從表征到深層理解 從思維到方法建構
——多視角破解幾何體體積問題

林永強 巨小鵬

(1.甘肅省天水市第一中學 2.四川師范大學實驗外國語學校)

本文對2021年全國乙卷文科第18題進行了多角度分析,并以此為契機對近幾年常考的幾何體體積問題進行了例析,從公式法、等體積法、分割法、補形法和向量法等幾個方面進行歸納總結,旨在提升學生數學學科素養.

1 試題引入

題目 (2021年全國乙卷文18)如圖1所示,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,M為BC的中點,且PB⊥AM.

圖1

(1)證明:平面PAM⊥平面PBD;

(2)若PD＝DC＝1,求四棱錐P-ABCD的體積.

2 解法探析

第(1)問要求證明平面PAM⊥平面PBD,比較簡單,本文著重分析第(2)問.

方法2 (平面直角坐標系視角)由(1)可知AM⊥DB,所以kAM?kBD＝－1.建 立 如 圖2 所 示的平面直角坐標系,設BC＝2a(a＞0).因為DC＝1,所以A(0,0),B(1,0),D(0,2a),M(1,a),從而

圖3

BC＝2.下同方法1.

求解本題的關鍵是求出矩形ABCD的邊長BC,方法1利用相似三角形求出矩形ABCD的邊長BC,從而求得該四棱錐的體積;方法2建立平面直角坐標系,利用直線垂直的條件得到矩形ABCD的邊長BC,從而求得該四棱錐的體積;方法3直接利用空間直角坐標系和空間向量垂直的坐標運算求得矩形ABCD的邊長BC;方法4利用空間向量轉化求得矩形的邊長BC,所有解法中方法3最為簡捷,可見空間向量法在解決立體幾何問題中的優越性;方法5直接利用四點向量定理結論得出BC的長度,此定理在解決線線角、線面角和二面角問題都有其優越性,但需要有足夠的知識儲備.

3 求體積問題方法歸納與剖析

例1 在三棱錐P-ABC中,PA＝a,AB＝AC＝2a,,求三棱錐P-ABC的體積.

方法1 (體積公式視角)如圖4所示,由題意可知P在平面ABC上的投影在∠BAC的角平分線AD上,記其為O,即OP為三棱錐P-ABC的高,在平面ABC內,過O作OE⊥AB于E,則AB⊥PE,即所以

圖4

圖5

圖6

本題考查三棱錐的幾何特征和體積,考查了問題分析求解能力.以往高考直接考查公式的試題居多,比如2021年全國甲卷第11題,全國Ⅱ卷第5題,2020年海南卷第13題,2018年全國Ⅰ卷第18題,天津卷文科第11題,2017年全國Ⅰ卷文科第18題,新高考Ⅱ卷文科第18題等.

方法2 (等體積視角)在△PAB中,根據余弦定理可 得PB＝ 3a,則,同理,可得,所以AP⊥平面PBC,則

若直接求體積不好求,則可以轉變角度利用等體積法求解.等體積法常用于解決點到平面的距離問題,是文科卷中常考查的方法.

通過分析題中幾何體的特征,方法3將三棱錐P-AMN分割成以a為棱長的正四面體,根據底面面積之比得出體積.方法4根據三棱錐幾何特征,將三棱錐平分,進而利用分割思想解決問題.

方法5 (補成正四面體視角)延長AP到Q使得AQ＝2a,連接QB,QC,則三棱錐Q-ABC是以2a為棱長的正四面體,所以Q到平面ABC的距離是P到平面ABC的距離的2倍,則

方法5相當于對方法3的一種優化處理,計算更加簡單.割補同屬于一種思想,分割是向內視角,補全是向外視角,但是大多數時候學生首先想到的是分割處理,向外的補全視角不易想到,為了強化此種意識,應將割補分為兩類進行歸納總結.

例2 (2018年江蘇卷10)如圖7所示,正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為_________.

圖7

由圖可知該多面體為兩個全等正四棱錐的組合體,正四棱錐的高為1,底面正方形的邊長等于2,所以所求多面體的體積為

解決此類問題的關鍵是準確理解幾何體的結構特征,可以判斷所求幾何體可以分割為兩個全等的四棱錐,因此考慮采用割補法求解.

例3 (2019 年全國Ⅰ卷理12)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上,PA＝PB＝PC,△ABC是邊長為2 的正三角形,E,F分別是PA,AB的 中 點,∠CEF＝90°,則 球O的 體 積 為( ).

方法1 如圖8所示,因 為PA＝PB＝PC,△ABC是 邊 長為2 的正三角形,所以P-ABC為 正 三 棱 錐,則PB⊥AC.又E,F分別為PA,AB的中點,所以EF//PB,故EF⊥AC,而EF⊥CE,CE∩AC＝C,所以EF⊥平面PAC,PB⊥平面PAC,則∠APB＝90°,因此PA＝PB＝PC＝2,結合勾股定理易知PA,PB,PC兩兩相互垂直,故P-ABC為正方體一部分,,故,所以選D.

圖8

方法2 如圖9所示,設PA＝PB＝PC＝2x,因為E,F分別為PA,AB的中點,所以EF//PB,且

圖9

本題考查學生的空間想象力,可通過線面垂直定理得到三棱兩兩相互垂直的關系,進而利用補全法解決問題.求體積問題并非只考查一種方法,有可能綜合考查公式法、等體積法以及割補法,需要綜合分析問題.常見的補全法有將正六邊形放在正方形中,將三棱柱補成平行六面體,三棱錐補成四棱錐、三棱柱或平行六面體,將圓錐放在圓柱中,從而利用整體和全局意識解決問題.

當然解決此類問題的方法遠不止于此,還有平移法、相似比法、祖暅原理法和積分法等.建構主義認為,學生學習從簡單階段出發,通過逐步滲透,創造出復雜規則或高級規則,目的是解決一個或一類實際問題,然后進入結構化階段,將離散的圖式變得連續起來,最后進入遷移階段,達到更為抽象的思維水平,呈現出豐富性、特殊性和發展性的特點.通過認知分析,找到合適的方法,甚至對比分析在不同的方法,進而形成解決此類問題的解題思維體系.

(完)