截?cái)唳臎_擊模型中一類多重積分的計(jì)算

摘 要：為了研究沖擊模型特別是截?cái)唳臎_擊模型的可靠性指標(biāo)，利用概率模型法、拉普拉斯變換法和直接累次積分法分別討論了來(lái)源于截?cái)唳臎_擊模型中一類常見(jiàn)的沖擊多重積分，得到了被積函數(shù)為此類型的多重積分在一般情形下的顯式表達(dá)式。此結(jié)果可直接運(yùn)用于多種類型的截?cái)唳臎_擊模型可靠性分析中，對(duì)截?cái)唳臎_擊模型的研究具有重要的作用。

關(guān)鍵詞：拉普拉斯變換；多重積分；截?cái)唳臎_擊模型

中圖分類號(hào)：O172.2" " "文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" " "文章編號(hào)：1674-0033（2024）04-0025-04

引用格式：馬嵐，馬明.截?cái)唳臎_擊模型中一類多重積分的計(jì)算[J].商洛學(xué)院學(xué)報(bào)，2024，38（4）：25-28.

Calculation of a Class of the Multiple Integral

in Censored δ-Shock Model

MA Lan， MA Ming

（School of Mathematics and Computer Science，Northwest Minzu University， Lanzhou" 730030， Gansu）

Abstract： In order to study the reliability index of the shock model especially the censored δ-shock shock model， probability model method， Laplace transform method and direct repeated integral method are used to discuss a common type of shock multiple integrals from censored δ-shock models， and the explicit calculation result of this type of multiple integrals of the integrand function is obtained in general cases. This result can be directly applied to the reliability analysis of many types of the censored δ-shock model， and has an important role in the research of the censored δ-shock models.

Key words： Laplace transform; multiple integral; censored δ-shock model

沖擊模型在可靠性數(shù)學(xué)理論的研究中具有重要的意義，它一般以交通、醫(yī)學(xué)、生產(chǎn)、金融、保險(xiǎn)等領(lǐng)域?yàn)楸尘埃芯侩S機(jī)環(huán)境中各種運(yùn)行系統(tǒng)在遭受持續(xù)的外部沖擊下系統(tǒng)的失效分布、壽命分布及維修更換策略等壽命指標(biāo)。而在此背景基礎(chǔ)下擴(kuò)展研究的截?cái)唳臎_擊模型則是一類由較長(zhǎng)的沖擊間隔引起系統(tǒng)失效的一類特殊的可靠性模型，即在一個(gè)遭受間歇沖擊的系統(tǒng)中，當(dāng)某次沖擊到達(dá)后，超過(guò)給定閾值δ長(zhǎng)的時(shí)間沒(méi)有沖擊還未到達(dá)，則系統(tǒng)失效[1]。對(duì)截?cái)唳臎_擊模型的研究具有一定的實(shí)際意義，例如，通過(guò)對(duì)實(shí)際生活中的可靠性現(xiàn)象進(jìn)行建模，能夠更加合理地進(jìn)行分析、規(guī)劃，故其在金融保險(xiǎn)、機(jī)器維護(hù)等方面具有普遍應(yīng)用。

