)

解三角形問題是高中數學的一類常見問題,它是初中數學解直角三角形問題的繼承和發展,在解題時常結合高中的代數工具(如正弦定理、余弦定理、平面向量等),以解決復雜幾何圖形中的定量問題.本文以浙江省杭州市2022屆高三下學期4月數學質量檢測(二模)第16題為例簡談在解三角形問題時學生如何培養和落實自己的數學學科核心素養.

題目 在Rt△ABC中,∠C＝90°,點D在邊BC上,3CD＝BD.若,求sin∠ABC.

本題的題干簡潔,既有幾何關系,又有數量關系.在畫出草圖后,可以從幾何構造、代數運算和數形互助的層面來對問題進行解法建構,在解決問題的過程中提高解題能力,培養思維品質,提升核心素養.

分析1 題目沒有直接給出圖,所以解題時先要根據題意構圖.題干中有一個條件:一個角的正弦值是,根據這個熟悉的值聯想到“勾三股四弦五”的直角三角形.因此求解問題的關鍵在于能否看出數據背后的秘密.

解法1 根據題意,畫出圖1,因為三角形相似不改變角度大小,不妨設CD＝1,BD＝3(下同).過點D作DH⊥AB,交AB與點H,那么有

在 Rt △ADH中, 因 為,所 以AH＝4sin∠ABC,AD＝5sin∠ABC,則AB＝4sin∠ABC＋3cos∠ABC.因為Rt△BDH∽Rt△BAC,所以,即

化簡可得

如果沒有想到三角形相似,算“兩次”也可以是我們解決此類問題的常用方法,如解法2.

解法2 在圖1中,設DH＝3k,AH＝4k,AD＝5k,則在Rt△ABC中,有

又因為

所以

解法提煉 “能夠在熟悉的數學情境中,借助圖形的性質和變換(平移、對稱、旋轉)發現數學規律”是?普通高中數學課程標準(2017 年版2020 年修訂)?(以下簡稱?課標?)對直觀想象素養水平一的要求.歐幾里得幾何是學生在初中階段的一個重要學習內容,通過一些常見的幾何圖形,建立直觀想象思維,為后續用代數予以表達提供基礎.學習時需要在基本圖形中識別常見的圖形,利用關聯的情境,把問題變回到熟悉的數學情境中,然后利用合適的工具進行求解.

分析2 這個問題還可以借助高中數學中解三角形問題的兩大工具——余弦定理和正弦定理,通過代數運算巧妙地替代添加幾何輔助線.

由余弦定理,得

即

解得t＝2,則

把邊長用變量t進行表示,借助余弦定理這一代數工具,把幾何運算轉化成了代數運算.同理,也可以用正弦定理解決,如解法4.

解法4 在△ABD中,由正弦定理,得

即AD＝5sin∠ABC.在Rt△ADC中,得

故有

解法提煉 “能夠在關聯的情境中確定運算對象,提出運算問題”是?課標?對數學運算水平二的要求.事實上,在情境中理解運算是一種演繹推理,若能學會用程序化策略,將會有利于解決數學運算的問題.

分析3 在前面的解法中,利用了幾何構圖的“巧”和數學運算的“繁”,我們還可以從數形結合的角度,通過形看出一些關系,再用簡單的運算得出結論,提升邏輯推理能力.

解法5 由題可知∠BAD＝∠BAC－∠DAC,因為∠BAC在Rt△ABC中,∠DAC在Rt△ADC中,所以這兩個角的三角函數值非常容易算出,結合差角公式(在等號兩邊取正弦,直接用題中的正弦值;因為斜邊結構比較復雜,可以在等號兩邊取正切值,這樣計算更為簡單),就能很快的建立等量關系,解得t＝2,則

如果采用這個解法,這個問題就可以看作是人教A 版必修第二冊50頁例10(如圖2所示,AB是底部B不可到達的一座建筑物,A為建筑物的最高點.設計一種測量建筑物高度AB的方法,并求出建筑物的高度)的一個改編題.教材中并沒有把解三角形作為一個單獨的章節,而是作為平面向量的應用,這也說明我們可以用向量的視角去審視問題,如解法6.

圖2

圖3

解得t＝2,則

解法提煉 “能夠在綜合的情境中,用數學的眼光找到合適的研究對象,提出有意義的數學問題”是?課標?對邏輯推理水平三的要求.從問題表征找到數量關系,培養從方法層面考慮問題,提升邏輯推理能力.

在日常解題中,既要重視通性通法,同時還要會從不同角度來思考問題,充分解讀數學學科知識,挖掘數學知識背后的思維,不斷提高自己的數學能力,以實現數學學科核心素養的提升.

(完)