斜群環上的Gorenstein AC平坦模

摘 要：為研究在可分擴張下Gorenstein AC-平坦模在斜群環中的同調性質。在RσG?RσH是斜群環的可分擴張條件下，證明了限制函子和誘導函子保持模的FP∞-內射、level和Gorenstein AC-平坦等同調性質。若Gorenstein AC-平坦模類關于擴張封閉，斜群環RσG和RσH具有相等的弱Gorenstein AC 整體維數。

關鍵詞：斜群環；Gorenstein AC-平坦模；弱Gorenstein AC整體維數；可分擴張

中圖分類號：O154.2 文獻標識碼：A" 文章編號：1674-0033（2024）04-0029-05

引用格式：秦嶺.斜群環上的Gorenstein AC平坦模[J].商洛學院學報，2024，38（4）：29-33.

Gorenstein AC Flat Modules of Skew Group Rings

Qin Ling

（College of Mathematical Science， Chongqing Normal University， Shapingba" 401331， Chongqing）

Abstract： To investigate the homomorphism of Gorenstein AC-flat modulus in skew group rings under separable extension， it is proved that the restriction functor and induced functor keep the homomorphism of FP∞-injective， level and Gorenstein AC-flat modulus under the condition that RσG?RσH is the separable extension of the skew group rings; if the Gorenstein AC-flat modulus class is closed with respect to the extension， the skew group rings RσG and RσH have equal weak Gorenstein AC global dimensions.

Key words： skew group ring; Gorenstein AC-flat modules; weak Gorenstein AC global dimension; separable extension

Gorenstein同調代數的研究，可追溯到20世紀60年代Auslander等[1]關于交換局部諾特環上有限生成模的Gorenstein維數的研究。20世紀90年代，Enochs等[2-3]，在任意環上引入了Gorenstein投射、內射及Gorenstein平坦模的概念。在Gorenstein環上，人們得到了一系列重要成果，如任意模都有Gorenstein投射逼近，Gorenstein 投射模的穩定范疇和奇點范疇的三角等價等。為了將Gorenstein環上的Gorenstein同調理論推廣到更一般的環上，Bravo等[4-5]引入了FP∞-內射模，level-模及Gorenstein AC-投射、內射和Gorenstein AC-平坦模的概念。

模和環的同調性質在環擴張下的變化，是同調理論研究中的基本問題之一。文獻[6-8]對群環RG、斜群環RσG和系數環R的同調性質有深入研究。Xiang[9]研究了在斜群環中可分擴張保持Gorenstein-平坦模的同調性質，并且當斜群環RσG是RσH的可分擴張時，斜群環RσG和RσH具有相等的弱Gorenstein整體維數。Gubitosi等[10]研究了n-Gorenstein-模、n-cotorsion-模及有限n-presented-模，得到了在斜群環中可分擴張保持n-Gorenstein、n-cotorsion及有限n-presented等同調性質。

受以上研究的啟發，本文研究可分擴張下Gorenstein AC-平坦模在斜群環中的同調性質的變化，利用限制函子和誘導函子分別作用于斜群環RσG和RσH的Gorenstein AC-平坦模，把斜群環在可分擴張下，限制函子和誘導函子保持模的Gorenstein-平坦和斜群環的弱Gorenstein整體維數等同調性質推廣到Gorenstein AC-平坦模上。

1" 預備知識

定義1" "設R是交換環，G是一個群，且有群作用σ：G×R；記σ（g，r）為g（r）。令RσG=

a#g|a∈R，g∈G，對任意a#g、b#h ∈RσG，定義（a#g）（b#h）=ag（b）#gh，則RσG是環。稱RσG為斜群環，R為斜群環RσG的系數環。以下簡記a#g為ag。