近些年來(lái)，截?cái)唳臎_擊模型受到國(guó)內(nèi)外研究者的廣泛關(guān)注。例如，截?cái)唳臎_擊模型的研究主要側(cè)重于泊松截?cái)唳臎_擊模型、均勻截?cái)唳臎_擊模型和更新截?cái)唳臎_擊模型三類模型。關(guān)于泊松截?cái)唳臎_擊模型，文獻(xiàn)[1]在研究客戶關(guān)系管理時(shí)首先提出截?cái)唳臎_擊模型，研究了關(guān)于截?cái)唳臎_擊模型的可靠度、壽命分布等可靠性指標(biāo)。文獻(xiàn)[2]研究了沖擊按齊次泊松過(guò)程到達(dá)的連續(xù)型δ沖擊模型，得到了系統(tǒng)壽命的精確分布、矩和壽命分布類性質(zhì)。文獻(xiàn)[3]繼續(xù)將基礎(chǔ)的沖擊過(guò)程推廣到非齊次泊松過(guò)程，得到了在此沖擊強(qiáng)度影響下系統(tǒng)壽命的可靠度函數(shù)及其上界、壽命分布類等。文獻(xiàn)[4]推導(dǎo)了泊松截?cái)唳臎_擊模型的可靠度函數(shù)，得到了系統(tǒng)壽命的期望，并給出了該模型在客戶關(guān)系營(yíng)銷中的應(yīng)用。關(guān)于均勻截?cái)唳臎_擊模型，文獻(xiàn)[5]研究了均勻截?cái)唳臎_擊模型的可靠性指標(biāo)。文獻(xiàn)[6]研究了沖擊按照更新過(guò)程到達(dá)且時(shí)間間隔服從均勻分布的截?cái)唳臎_擊模型的系統(tǒng)壽命的分布函數(shù)。文獻(xiàn)[7]研究了當(dāng)兩次連續(xù)沖擊間到達(dá)時(shí)間服從均勻分布時(shí)截?cái)唳臎_擊模型的參數(shù)估計(jì)。關(guān)于更新截?cái)唳臎_擊模型，文獻(xiàn)[8]研究了格點(diǎn)更新離散開(kāi)型截?cái)唳臎_擊模型的一般可靠性指標(biāo)。文獻(xiàn)[9]研究了一種弱更新過(guò)程下截?cái)唳臎_擊模型，討論了沖擊間隔服從冪級(jí)數(shù)分布的截?cái)唳臎_擊模型，得到其系統(tǒng)的一些可靠性指標(biāo)。文獻(xiàn)[10]討論了更新間隔服從非負(fù)幾何分布離散開(kāi)型截?cái)唳臎_擊模型的壽命性質(zhì)。文獻(xiàn)[11]分別研究了沖擊時(shí)間間隔具有離散型分布和連續(xù)型分布的截?cái)唳臎_擊模型的可靠性指標(biāo)，給出了這兩類系統(tǒng)的壽命分布和矩。文獻(xiàn)[12]研究了外部沖擊按廣義Pólya過(guò)程到達(dá)的截?cái)唳臎_擊模型的一些可靠性指標(biāo)，包括可靠度函數(shù)、平均壽命、失效率及壽命分布等。

值得注意的是，在研究截?cái)唳臎_擊模型時(shí)常遇到如下形式的沖擊多重積分：

…dx1dx2…dxn（1）

這種形式的多重積分主要來(lái)源于截?cái)唳臎_擊模型的可靠性指標(biāo)的計(jì)算過(guò)程，在截?cái)唳臎_擊模型的可靠性分析中起著重要作用，但其結(jié)果不易直接得出。本文將利用概率模型法、拉普拉斯變換法和直接累次積分法分別討論這類沖擊多重積分式（1）的結(jié)果。

1" 預(yù)備知識(shí)

為了計(jì)算該多重積分的結(jié)果，首先給出以下引理，統(tǒng)一規(guī)定引理中的00=1，0

0=1。

引理1[13-14] 對(duì)?n=2，3，…，設(shè)隨機(jī)變量Xi，i=1，2，…，n相互獨(dú)立，都服從U（0，1）分布，則對(duì)?x∈（-∞，+∞），X1+X2+…+Xn的概率密度函數(shù)為：

[f （x）][X1+X2+…+Xn]=（-1）kn

k[+][（x-k）n-1]

