探究一道平面截三棱錐的體積試題

黃嘉晟 李志勇

(廣東省佛山市順德區(qū)華僑中學(xué))

筆者參加了2023 年順德區(qū)高一年級的數(shù)學(xué)競賽,其中有一道試題以三棱錐為背景考查幾何體的體積問題,題目構(gòu)建了一個平面來截三棱錐,所截的幾何體是不規(guī)則圖形,常規(guī)解法是利用分割法求解.筆者在探究過程中發(fā)現(xiàn)還可利用質(zhì)點幾何學(xué)以及祖暅原理進(jìn)行求解,現(xiàn)將探究過程展示如下,以饗讀者.

1 試題呈現(xiàn)

題目 如圖1 所示,在四面體ABCD中,AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝2,AD＝3,E,F,G,H分別是線段AB,AC,CD,BD上的動點,且四邊形EFGH為平行四邊形.

圖1

(1)求四面體ABCD外接球的半徑;

分析 本題所考查的四面體為一個固定的四面體,所有的線面關(guān)系均確定.第(1)問可直接利用球的“垂徑定理”或建立空間直角坐標(biāo)系求解,解答過程較為簡單,答案為.本文主要分析第(2)問,平面EFGH將四面體分割成兩部分,而分割后的幾何體都不是規(guī)則圖形,沒有現(xiàn)成的公式可以使用.常見的解法是割補法,而如何割補就成為解題的關(guān)鍵.

2 解法呈現(xiàn)

準(zhǔn)備 題干主要從數(shù)量關(guān)系出發(fā),而在后續(xù)的解題過程中還要使用到線面間的位置關(guān)系,所以筆者在解題前先將其中所蘊含的位置關(guān)系整理如下,在后續(xù)的解題過程中可將其當(dāng)作已知條件進(jìn)行使用.

所提供的平面為平行四邊形,根據(jù)線面平行的判定、性質(zhì)和定理,可得EF//GH//BC,證明:因為四邊形EFGH為平行四邊形,所以EF//GH,且GH?平面BCD,EF?平面BCD,所以EF//平面BCD,又因為EF?平面ABC,平面ABC∩平面BCD＝BC,所以EF//BC.

同理,可得EH//FG//AD成立,則可得BC//平面EFGH,AD//平面EFGH.

再注意到△ABC與△DBC是邊長為2 的等邊三角形,如圖2 所示,設(shè)M為BC的中點,則AM＝DM＝3,再結(jié)合AD＝3,可得△ADM為等邊三角形,且有BC⊥AD.

圖2

證明 因為BC⊥AM,BC⊥DM,AM∩DM＝M,所以BC⊥平面ADM,又因為AD?平面ADM,所以BC⊥AD.

設(shè)N為AD的中點,因為△ADM為等邊三角形,所以MN⊥AD,且MN?平面ADM,所以BC⊥MN,即MN為兩異面直線BC與AD的公垂線,從而可得MN⊥平面EFGH.根據(jù)數(shù)量關(guān)系還可得

設(shè)MN∩平面EFGH＝T,則有

解法1 切割法及等價轉(zhuǎn)化法

如圖3所示,連接AH,AG,所求幾何體被分割為四棱錐A-EFGH和三棱錐A-DHG.

圖3

解法2 利用質(zhì)點幾何學(xué)求解

在質(zhì)點幾何學(xué)中,可通過點與點之間的運算來解決面積或體積問題,但要注意該原理僅適用于三棱錐.現(xiàn)以三棱錐A-DHG的體積運算為例,說明如何使用該方法.

記ADHG為三棱錐A-DHG的體積,根據(jù)定比分點的公式可得,則

根據(jù)乘法分配律得

其中ADBC表示三棱錐A-BCD的體積為,ADBD表示由A,D,B,D所構(gòu)成的“三棱錐”的體積,顯然可得其體積為0,同理可得ADCD＝ADDD＝0.

綜上,三棱錐A-DHG的體積為

對于四棱錐A-EFGH,可再次分割為兩個三棱錐進(jìn)行求解,如分割為A-EFH,A-EHG.反復(fù)應(yīng)用上述方法即可得四棱錐A-EFGH的體積為

該解法回避了等價轉(zhuǎn)化,直接利用定比分點獲得點之間的關(guān)系,再利用質(zhì)點幾何中乘法的性質(zhì)以及幾何意義即可進(jìn)行求解.與解法1相比,該解法運算量較小,而且思維含量也較低,能有效地提升解題效率.

解法3 利用祖暅原理轉(zhuǎn)化為定積分求解

四邊形EFGH的面積S＝EF?EH＝λ(1－λ)?BC?AD＝2 3λ(1－λ),在λ由0變化至1的過程中,四邊形EFGH的面積也隨λ的變化而變化.

當(dāng)λ由λ0變化至λ0＋Δλ(Δλ→0)時,四邊形EFGH的運動軌跡可近似地理解為一個“柱體”,該體積的“高”設(shè)為hλ0.

因為MN⊥平面EFGH,所以

由此可知此階段的體積為

3 模型推廣

反思上述問題,我們發(fā)現(xiàn)問題的核心在于兩異面直線BC,AD的長度、夾角以及直線間的距離.

不妨設(shè)BC＝m,AD＝n,兩條直線的夾角為θ,兩條直線間的距離為t.當(dāng)時,四邊形EHGF的面積為

當(dāng)λ由λ0變化至λ0＋Δλ(且Δλ→0)時,四邊形EFGH的運動軌跡可近似地理解為一個“柱體”,該體積的“高”設(shè)為hλ0,hλ0＝tΔλ.

基于上述一般模型,筆者探究了正四面體中的相關(guān)結(jié)論,并編制出如下變式供大家練習(xí).

變式 如圖4 所示,在正四面體ABCD中,AB＝2,E,F,G,H分別是線段AB,AC,CD,BD上的動點,且四邊形EFGH為平行四邊形.設(shè),當(dāng)時,求多面體ADEFGH的體積.

圖4

(完)