設H是G的子群，則RσH是RσG的子環，可將RσG-模看作RσH-模。定義誘導函子（induction functor）為↑=RσG?[σ][R H] -：RσH-Mod→RσG-Mod。定義限制函子（restriction functor）為↓=RσG?[σ][R G] -：RσG-Mod→RσH-Mod。顯然，RσG-模是一個自由RσH-模。因此，誘導函子和限制函子都是正合的，并且保持模的投射性質。

定義2[4]" "設A是有單位元的結合環。

1）稱左A-模M是FP∞-型模，如果存在正合序列：

…→P2→P1→P0→M→0，

其中，Pi是有限生成投射左A-模。

2）稱左A-模N是FP∞-內射模，如果對任意FP∞-型A-模M，有Ext1 A（M，N）=0。

3）稱左A-模L是level-模，如果對任意FP∞-型右A-模M，有Tor1 A （M，L）=0。

定義3[5]" "稱左A-模M是Gorenstein AC-平坦模，如果存在平坦左A-模的正合復形：

F=…→F1→F0→F 0→F 1→…，

使得M=Ker（F0→F 0 ），并且對任意FP∞-型右A-模N，復形N?AF仍然是正合的。

定義4[11]" "設R是交換環，S是R的子環，稱R是S的可分擴張，如果自然的滿同態：

R?SR→R，（a?b ab）是可裂的。

定義5[12]" "設M是左A-模。定義M的Gorenstein AC-平坦維數為：

GAC-fd（AM）=inf｛n∈N|存在正合列0→Fn→…→F1→F0→M→0，其中，Fi是Gorenstein AC-平坦模｝。

若沒有這樣的n存在，則記GAC-fd（AM）=∞。

相應地，定義環A的弱Gorenstein AC 整體維數為：

GAC-wgldim（A）=sup｛GAC-fd（AM）|M ∈

A -Mod｝。

2" 可分擴張下的FP∞-內射和level-模

R均是交換環，G是有限群，H是G的子群。討論在誘導函子和限制函子作用下，斜群環RσG

和RσH上模的FP∞-內射、level及Gorenstein AC-平坦等性質的變化。

引理1" "設R是交換環，H是G的子群，V是RσH-模，M是RσG-模。

1）若V是FP∞-型RσH-模，則V↑是FP∞-型RσG-模。

2）若M是FP∞-型RσG-模，則M↓是FP∞-型RσH-模。

證明：1）設V是FP∞-型RσH-模。則有正合序列：

…→P2→P1→P0→V→0，

其中，Pi是有限生成投射左RσH-模。由于誘導函子保持模的有限生成和投射性質，并且是正合的，故有正合序列：

…→P2↑ →P1↑ →P0↑ →V↑ →0。

從而，V↑ 是FP∞-型RσH-模。

2）類似地，若M是FP∞-型RσG-模，可證M↓是FP∞-型RσH-模。

對任意RH-模V，記V的余誘導模（coinduced module）為V?=HomRH（RG，V）。在群環中，Eckmann-Shapiro引理[13]刻畫了限制模、誘導模和余誘導模之間的關系。而根據文獻[14]對任意RσH-模V，V↑ ?V?。因此在斜群環上，也可以得到Eckmann-Shapiro引理刻畫限制模和誘導模的關系。

引理2" "設R是交換環，H是G的子群，V是RσH-模，M是RσG-模。

1）Extn（V，M↓）?Extn（V↑ ，M）。

2）Extn（M↓，V）?Extn（M，V↑ ）。

證明：1）對任意RσH-模V，有V的投射分解：

P：…→P2→P1→P0→V→0，

其中，Pi是投射RσH-模。因為誘導函子是正合的且保持模的投射性質，因此

P↑： …→P2↑→P1 ↑→P0 ↑→V ↑→0，是V↑的投射分解，其中Pi↑是投射RσG-模。

因此

Extn（V，M↓）?Hn（HomRσH（P，M↓））?

