一道高考題的多維度視角與備考建議
——以2023年北京卷第16題為例

杜 璞

(新疆維吾爾自治區石河子市東方學校)

立體幾何是高中數學的重要組成部分,對于培養學生的空間想象能力和解決實際問題的能力具有重要意義.然而,立體幾何的概念抽象、邏輯推理復雜、計算煩瑣,很多學生在學習過程中感到困惑,解題時常常無從下手.因此,筆者結合2023 年北京卷第16題,研究立體幾何的多維度視角與備考策略.

1 題目分析

題目 (2023年北京卷16)如圖1所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平 面ABC,PA＝AB＝BC＝1,PC＝3.

圖1

圖2

(1) 求 證:BC⊥ 平面PAB;

(2)求二面角A-PC-B的大小.

分析 本題以“鱉臑”(由四個直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”)為背景,考查立體幾何的基礎知識,促進了新高考與新課程、新課標與新教材的協調聯動.問題設計深入淺出,設問層層遞進,形式靈活.第(1)問求解過程略,本文重點探究第(2)問.

2 多維度解答視角

2.1 空間向量法

向量法是指分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量,然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結合實際圖形判斷所求角是銳二面角還是鈍二面角.第(2)問結合第(1)問中的結論,建立空間直角坐標系,分別求得平面PAC與平面PBC的法向量,再利用空間向量夾角余弦的坐標表示即可得解.

解法1 由(1)可知BC⊥平面PAB,又AB?平面PAB,則BC⊥AB,以A為原點,AB為x軸,過A且與BC平行的直線為y軸,AP為z軸,建立空間直

設平面PAC的法向量為m＝(x1,y1,z1),則

2.2 定義法(平面角)

在二面角的棱上任取一點(通常都是取特殊點,如中點、端點),過該點在兩個半平面內分別作二面角棱的垂線,兩垂線所成的角就是二面角的平面角.

解法2 如圖3所示,過點B作BE⊥AC于E,連接PE,可 得BE⊥平 面PAC,BE⊥PC.在平面PAC中,過點E作EF⊥PC于F,連 接BF,由BE∩EF＝E,可得PC⊥平面BEF,則∠BFE即為二面角A-PC-B的平面角.

圖3

圖4

2.3 射影面積法(cosθ＝)

若涉及二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形的面積,則可以利用射影面積公式求出二面角的大小.本題通過確定點E(如圖5)為點B在平面PAC內的投影,進而求出△PCE的面積與△BCP的面積,然后利用公式求得結果.

圖5

解法4 如圖5所示,過點B作BE⊥AC于E,連接PE.因為PA⊥平 面ABC,且PA?平 面PAC,所以平面PAC⊥平面ABC.又平面PAC∩平面ABC＝AC,BE?平面ABC,所以BE⊥平面PAC,則點E為點B在平面PAC內的投影,故,△PCE的面積為,△BCP的面積為

3 備考建議

針對上述多維度視角解答,本文提出以下幾點備考建議.

1)加強基礎知識的學習

立體幾何是一門研究三維空間中形狀和體積的學科,它涉及許多平面幾何的相關知識和立體圖形的基本性質.為了更好地理解和解決立體幾何問題,我們需要深入掌握這些基礎知識.

2)注重練習和總結

通過練習來熟悉各種類型的題目是至關重要的.這不僅可以幫助學生鞏固所學知識,還可以讓學生在面對不同問題時更加游刃有余.然而,僅僅依靠練習是不夠的,在完成每一道題目后,學生還需要學會總結.這意味著要仔細分析自己在解題過程中遇到的問題和困難,找出其中的規律和不足.通過總結學生可以不斷優化自己的解題思路,提高解題的效率和質量.

3)培養空間想象能力

在求解立體幾何問題的過程中,空間想象能力的重要性不言而喻.這種能力不僅能夠幫助學生更好地理解和分析立體幾何問題,還能夠提高學生在實際生活中解決空間相關問題的能力.為了鍛煉和提高空間想象能力,學生可以采用多種方法和途徑.首先,畫圖是一種非常有效的方法,通過繪制立體幾何圖形的草圖,學生可以更直觀地了解各個部分之間的關系和位置,從而更好地理解立體幾何問題.此外,繪圖還可以幫助學生發現問題中的規律和特點,為解決問題提供線索.除了畫圖之外,建模也是一種培養空間想象能力的好方法.通過構建立體模型,可以將抽象的幾何概念具象化,更加清晰地看到各個部分之間的聯系和作用.建模不僅可以幫助我們更好地理解立體幾何問題,還可以培養我們的觀察能力和動手能力.

本文通過一道高考題的多維度解答視角,揭示了立體幾何在高考中的考查重點和難點,為考生提供了有針對性的備考建議.希望本文的研究能對廣大師生有所幫助.

(完)