（2）

其中，（x-k）+=max（x-k，0）。

引理2[15] 對(duì)?n=0，1，2，…及k=0，1，2，…，n，有

（-1）in

iik=" " "0，" "klt;n

（-1）nn！， k=n（3）

引理3[16] 對(duì)?n=1，2，…及i=1，2，…，n，有

n

i+ n

i-1=n+1

i（4）

2" 多重積分的解

對(duì)于截?cái)唳臎_擊模型中的一類沖擊多重積分式（1）有以下顯式計(jì)算結(jié)果表達(dá)式。

定理 對(duì)?t∈（-∞，+∞）及n=1，2，…，有

… dx1dx2…dxn=

（-1）kn

k[（t-k）n][+]（5）

其中，（t-k）+=max（t-k，0）。

證明：顯然，當(dāng)tgt;n時(shí)，式（5）等號(hào)左邊

…" dx1dx2…dxn=

…" dx1dx2…dxn=1，

此時(shí)，由引理2知，

（-1）kn

k[（t-k）n][+]=（-1）kn

k（t-k）" "n=n！，故式（5）等號(hào)右邊

（-1）kn

k[（t-k）n][+] =1，

所以tgt;n結(jié)論成立。此外，當(dāng)t≤0時(shí)，式（5）成立是顯然的，因此僅需要考慮0lt;tlt;n的情形。

分別運(yùn)用概率模型法、拉普拉斯變換法、直接累次積分法依次證明定理。

2.1 概率模型法

設(shè)整數(shù)n≥2，考慮n個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn的卷積分布。設(shè)[fX][i]（Xi）與[f ][X1+X2+…+Xn]（x1，x2，…，xn）分別是Xi與（X1，X2，…，Xn）的聯(lián)合概率密度函數(shù)，其中i=1，2，…，n，則

P（X1+X2+…+Xnlt;t）=

…" [f][X1，X2，…，Xn]（x1，x2，…，xn）dx1+dx2+…+dxn=

…" "[f][Xi]（xi）dx1dx2…dxn（6）

設(shè)X1，X2，…，Xn都服從區(qū)間（0，1）內(nèi)的均勻分布，即Xi～U（0，1），i=1，2，…，n，則Xi的概率密度函數(shù)為：

[f][Xi]（xi）=1， 0lt;xilt;1

0， 其它

故

[f][Xi]（xi）=1，0lt;xilt;1，i=1，2，…，n

0，其它（7）

則有

…" [f][Xi]（xi）dx1dx2…dxn=

…" dx1dx2…dxn（8）

將式（8）代入式（6）得：

P（X1+X2+…+Xnlt;t）=" "…" dx1dx2…dxn（9）

另一方面，注意到0lt;tlt;n，由引理1知，相互獨(dú)立且服從（0，1）均勻分布的隨機(jī)變量之和的分布函數(shù)為：

P（X1+X2+…+Xnlt;t）=[f ][X1+X2+…+Xn]（x）dx=

0+（-1）kn

k[+][（x-k）n-1]dx=

（-1）kn

k[（t-k）n][+] （10）

故由式（9）和式（10）得：

…" dx1dx2…dxn=

（-1）kn

k[（t-k）n][+]

此外，當(dāng)0lt;tlt;1時(shí)，

P（X1lt;t）=" "dx1=min1，t=t（11）

而當(dāng)n=1，0lt;tlt;1時(shí)，

（-1）kn

k[（t-k）n][+] = （-1）k1

k（t-k）+=

（-1）01

0（t-0）++（-1）11

1（t-1）+=t（12）

因此，由式（11）和式（12）可得：

dx1=（-1）kn

k [（t-k）n][+]，

即式（5）對(duì)n=1也成立。

證畢。

2.2 拉普拉斯變換法

當(dāng)n≥2時(shí)，分離變量xn，得：

…" dx1dx2…dxn=

dxn" " "…" dx1dx2…dxn-1（13）

為討論方便，對(duì)n=1，2，…以下記為：

gn（t）=" "…" dx1dx2…dxn（14）

則式（13）可寫為：

gn（t）=gn-1（t-x）dx（15）

記[gn（s）][～]或" " gn（t））為gn（t）的拉普拉斯變換，即

[gn（s）][～]=" gn（t）=e-tsgn（t）dt（16）

由gn（t）的定義可知，當(dāng)tlt;x時(shí)，gn-1（t-x）=0。因此，在式（16）兩端施行拉普拉斯變換，可得：

[gn（s）][～]=e-xs[gn-1（s）][～]dx=[gn-1（s）][～]e-xsdx=

[gn-1（s）][～]（1-e-s）（17）

將式（17）一直遞推下去，得：

[gn（s）][～]=[g1（s）][～]

（1-e-s）n-1（18）

另外，由式（14）可知，g1（t）=" "dx1=min1，t=

t-（t-1）+，所以可得g1（t）的拉普拉斯變換為：

[g1（s）][～]=-e-s=（1-e-s）（19）

將式（19）代入式（18），得：

[gn（s）][～]= （1-e-s）n（20）

為了計(jì)算[gn（s）][～]的拉普拉斯逆變換lt;＼＼SLB-G-YSC-1＼本地磁盤 （D）＼YL＼雜志＼商洛學(xué)院-學(xué)報(bào)＼2024年＼第4期＼圖＼L.TIFgt;-1[gn（s）][～]，將式（20）中的（1-e-s）n按二項(xiàng)式定理展開(kāi)可得：