Hn（HomRσG（P↑，M）?Extn（V↑，M）。

2）類似1）可證。

引理3[15]" "設R是交換環，H是G的子群，V是RσH-模，M是RσG-模。

1）V同構于V↑ ↓的直和項。

2）當RσG是RσH的可分擴張時，M同構于M↓↑ 的直和項。

命題1" "設R是交換環，H是G的子群。

1）若V是FP∞-內射RσH-模，則V↑ 是FP∞-內射RσG-模。

2）若M是FP∞-內射RσG-模，則M↓是FP∞-內射RσH-模。當RσG是RσH的可分擴張時，若M↓是FP∞-內射RσH-模，則M是FP∞-內射RσG-模。

證明：1）對任意FP∞-型RσG-模A，由引理1中的2）知，A↓是FP∞-型RσH-模。此外，由引理2中的2）知：

Ext1（A，V↑ ）?Ext1（A↓，V）=0。

從而，V↑ 是FP∞-內射RσG-模。

2）設F是任意FP∞-型RσH-模，由引理1中的1）知，F↑ 是FP∞-型RσG-模。若M是FP∞-內射RσG-模，則有

Ext1（F，M↓ ）?Ext1（F↑ ，M）=0。

所以，M↓ 是FP∞-內射RσH-模。

反之，因為RσG是RσH的可分擴張，對任意FP∞-型RσG-模F ′，根據引理3和文獻[16]可知，Ext1（F′，M）同構于Ext1（F′↓ ↑ ，M）的直和項。另一方面，因為F ′↓是FP∞-型RσH-模，M↓ 是FP∞-內射RσH-模，所以

Ext1（F ′↓" ↑ ，M）?Ext1（F ′↓" ，M↓ ）=0。

因此，Ext1（F′，M）=0。從而，M是FP∞-內射RσG-模。

關于FP∞-內射模和level-模，由文獻[4]有以下結論。

引理4" "對任意環R，模N是level-模當且僅當N +是FP∞-內射模，其中N +=[Hom]（N，/）。

命題2" "設R是交換環，H是G的子群。

1）若V是level RσH-模，

則V↑ 是level RσG -模。

2）若M是level RσH-模，則M↓是

level RσH-模。當 RσG是RσH的可分擴張時，反之，若M↓是level RσH-模，則M是level RσG-模。

證明：1）對任意右FP∞-型RσG-模A，由文獻[16]有

Tor1 [σ][R G]（A，V↑ ）?Tor1 [σ][R G]（A，RσG?[σ][R H]V）?Tor1 [σ][R H]（A?[σ][R G] RσG，V）=0。

故V↑ 是level RσG-模。

2）因為M是level RσG-模，M +是FP∞-內射RσG-模。由命題1中的2）可知，（M +）↓是FP∞-內射RσH-模。另一方面

（M +）↓?RG?[σ][R G][Hom]（M，/）?

Hom[σ][R G]（RσG，[Hom]（M，/））?

[Hom]（RσG?[σ][R G] M，/）?（M↓） +，

因此（M↓） +是FP∞-內射RσH-模。從而，由引理4可知，M↓是level RσH-模。

反之，因為RσG是RσH的可分擴張，M同構于M↓↑ 的直和項。而M↓是level RσH-模，由命題2中的1）可知，M↓↑ 是level RσG-模。從而，M是level RσG-模。

可分擴張的一些例子：

例1[9]" "設H是G的子群。如果指數[G：H]在R中是可逆的，則RσG是RσH的可分擴張。

例2" "稱環R是Azumaya 代數，如果它在其中心上是可分的。設C是RσG的中心，如果RσG是Azumaya 代數且C?R，則由文獻[7]可知RσG是R的可分擴張（R=RσH，H={1}）。

3" 可分擴張下Gorenstein AC-平坦模的性質

引理5" "設R是交換環，H是G的子群。若M是Gorenstein AC-平坦RσG-模，則M↓是Gorenstein AC-平坦RσH-模。

證明：因為M是Gorenstein AC-平坦RσG-模，則存在平坦RσG-模的正合復形：

F=…→F1→F0→F 0→F 1→…

使得M=Ker（F0→F 0），并且對任意FP∞-內射右RσG-模A，復形A?[σ][R G] F是正合的。根據限制函子的正合性和文獻[9]可知，

F↓=…→F1↓→F0↓→F 0↓→F 1↓→…

是平坦RσH-模的正合復形，且M↓=Ker（F0↓→F 0↓）。對任意FP∞-內射右RσH-模A′，有

A′ ?[σ][R H]F↓?A′ ?[σ][R H]（RσG?[σ][R G]F）?

