立體幾何探索性問題向量解法探析

劉正玉

(淮陰師范學(xué)院附屬中學(xué))

在近幾年高考中,立體幾何探索性問題是命題的熱點(diǎn),這類問題具有一定的開放性和探索性,旨在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).若用以往傳統(tǒng)的立體幾何的方法去求解,往往會(huì)“無功而返”,而用空間向量法能讓這類問題化難為易,迎刃而解.因此,學(xué)生遇到這類問題必須選準(zhǔn)方法.為此,本文通過幾個(gè)例子加以說明,供讀者參考.

1 探索與空間平行有關(guān)的問題

空間中的兩條直線平行,可以轉(zhuǎn)化為空間中的兩個(gè)向量平行,這時(shí)往往需要用到空間向量共線定理.

例1 如圖1所示,在四棱 錐P-ABCD中,平 面ABCD⊥平面PCD,底面ABCD為 梯 形,AB//CD,AD⊥DC,且AB＝1,AD＝DC＝DP＝2,∠PDC＝120°.若M是棱PA的中點(diǎn),則在棱BC上是否存在一點(diǎn)F,使得MF//PC?

圖1

在平面PCD內(nèi)過點(diǎn)D作DH⊥DC交PC于點(diǎn)H,因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面PCD,且平面ABCD∩平面PCD＝DC,DH?平面PCD,則DH⊥平面ABCD,又AD⊥DC,所以AD,CD,DH兩兩垂直.

以D為原點(diǎn),以DA,DC,DH所在的直線分別為x軸、y軸和z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖2所 示,由AB＝1,AD＝DC＝DP＝2,∠PDC＝120°,得D(0,0,0),P(0,－1,3),A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,2,0).設(shè)在BC上存在點(diǎn)F,使得MF//PC,設(shè)1]),因?yàn)镸是棱PA的中點(diǎn),所以

圖2

本例以D為原點(diǎn),以DA,DC,DH所在的直線分別為x軸、y軸和z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,假設(shè)在BC上存在點(diǎn)F,使得MF//PC,設(shè)),根 據(jù),列出方程組,即可得出結(jié)論.

2 探索與空間垂直有關(guān)的問題

空間中的多種垂直問題最終都可以轉(zhuǎn)化為這兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0.

例2 如圖3 所示,在三棱錐P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,D為棱AC的 中 點(diǎn),M為DP的中點(diǎn),N為棱PC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn),PA＝PC＝AB＝BC＝2,AB⊥BC.

圖3

圖4

(1)若點(diǎn)H在線段BD的延長線上,且DB＝DH,則在棱AP上是否存在點(diǎn)E,使得HE⊥BN?

(2)求平面BMN與平面ABC所成銳二面角的余弦值.

因?yàn)镻A＝PC,D為AC的中點(diǎn),所以PD⊥AC.同理可證BD⊥AC,因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC,PD?平面PAC,則PD⊥AC,平面PAC∩平面ABC＝AC,所以PD⊥平面ABC,則PD⊥AD,且PD⊥BD.以DA,DB,DP所在直線分別為x

本題屬于考查空間異面直線的垂線關(guān)系和二面角問題,解題關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,熟練掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

3 探索與空間角有關(guān)問題

空間角包括線線角、線面角和面面角,最終都可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)空間向量的夾角問題.

例3 如圖5所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,AA1＝AB＝AC＝1,AB⊥AC,M和N分別是CC1和BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在直線A1B1上,且A1P＝λA1B1.

圖5

(1)證明:無論λ取何值,總有AM⊥PN;

(2)是否存在點(diǎn)P,使得平面PMN與平面ABC所成的角為30°?

(1)由題意可得AA1⊥ 平 面ABC,AB⊥AC,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AC,AA1,AB所在直線分別為x軸、y軸、z軸 建 立 如 圖6所示的空間直角坐標(biāo)系,

圖6

取x＝2λ＋1,則y＝2－2λ,z＝3,所以平面PMN的一個(gè)法向量為n＝(2λ＋1,2－2λ,3),易知平面ABC的一個(gè)法向量為m＝(0,1,0),由題意可得

整理可得4λ2＋10λ＋13＝0,Δ＝102－4×4×13＜0,此方程無解,因此,不存在點(diǎn)P,使得平面PMN與平面ABC所成的角為30°.

第(1)問以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AC,AA1,AB所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,計(jì)算得出,即得出結(jié)論;第(2)問先計(jì)算出平面的一個(gè)法向量,再利用空間向量法把原問題轉(zhuǎn)化為考查方程的解的問題.

空間向量法是求解立體幾何問題的有效路徑.從以上幾例探索性問題可以看出,空間向量法的本質(zhì)就是幾何問題代數(shù)化,因此,這類問題不僅考查思維品質(zhì),更是考查了運(yùn)算能力,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要求.

(完)