立體幾何因正方體而精彩

王紅妮

(山東省榮成市第二中學)

正方體是特殊的空間幾何體,有豐富多彩的性質,是高考考查學生空間想象能力的重要考點,既可以作為命題點直接考查,也可以作為解題的載體,即構造正方體,將其他線、面、角或幾何體置于其中,從而借助正方體直觀解決問題.

1 正方體是處理線、面、角關系的載體

正方體的六個面均為正方形,又稱正六面體,線面的平行、垂直或夾角等特殊關系在正方體中都有直接的體現,因此在判斷線、面的位置或角的大小時,可將題目中所涉及的幾何量置于正方體中,從而直觀展示這些關系.

例1 已知直線a和平面α,β,α∩β＝m,a?α,a?β,a在α,β內的射影分別為直線b和c,則b,c的位置關系是( ).

A.相交或平行 B.相交或異面

C.平行或異面 D.相交、平行或異面

將題目條件中所給的線、面置于正方體中,如圖1 所示.令平面ADD1A1為α,平面ABCD為β,則AD＝m.當B1C1＝a時,b//c;當A1B＝a時,b∩c＝A;當D1B＝a時,b,c異面,故選D.

圖1

2 正方體的性質是高考命題的常考考點

如圖2所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中有如下性質.

圖2

1)A1C⊥平面AB1D1,A1C與平面AB1D1的交點為A1C的三等分點,平面AB1D1與正方體的12條棱所成的角均相等;

2)在側面或底面正方形,如在正方形ABCD中(如圖3),E,F分別為棱AB,BC上的點,且AE＝BF,則DE⊥AF.

圖3

這些性質的證明較為容易,此處略.當然類似的性質還有很多,不再一一列舉,解題中如果能夠靈活應用這些性質,則可使問題順利獲解.

例2 如圖4 所示,在棱長為1 的正方體ABCDA1B1C1D1中,若 點E是 棱AB的 中 點,點M是 底 面ABCD內的動點,且滿足A1M⊥C1E,則線段AM的最小值為( ).

圖4

本題條件中給出A1M⊥C1E,其中M為動點,A1M為動線,C1E為定線.欲求AM的最小值,要先確定點M的軌跡.

定線C1E與動線A1M垂直,則動線A1M在與C1E垂直的平面內,進而構造該平面.如圖5 所示,設BC的中點為P,連接A1D,PD,CE,C1B.

圖5

由性質2)可知DP⊥CE,又CC1⊥DP,CC1∩CE＝C,所以DP⊥平面C1CE,所以DP⊥C1E.因為A1D⊥平面AD1C1B,C1E?平 面AD1C1B,所 以A1D⊥C1E.而A1D∩DP＝D,所以C1E⊥平面A1DP,因為A1M?平面A1DP,又M在底面ABCD內,所以M為線段DP上的點.當AM⊥DP時,AM取得最小值.再利用平面幾何知識易求得此時,故選B.

例3 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,平面α與正方體的所有棱所成的角均相等,則平面α截正方體所得截面面積的最大值為( ).

平面α與正方體的所有棱所成的角均相等,由性質1)可知平面α//平面A1BC1(如圖6),據此構造平面α截正方體的截面.如圖7所示,在D1C1上任取一點E,在平面A1B1C1D1內過點E作EF//A1C1交A1D1于點F;再過點F在平面ADD1A1內作FG//BC1交AA1于點G,采用同樣的方法得到六邊形EFGHIJ即為平面α截正方體所得截面的一種情況.

圖6

圖7

將正方體的側面ADD1A1與A1B1C1D1展開置于同一平面內,如圖8所示,根據正方體的對稱性可知E,F,G三點共線,且EF＋FG＝A1C1,進而可得六邊形EFGHIJ的周長為定值,故當EFGHIJ為正六邊形時面積最大,此時正六邊形的邊長為2,故面積為3 3,選C.

圖8

3 正方體是某些特殊幾何體的母體

某些特殊幾何體可以看成是由正方體切割得到的,如正四面體是由正方體去掉四個三棱錐得到的,因此在處理正四面體相關問題時,可將其還原到正方體中.

例4 已知棱長為2的正四面體P-ABC的頂點A,B分別在空間直角坐標系O-xyz中的x軸,y軸上移動,則|OP|的取值范圍是( ).

將正四面體PABC置于正方體中,如 圖9 所 示,因 為∠AOB＝90°,所以點O到AB中點的距離為1.由球的定義可知點O在以AB為直徑的球上,則|OP|即為球面上一點O與球外一點P的距離.由已知得球心為AB的中點,其到點P的距離為3,所以|OP|max＝3＋1,|OP|min＝3－1,所以|OP|的取值范圍是[3－1,3＋1],故選A.

圖9

例5 連接空間幾何體上的某兩點的直線,如果把該幾何體繞此直線旋轉角α(0°＜α＜360°),使該幾何體與自身重合,那么稱這條直線為該幾何體的旋轉軸.如圖10 所示,八面體的每一個面都是正三角形,并且四個頂點M,N,P,Q在同一平面內,則這個八面體的旋轉軸共有( ).

圖10

A.7條 B.9條 C.13條 D.14條

由題目條件可知該幾何體為正八面體.如圖11 所示,取正方體ABCD-A1B1C1D1各面的中心構造正八面體,結合正方體的性質可知相對的兩個頂點的連線,即MP,NQ,EF所在的直線為旋轉軸,共3條.

圖11

連接棱的中點,即ME與PF,NE與QF,PE與MF,QE與NF,MQ與NP,MN與PQ中點的連線所在直線均為旋轉軸,共6條.

連接各面的中心,即平面MNE與平面PQF,平面NPE與平面MQF,平面PQE與平面MNF,平面MQE與平面NPF中心的連線所在直線均為旋轉軸,共4條.

綜上,該幾何體的旋轉軸共有13條,故選C.

高考試卷中立體幾何試題中所涉及的幾何體,許多與正方體有關,我們除了要熟練正方體的相關性質外,還要有意識地以正方體為依托,建立其他線、面或角的大小,從而利用正方體的直觀性解題.

(完)