解三角函數(shù)最值問(wèn)題的不同策略分析

于飛

【摘? 要】? 三角函數(shù)最值問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)主要內(nèi)容的凝練，以填空或者選擇題形式較為常見(jiàn).求解三角函數(shù)最值問(wèn)題有對(duì)應(yīng)的策略，如利用函數(shù)的有界性、換元方法以及配方法對(duì)問(wèn)題做出解答，掌握這些解題策略有助于學(xué)生把握解題思路，提升解題效率.本文結(jié)合例題對(duì)不同解題策略進(jìn)行分析，具體介紹三種解答三角函數(shù)最值的方法與思路.

【關(guān)鍵詞】? 高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；最值問(wèn)題

1? 利用函數(shù)有界性求解

利用函數(shù)有界性這一解題策略，實(shí)質(zhì)上是指借助輔助角公式或恒等變換公式將問(wèn)題相關(guān)解析式轉(zhuǎn)化為類(lèi)型的解析式，在已知區(qū)間內(nèi)討論變形后三角函數(shù)的單調(diào)性，繼而得到最值大小.

解題思路為：①對(duì)問(wèn)題所求的解析式進(jìn)行分析，運(yùn)用輔助公式和三角變換恒等式將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為，②求出變形后的定義域區(qū)間，討論對(duì)應(yīng)單調(diào)性，③根據(jù)單調(diào)性求得最值，也等價(jià)于問(wèn)題所求最值.

例1? 已知函數(shù)試求出應(yīng)取何值時(shí)取最大值.

剖析? 首先對(duì)解析式進(jìn)行觀察與分析，可利用公式和將原函數(shù)解析式中所含角度一致，然后借助輔助角公式對(duì)其變形得到.由于未對(duì)定義域做出特殊規(guī)定，故對(duì)應(yīng)范圍求得知，在具體范圍內(nèi)討論的單調(diào)性，依照具體單調(diào)性即可推斷得到函數(shù)的最值大小.

解? 由題意可得，

，

因?yàn)椋?/p>

所以當(dāng)，

即時(shí)函數(shù)有最大值，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，.

2? 利用換元方法求解

求解三角函數(shù)的最值，也可利用換元法求解，解題關(guān)鍵在于引入變量對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行簡(jiǎn)化，使其轉(zhuǎn)化為更為熟悉的函數(shù)模型，再根據(jù)定義域求得最值.

運(yùn)用此解題策略求解三角函數(shù)最值的具體步驟為：①引入變量對(duì)問(wèn)題所求解析式進(jìn)行等價(jià)替換，常見(jiàn)的換元方式有，，用新變量表示解析式，②根據(jù)已知條件得到新變量的范圍，列出與函數(shù)相關(guān)的不等式或不等式組并解答，③所求的最值，等價(jià)于問(wèn)題所求原三角函數(shù)的最值大小.

例2? 已知函數(shù)，求函數(shù)的最大值.

剖析? 原函數(shù)解析式中包含有兩種三角函數(shù)形式，故可考慮運(yùn)用換元簡(jiǎn)化該解析式.考慮對(duì) 用變量替換，進(jìn)而用表示出原函數(shù)式，得到.求出的取值范圍，在相關(guān)范圍內(nèi)求一元二次函數(shù)的最值，即可得到的最值大小.

解析? 假設(shè)

聯(lián)系，

可得，

所以，，

當(dāng)，即，

.

3? 利用配方法求解

配方法求解三角函數(shù)最值問(wèn)題，也是常見(jiàn)的一種解題策略，主要對(duì)問(wèn)題所求解析式進(jìn)行配方，得到類(lèi)似的解析式，進(jìn)而在對(duì)應(yīng)范圍內(nèi)求出三角函數(shù)的最值.

具體的解題思路為：①對(duì)問(wèn)題有關(guān)解析式進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)進(jìn)行配湊，得到形式的解析式，②根據(jù)已知條件求出或的范圍，在對(duì)應(yīng)范圍內(nèi)求出一元二次函數(shù)的最值，③所求的最值大小，即為問(wèn)題所求三角函數(shù)的最值.

例3? 求函數(shù)的最大值.

剖析? 首先對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，運(yùn)用倍角公式得到，此時(shí)可對(duì)解析式進(jìn)行配湊，得到等價(jià)的函數(shù)解析式.由于問(wèn)題為對(duì)做出限定，故可知，在對(duì)應(yīng)范圍內(nèi)求解一元二次函數(shù)的最值，即可得到問(wèn)題所求的三角函數(shù)最值.

解析? 由二倍角公式化簡(jiǎn)可知

，

配方得，

因?yàn)?，

所以時(shí)，即 時(shí)，

有最大值，.

故函數(shù)的最大值為.

4? 結(jié)語(yǔ)

不同解題策略具有各自特點(diǎn)的解題思路，從上述例題的分析中不難得知這三種解題策略都要靈活運(yùn)用恒等變換公式、輔助角公式以及一些常見(jiàn)關(guān)系等式.熟悉并掌握這些不同解題策略，是學(xué)生要保證解題正確率的重要前提，也是拓展學(xué)生解題思路的重要內(nèi)容，應(yīng)得到一定程度的關(guān)注與重視.

參考文獻(xiàn)：

[1]陳永成.解三角函數(shù)最值問(wèn)題的不同方法[J].高等教》，2020（06）：90-91.

[2]張玉芳，王健.基于導(dǎo)數(shù)的三角函數(shù)極值問(wèn)題的解法[J].數(shù)學(xué)研究，2019，11（04）：77-83.

[3]譚建民，高曉兵.解三角函數(shù)最值問(wèn)題的不同策略分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，31（03）：274-280.