（A′ ?[σ][R H]RσG）?[σ][R G]F?（A′ ↑ ）?[σ][R G] F。

由命題1中的1）可知，A′ ↑是FP∞-內射右RσG-模。故A′?[σ][R H]" F↓" 是正合復形，從而M↓是Gorenstein AC-平坦RσH-模。

定理1" "設R是交換環，H是G的子群，V是RσH-模。以下條件是等價的：

1）V是Gorenstein AC-平坦RσH-模。

2）V↑是Gorenstein AC-平坦RσG-模。

3）V↑↓是Gorenstein AC-平坦RσH-模。

證明：1）?2）因為V是Gorenstein AC-平坦RσH-模，則有平坦RσH-模的正合復形：

F=…→F1→F0→F 0→F 1→…，

使得V=Ker（F0→F 0），并且對任意FP∞-內射右RσH-模B，復形B?[σ][R H]" F是正合的。由誘導函子的正合性和文獻[9]可知，

F↑=…→F1↑→F0↑→F 0↑→F 1↑→…是平坦RσG-模的正合復形，且V↑=Ker（F0↑→F 0↑）。對任意FP∞-內射右RσG-模B′，有

B′?[σ][R G] F↑?B′?[σ][R G] （RσG?[σ][R H] F）?

（B′?[σ][R G] RσG）?[σ][R H] F?（B′↓）?[σ][R H] F。

由命題1中的2）可知，B′↓是FP∞-內射右RσH-模，故B′?RσG F↑是正合復形。從而，V↑ Gorenstein AC-平坦RσG-模。

2）?3）因為V↑是Gorenstein AC-平坦RσG-模，由引理5可知，V↑↓是Gorenstein AC-平坦RσH-模。

3）?1）由引理3即得。

推論1" "設R是交換環，H是G的子群。當RσG是RσH的可分擴張時，M是Gorenstein AC-平坦RσG-模，當且僅當M↓是Gorenstein AC-平坦RσH-模。

證明：必要性：由引理5可知，

充分性：因為RσG是RσH的可分擴張，可知M同構于M↓↑的直和項。由定理1可知，對Gorenstein AC-平坦RσH-模M↓，M↓↑是Gorenstein AC-平坦RσG-模。從而M是Gorenstein AC-平坦RσG-模。

假設Gorenstein AC-平坦模類關于擴張封閉。應用上述結果可以比較斜群環RσG和RσH的弱Gorenstein AC 整體維數。

定理2" "設R是交換環，H是G的子群，則有

1）GAC-wgldim（RσH）≤GAC-wgldim（RσG）。

2）當RσG是RσH的可分擴張時，

GAC-wgldim（RσH）=GAC-wgldim（RσG）。

證明：1）如果GAC-wgldim（RσH）=∞，這是顯然的。設有一個正整數n，使得GAC-wgldim（RσG）=n。對任意RσH-模V，有RσG-模正合序列：

0→Fn→…→F1→F0→V↑→0，

其中，Fi是Gorenstein AC-平坦RσG-模。由引理5和限制函子的正合性可知，

0→Fn↓→…→F1↓→F0↓→V↑↓→0是RσH-模的正合序列，其中，Fi↓是Gorenstein AC-平坦RσH-模，所以GAC-fd（V↑↓）≤n。因為V同構于V↑↓的直和項，所以GAC-fd（V）≤n。因此GAC-wgldim（RσH）≤GAC-wgldim（RσG）

