“抽象”函數 “實用”策略

摘" 要：高中數學試題中常常有一些沒有給出解析式的抽象函數，此類函數比較特殊，具有一定的抽象性和復雜性，需要學生能夠根據條件的特點靈活應對，化抽象為具體，通過函數的性質進行問題的分析和解決.本文對常見的抽象函數類型以及解題實用策略進行論述，以期更好地解決這類復雜、抽象的函數.

關鍵詞：抽象函數；實用策略；解題技巧

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）18-0010-03

收稿日期：2024-03-25

作者簡介：王發家（1971.12—），男，甘肅省張掖人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

抽象函數是高考試題和模擬試題中?？嫉囊活惡瘮?，由于其具有高度的抽象性，處理起來比較棘手.現對高中數學中涉及抽象函數的問題進行分析，通過具體的例子幫助學生更好地掌握有關抽象函數問題的解決方法，深刻理解其內在命題邏輯，提高學生解決此類問題的能力，并發展學生的數學核心素養.

1" 函數解題方法學習中的問題

1.1" 學生領悟存在障礙，導致解題方法固化

由于抽象函數有著較為突出的抽象性、復雜性特點，一些學生在學習抽象函數的過程中會出現諸多障礙，主要表現為對函數的概念表征理解不透徹、對抽象數學符號的理解不靈活、函數運算思維固化、解題方法單一.在這些障礙的束縛下，學生很難順利完成整個函數問題的解題過程.1.2" 教師注重知識輸出，忽略學生創新思維培養

抽象函數練習的

題目條件較為抽象，往往只給出函數記號和基本運算性質等，不會出現具體的解析式，需要以獨特的視角進行分析和解答.許多數學教師在教學中都注重知識輸出，教學手段單一，不重視引導和培養學生的創新思維，導致部分學生在學習函數問題時出現不會利用數形結合思想、不會建立數學模型、不會變通解題角度等問題，無法形成適合自己思維特征的解題方式，最終在面對復雜的函數題目時手足無措.

2" 抽象函數解題方法策略探究

對于抽象函數的教學，需要教師深入研讀新課程標準，培養學生的創新解題思維能力，改變一題一解的固定解題模式，教給學生實用解題策略，幫助學生另辟蹊徑，找到與自身邏輯推理能力、數形結合思維能力相匹配的解題思路和多元化的解題方法，達到精準得分和高效提分的效果；幫助學生完成多維度的解題方法探究和實踐，適應新高考模式下的數學學習.

2.1" 眼中有“數”，化抽象為具體

在面對兩個變量的抽象函數問題時，可以嘗試對變量進行賦值，從特殊到一般，靈活地運用“賦值”法解決復雜問題.

例1" 若對任意x，y∈R都有f（x）+f（y）=f（x+y）恒成立，且當xgt;0時，f（x）lt;0，f（-1）=2，則（" ）.

A.f（0）=0""""" B. f（2）=4

C.f（x）是奇函數D.f（x）在R上是增函數

分析" 抽象函數由于其解析式不確定，我們可以通過將變量賦成具體數字或代數式等來解決問題.

解答" 由條件聯想到正比例函數f（x）=kx（k≠0）滿足條件f（x）+f（y）=f（x+y），故可將f（x）設為f（x）=kx（k≠0），再結合xgt;0時，f（x）lt;0這一條件，可知klt;0，因此A，C正確，D錯誤；由f（-1）=2得k=-2，因此f（x）=-2x，故f（2）=-4，B錯誤.綜上，正確選項為AC.

2.2" 胸中有“義”，化抽象為本源

例2" 若例1的條件不變，結論變為：（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；（2）判斷并證明f（x）的單調性.

分析" 此題本質上是將例1的題型由選擇題改為了解答題，那么解題策略就要發生改變.證明函數的奇偶性與單調性就必須回歸到定義中了，這就要求我們做到胸中有“義”，回歸數學概念本身.

解答" （1）令x=y=0，可得f（0）+f（0）=f（0）f（0）=0，再令y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0

f（-x）=-f（x），由函數奇偶性的定義知f（x）為奇函數.

（2）任取x1，x2∈R，且設x1lt;x2，則f（x2-x1）lt;0，f（x2）=f［（x2-x1）+x1］=f（x2-x1）+f（x1）.

所以f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）lt;0，故f（x1）gt;f（x2）.∴f（x）在（-∞，+∞）上是單調遞減函數.

評注" 在證明的時候，要結合給定條件，做到心中有定義，通過恰當的等價“變形”，證明結論.證明奇偶性時，關鍵是找到f（-x）與f（x）的關系.在證明單調性時，主要利用“加零法”與“乘一法”，即將“x2”等價變形為“（x2-x1）+x1”，有時也將“x2”變形為“x2x1·x1”.

2.3" 腦中有“圖”，化抽象為直觀

抽象函數不等式類問題一般可以轉化為函數圖象問題，這樣就可以運用“作圖”法，直觀、簡單地解決這類抽象函數問題.

例3" （1）已知定義在R上的奇函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，且滿足f（3）=0，則不等式x·f（x）lt;0的解集是；

（2）已知f（x）是定義在R上的偶函數，且f（x）在（-∞，0］上是減函數，若f（12）=0，則不等式f（3x+1）gt;0的解集是.