[gn（s）][～]=n

k（-1）ke-ks（21）

因?yàn)閘t;＼＼SLB-G-YSC-1＼本地磁盤 （D）＼YL＼雜志＼商洛學(xué)院-學(xué)報(bào)＼2024年＼第4期＼圖＼L.TIFgt;[（t-k）n][+]=e-ks， 故

[gn（s）][～]=lt;＼＼SLB-G-YSC-1＼本地磁盤 （D）＼YL＼雜志＼商洛學(xué)院-學(xué)報(bào)＼2024年＼第4期＼圖＼L.TIFgt;

（-1）kn

k[（t-k）n][+]（22）

因此，根據(jù)拉普拉斯變換的唯一性可知：

gn（t）=lt;＼＼SLB-G-YSC-1＼本地磁盤 （D）＼YL＼雜志＼商洛學(xué)院-學(xué)報(bào)＼2024年＼第4期＼圖＼L.TIFgt;-1[gn（s）][～]=（-1）kn

k[（t-k）n][+]（23）

即

…dx1dx2…dxn=

（-1）kn

k[（t-k）n][+]

證畢。

2.3 直接累次積分法

仍記gn（t）=" … dx1dx2…dxn，現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸

納法證明定理。

首先，由式（11）和式（12）已證得當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立。

當(dāng)n≥2時(shí)，假設(shè)：

gn-1（t）=（-1）kn-1

k[（t-k）n-1][+]（24）

因?yàn)間n（t）=gn-1（t-x）dx，將式（24）代入得：

gn（t）=（-1）kn-1

k[（t-x）-kn-1][+]dx =

-（-1）kn-1

k[（t-1-k）n][+]-[（t-k）n][+]=

（-1）k+1n-1

k[+][t-（k+1）n]+

（-1）kn-1

k[（t-k）n][+]（25）

做變量替換k+1=i，則式（25）化為：

gn（t）=

（-1）in-1

i-1[（t-i）n][+]+

（-1）kn-1

k[（t-k）n][+]

（26）

再做變量替換i=k，則式（26）化為：

gn（t）=［（-1）kn-1

k-1[（t-k）n][+]+

（-1）kn-1

k[（t-k）n][+]］=

[tn][+] +（-1）n[（t-n）n][+]+

（-1）kn-1

k+n-1

k-1[（t-k）n][+]

（27）

由引理3可知，n-1

k+n-1

k-1=n

k，則式（27）中的

（-1）kn-1

k+n-1

k-1[（t-k）n][+]=（-1）kn

k[（t-k）n][+]

（28）

將式（28）代入式（27），可得：

gn（t）=[tn][+]+（-1）n[（t-n）n][+]+

（-1）kn

k[（t-k）n][+]=

（-1）kn

k[（t-k）n][+]（29）

因此，這意味著對(duì)gn（t）結(jié)論同樣成立。

綜上所述，結(jié)論成立，即

… dx1dx2…dxn=（-1）kn

k[（t-k）n][+]

證畢。

3" 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)與可靠性數(shù)學(xué)理論中壽命分布等可靠性指標(biāo)的計(jì)算密切相關(guān)的一類常見(jiàn)的沖擊多重積分使用不同方法進(jìn)行了討論，用概率模型法、拉普拉斯變換法、直接累次積分法三種方法直接推導(dǎo)出這類多重積分在一般情形下的顯式計(jì)算結(jié)果，所使用的方法對(duì)被積函數(shù)為此類型的多重積分的計(jì)算有一定的借鑒作用。此外，這一問(wèn)題的結(jié)果可直接用于截?cái)唳臎_擊模型壽命分布、平均壽命、矩等可靠性指標(biāo)的分析過(guò)程中，尤其是對(duì)應(yīng)用多重積分方法計(jì)算截?cái)唳臎_擊模型的系統(tǒng)可靠度函數(shù)和壽命分布類具有非常重要的作用和價(jià)值，這也將進(jìn)一步推動(dòng)截?cái)唳臎_擊模型的發(fā)展。

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