成立。

2）設有一個正整數m，使得GAC-wgldim （RσH）=m。對任意RσG-模M，有RσH-模正合序列：

0→Fm→…→F1→F0→M↓→0，

其中，Fi是Gorenstein AC-平坦RσH-模。由定理1和誘導函子的正合性可知，

0→Fm↑→…→F1↑→F0↑→M↓↑→0是RσG-模正合序列，其中Fi↑是Gorenstein AC-平坦RσG-模。則GAC-fd（M↓↑）≤m。由于RσG是RσH的可分擴張，所以M同構于M↓↑的直和項，故GAC - fd（M）≤m。

因此，GAC-wgldim（RσG）≤GAC- wgldim（RσH）。

從而，GAC-wgldim（RσH）=GAC- wgldim（RσG）。4" 結語

本文研究了在可分擴張下Gorenstein AC-平坦模在斜群環中的同調性質。文獻[9-10]討論了可分擴張下Gorenstein-平坦模、n-Gorenstein-模及有限n-presented-模在斜群環中同調性質的變化。本文在此基礎上，利用限制函子和誘導函子證明了斜群環在可分擴張下保持模的FP∞-內射、level及Gorenstein AC-平坦等同調性質，并且如果Gorenstein AC-平坦模類關于擴張封閉，RσG是RσH的可分擴張時，斜群環RσG和RσH的弱Gorenstein AC整體維數是相等的。本研究結果拓展了Gorenstein AC-平坦模在斜群環中的研究。

參考文獻：

[1]" AUSLANDER M， BRIDGER M. Stable module theory[M].Providence： American Mathematical Society，1969：9.

[2]" ENOCHS E E， JENDA O M. On Gorenstein injective modules[J].Communications in Algebra，1993，21（10）：3489-3501.

[3]" ENOCHS E， JENDA O， TORRECILLAS B. Gorenstein flat modules[J].Nanjing Daxue Xuebao Shuxue（Bannian Kan），1993，10：1-9.

[4]" BRAVO D， GILLESPIE J， HOVEY M. The stable module category of a general ring[J].Mathematics，2014：1-38.

[5]" BRAVO D， ESTRADA S， IACOB A. FP n-injective， FP n-flat covers and preenvelopes， and Gorenstein AC-flat covers[J].Algebra Colloq，2018，25（2）：319-334.

[6]" AUSLANDER M. On regular group rings[J].Proceedings of the American Mathematical Society，1957，8（4）：658-664.

[7]" AIFARO R， SZETO G. Skew group rings which are Azumaya[J].Communications in Algebra，1995，23（6）：2255-2261.

[8]" CONNELL I G. On the group ring[J].Canadian Journal of Mathematics，1963，15：650-685.

[9]" XIANG Y. Homological dimensions of skew group rings[J].Algebra Colloquium，2020，27（2）：319-330.

[10] GUBITOSI V， PARRA R. Finiteness properties and homological dimensions of skew group rings[J].Journal of Algebra and Its Applications，2023：1-17.

[11] HIRATA K， SUGANO K. On semisimple extensions and separable extensions over non commutative rings[J].Journal of the Mathematical Society of Japan，1966，18（4）：360-373.

[12] 陳東，胡葵.覆蓋Gorenstein AC-平坦維數[J].廣西師范大學學報（自然科學版），2020，38（6）：51-55.

[13] BENSON D J. Representations and cohomology： Vol. 1[M].Cambridge： Cambridge Studies in Advanced Mathematics，1991：47.

[14] AUSLANDER M， REITEN I， SMALO S O. Representation theory of artin algebras[M].Cambridge： Cambridge University Press，1997：94.

[15] LI L. Homological dimensions of crossed products[J].Glasgow Mathematical Journal，2017，59（2）：401-420.

[16] ROTMAN J J. An introduction to homological algebra[M].New York： Springer，2009：199.