新課標下高中數學教學中對學生創新思維能力的培養策略

摘 要：新高考強調思維創新、解題創新，高中教學引導學生的創新能力是關鍵.在江蘇省新課改的關鍵期，《中國高考評價體系》指出，素質教育的突出特征之一是創新性.新課標對創新能力的要求體現在了題目新穎度.本文以高三數學模擬例題為背景，從不同角度進行總結分析，歸納類比以及課堂反思三個方面論述，以達到培養學生的創新能力的目的.

關鍵詞：創新；歸納；類比

史寧中教授指出：“創新能力依賴于三個方面，即知識的掌握、思維的訓練、經驗的積累，三個方面同等重要.”［1］培養學生的數學創新能力是一個復雜的系統工程，高三學生有兩年的高中數學學習基礎，但有時對于一張試卷簡單的題目并沒有我們想象中那樣可以很好地拿到分數，較難的題目也沒有我們想象中那樣拿分較低，這是身處教學一線老師經常遇到且需要反思的.在大型模擬聯考中，數學題目幾乎都是全新的，學生都沒有被訓練過，大家都在同一條起跑線上，在保證出題公平公正的情況下，才能真正體現出考試的評價，數學的核心素養.要想讓學生將新題做起來得心應手，創新能力的培養至關重要.

1 歸納—總結，奠定創新思維基礎

例1 （2021年八省聯考高考數學適應性試卷·17）已知各項都為正數的數列{an}滿足an+2=2an+1+3an.

（1）證明：數列{an+an+1}為等比數列.

（2）若a1=12，a2=32，求數列{an}的通項公式.

分析：這道題是我們熟悉的由遞推關系求數列的通項，學生一般很少會去訓練三階遞推關系式.本題第二問對遞推結構的要求更高，常規做法中由第一問的結論學生不易想到將an+an+1=2·3n-1轉化為an=-an+1+2·3n-1進行構造.通常思路會去整合an+an+1=2·3n-1，

an+1+an+2=2·3n. 兩式相減，得到an+2-an=4·3n-1.訓練中學生做到過奇偶求和題型，但在此做起來反而把問題復雜化了.對于考試試卷的第一道解答題來說，采用奇偶求通項也是對考生能力的考驗.本題目的講解我們要立足于學生的思考，把形如an+1=pan+q與an+1=pan+qn的基本遞推關系式歸納到位，尤其是“p=-1”等的情況.歸納能力建立在實踐的基礎上的，更多地依賴于經驗的積累.通過本題，①以小專題形式講解，全面做知識方法梳理，把形如an+1=pan+q；an+1=pan+qn；an+1=pa2n；an+1=panqan+r（其中p，q，r為常數）等的遞推關系求通項一一列舉講解，嚴謹邏輯思維，并豐富知識圖示.②深向歸納，使得知識升華，此題也可以引入特征方程an+2=2an+1+3an，轉變成方程x2=2x+3，解得x=-1或x=3.介紹特征方程通項an=A·（-1）n+B·3n，代入得A=0，B=16，所以an=3n-12. 當然本題也可以用數學歸納法（略），奇偶并項求和法，如an+an+1=2·3n-1，an+1+an+2=2·3n.兩式相減得an+2-an=4·3n-1.

例3 （2021年新高考Ⅰ·16）某校學生在研究民間剪紙藝術時，發現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規格為20dm×12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規格的圖形，它們的面積之和S1=240dm2，對折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2，以此類推.則對折4次共可以得到不同規格圖形的種數為____；如果對折n次，那么nk=1Sk=____dm2.

對于折紙問題，不同的研究角度就會有不同的研究方向，為幫助學生對得到題干信息數字化處理，進行了如圖2

的樹狀圖.幫助學生聯想出二項式中學到的楊輝三角形，其中有一個規律是第n行數字之和為2n-1.這樣就幫助我們很好地分析出每折疊一次的面積之和構成等比數列，進而可以推算出對折k次共有k+1種規格，且面積為2402k，故Sk=240（k+1）2k，所以nk=1Sk=2403-n+32n.

雖然是一道多選題，但對于本題的考查基本只是停留在二項式上，對于三項式接觸較多的是三項展開式中特定項的考查，一般從二項式展開兩次或者組合的形式進行解題，但對于三項展開式的性質卻知道甚少.本題以多項式為背景，但不常規的在于用之前的方法很少提出三項展開系數的性質.根本原因是二項展開式的知識梳理雖然熟練，但很少去類比講述三項式展開的性質，三項式的性質略偏，又難以理解.

3 反思—設計，凝造學生思維課堂

要培養學生的創新能力，必須讓學生經歷知識產生，探究歸納規律，并學著類比遷移同類題目的過程. 教師在日常教學中可以嘗試與學生一起探索、思考，鼓勵多發表獨立見解. 所以，凝造課堂教學設計顯得尤為重要.

課堂給足學生“悟”的時間，學之道在于“悟”.數學學習的本身就需要有悟的過程，這是一個自我思考、自我反思、自我總結的過程.數學教學的目的是讓學生掌握數學知識的同時學會數學的思考［3］，在將所學知識嵌入已有知識結構中并獨立思考后產生頓悟，進而培養其思維能力，提升認知力，概念教學、公式教學尤其如此. 解決問題不是目的，從解決問題過程中學會獨立思考，才是最重要的收獲.

培養學生的解題創新能力是一個復雜的系統工程，高三學生已經有兩年數學學習基礎，具備“四基”和“四能”，高三需要以數學學科素養為導向，做到創新教育，尊重學生的主體地位，真正把課堂還給學生，構建一片有利于學生的創新天地.

參考文獻

［1］殷玉波. 高三數學教學中培養學生創新能力的思考［J］.中學數學教學參考， 2021（1）：21-25.

［2］毛妍，谷峰. 三項展開式的性質及應用［J］. 杭州師范大學學報（自然科學版）， 2014，13（3）：262-267.

［3］竺寶林，杜明明. 數學課堂應重視并突出數學研究的歷程——以“等差數列的前n項和（第1課時）”教學片段為例［J］.中學數學教學參考， 2021（1）：30-32.