關于初中二次函數面積最值問題的研究

廖金姐

【摘? 要】? 本文旨在深入研究有關二次函數面積最值問題的解題思路.以一道中考題為例，通過不同的方法來解答此類問題，以幫助讀者應對各種二次函數中的面積最值問題.

【關鍵詞】? 初中數學；二次函數；最值問題

例題? 如圖1，拋物線交軸于兩點.

（1）求拋物線的解析式.

（2）設（1）中拋物線交軸于點，問：對稱軸上是否存在一點，使的周長最小？若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由.

（3）如圖2，在第二象限內的拋物線上是否存在點，使的面積最大？若存在，求點坐標和最大面積；若沒有，說明理由.

解? （1）由拋物線過，

得，

解得

所以拋物線的解析式為.

（2）由已知得兩點關于拋物線對稱軸對稱，

所以直線與直線的交點為，此時的周長最小，

令，可得.

故，又，

所以.

故直線，

求得.

（3）方法1? 補形、割形法

分析? 把所求圖形進行適當的補或者割，轉化成可求面積的圖形，進而求出其面積.

解法1? 如圖3，

設點，

因為

，

又因為

，

當時，

所以

所以.

解法2? 如圖4，

設點，

，

當時，

所以.

方法2? 鉛錘定理：“鉛垂高，水平寬”面積法.

分析? 如圖5，面積=鉛錘高度×水平寬度÷2.

解? 如圖6，設點，

.

當時，

所以.

方法3? 切線法

解? 如圖7，直線：，

過作，設，

聯立：，

所以.

即.

因為，

得.

此時的高最大，

.

所以

總之，上述三種方法可幫助解決各種二次函數面積最值問題及其相關問題.這將有助于讀者更好地理解和應對二次函數中的面積最值問題，提高他們的數學問題解決能力.

【課題項目：南寧市教育科學研究所，南寧市教育科學“十四五”規劃2022年度課題“初中數學學科課程思政的研究與實踐”，課題編號：2022C460】

參考文獻：

[1]鄭振興.從競賽角度解二次函數圖象中三角形面積的最值問題[J].中學生數學（初中版），2019（10）：30-31.

[2]岑達康，汪志波.最佳平方逼近的多元二次函數最值問題[J].佛山科學技術學院學報（自然科學版），2020，38（06）：15-17.

[3]區慧英.芻議自主學習模式下初中數學分層教學的實施——以《二次函數中三角形面積最值的問題》為例[J].中國多媒體與網絡教學學報（下旬版），2019（07）：244-245.

[4]姜艷.二次函數圖像中最值問題的突破——以一道中考模擬壓軸題的演變為例[J].數學之友，2020（04）：80-81.