解析" 要迅速求解抽象函數類不等式，關鍵在于作一個適合題意的函數圖象加以思考.

（1）注意到f（-3）=-f（3）=0，結合奇偶性和單調性可以畫出函數f（x）的草圖，如圖1所示.

若xgt;0，由x·f（x）lt;0可得f（x）lt;0，借助f（x）草圖可知0lt;xlt;3；

若xlt;0，由x·f（x）lt;0可得f（x）gt;0，借助f（x）草圖可知-3lt;xlt;0.

綜上所述，不等式x·f（x）lt;0的解集是（-3，0）∪（0，3）.

（2）注意到f（-12）=f（12）=0，從而可畫出一個適合題意的函數f（x）的草圖（如圖2所示）.觀察草圖易得f（x）gt;0xlt;-12或xgt;12，因此由f（3x+1）gt;0得3x+1lt;-12或3x+1gt;12，解得xlt;-12或xgt;-16.

由此，原不等式解集為（-∞，-12）∪（-16，+∞）.

評注" 遇到有關抽象函數問題，要有數形結合的思想、化抽象為直觀的意識.要想畫出較為準確的圖象，必須準確合理地借助已知條件，認真思考，同時不能忽視隱含條件.

2.4" 心中有“型”，化抽象為“抽象”

對于有些抽象函數問題，可以通過條件（或將其變形），確定函數“模型”，將其轉化為另一個抽象函數問題，進而使問題得到解決，這體現的就是數學建模思想.建模思想是高中數學問題解決的常用思想，在一些抽象函數問題的分析過程中，運用建模思想往往能夠巧妙地解決問題［1］.

例4" 已知定義域為R的函數f（x），其導函數為f ′（x），且滿足f ′（x）-2f（x）lt;0，f（0）=1，則（" ）.

A．e2f（-1）lt;1" B．f（1）gt;e2

C．f（2）gt;e4" D．f（2）lt;e2f（1）

分析" 由題設f ′（x）-2f（x）lt;0，f（0）=1和選項的結構，考慮構造函數g（x）=f（x）e2x.

解答" 設g（x）=f（x）e2x，則g′（x）=f ′（x）e2x-2f（x）e2xe4x=f ′（x）-2f（x）e2x，因f ′（x）-2f（x）lt;0，故得g′（x）lt;0，即g（x）在R上為減函數.

對于A項，因-1lt;0，則g（-1）gt;g（0），即f（-1）e-2gt;f（0）=1，即e2f（-1）gt;1，故A錯誤；

對于B項，因1gt;0，則g（1）lt;g（0），即f（1）e2lt;f（0）=1，即得f（1）lt;e2，故B錯誤；

對于C項，因2gt;0，則g（2）lt;g（0），即f（2）e4lt;f（0）=1，即得f（2）lt;e4，故C錯誤；

對于D項，因2gt;1，則g（2）lt;g（1），即f（2）e4lt;f（1）e2，即得f（2）lt;e2f（1），故D正確.

故選D.

評注" 本題解題思路就是要針對題設中不等式的結構特征（一般同時包含f（x），f ′（x）），結合選項特點探求構造的函數式，利用其單調性即可一一判斷選項正誤.

2.5" 口中有“質”，化具體為抽象

在函數問題中，有一類問題雖然給出了函數解析式，但由于函數較為復雜，不容易直接代入解決.因而和解決抽象函數的方法類似，需要借助函數的單調性、奇偶性等來解決問題，也就是口中要經常念叨函數的相關“性質”，把具體函數問題的解決方法與解決抽象函數問題的方法聯系起來.

例5" 已知函數f（x）=log2（x+x2+1）+1-22x+1，則對任意實數a，b，a+bgt;0是f（a）+f（b）gt;0的（" ）.

A．充分必要條件" B．充分不必要條件

C．必要不充分條件D．不充分且不必要條件

分析" 判斷函數f（x）=log2（x+x2+1）+1-22x+1的單調性和奇偶性，繼而判斷“對任意實數a，b，a+bgt;0”和f（a）+f（b）gt;0之間的邏輯關系，即得答案.

解答" 由于y=x+x2+1，y=1-22x+1在R上單調遞增，且f（x）=log2（x+x2+1）+1-22x+1的定義域為R，則f（x）在R上單調遞增，

又f（-x）=log2（x2+1-x）+1-22-x+1=log21x2+1+x+1-2×2x2x+1

=-log2（x2+1+x）-1+22x+1=-f（x），即f（x）為奇函數，

對任意實數a，b，a+bgt;0，即agt;-b，可得f（a）gt;f（-b）=-f（b），∴f（a）+f（b）gt;0；

反之，f（a）+f（b）gt;0時，可得f（a）gt;-f（b）=f（-b），則agt;-b，即a+bgt;0，

故對任意實數a，b，a+bgt;0是f（a）+f（b）gt;0的充分必要條件，故選A.

3" 結束語高中數學教師需要引導學生關注自我數學抽象思維能力素養的發展，通過多樣化的理性思維訓練活動提升抽象思維能力，從而讓學生掌握多元化的數學解題思路，引導學生習得更適合自己的創新型解題方法.參考文獻：［1］

黃小良.高中數學抽象函數解題策略探究［J］.高考，2021（14）：152-153.

［責任編輯：李" 璟］