構造基本圖形 突破中考壓軸題

摘 要：相似三角形和全等三角形是非常重要的概念，構造相似三角形和全等三角形是解決線段長度問題常用的幾何方法，解析法是解決線段長度問題常用的代數方法，相似三角形的性質、全等三角形的性質、勾股定理是解決這類問題的基本工具.本文給出了一道與正方形有關中考試題的多種解法，并給出其三個變式.通過構造相似三角形、全等三角形等基本模型解題，由此培養學生分析問題和解決問題的能力，提升其數學核心素養.

關鍵詞：構造；基本圖形；解法探究；變式

與正方形、矩形、菱形、等腰三角形有關的幾何計算問題是歷年中考的熱點問題，這類問題形式多樣，解法靈活，具有一定的選拔性功能，對學生而言具有一定的難度.本文從不同角度出發，對2023年天津市中考數學第17題解法進行探究，并給出其變式，供讀者參考.

1 試題呈現

如圖1，在邊長為3的正方形ABCD的外側，作等腰三角形ADE，EA=ED=52.

（1）△ADE的面積為____.

（2）若F為BE的中點，連接AF并延長，與CD相交于點G，則AG的長為____.

2 試題分析

本題是一道以正方形、等腰三角形為基本圖形的線段長度計算問題.根據已知條件，四邊形ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD=3.△ADE是等腰三角形，AD為底邊，EA和ED為腰.根據等腰三角形“三線合一”性質及勾股定理易知，等腰△ADE底邊AD上的高為522-322=2.顯然，△ADE的面積為12×3×2=3.由勾股定理易求得BE=322+52=1092，所以BF=EF=1094.根據圖形結構特征，點G到正方形ABCD的頂點C或D的距離是未知量，故無法直接利用勾股定理求得線段AG的長度.基于此，需根據圖形結構特征，通過添加適當的輔助線，構造相似三角形或全等三角形，然后利用其性質架起已知條件與所求結論之間關系的橋梁，從而為問題解決創造便利條件.顯然，本題需借助基本圖形的性質求線段CG或DG的長度，然后利用勾股定理即可求得線段AG的長度.因此，本題主要考查全等三角形、相似三角形、正方形、直角三角形、等腰三角形等基本圖形的性質，其涉及的知識點多、綜合性較強，是填空題中的壓軸題，對學生而言具有一定挑戰性.

筆者通過構造基本圖形探究問題（2）的解法，供讀者參考.

3 解法探究

由等腰三角形“三線合一”的性質易知，AH=12AD=32，所以EH=522-322=2，所以EM=5.在Rt△BEM中，由勾股定理，得BE=322+52=1092，EF=12EB=1094.易知△ENH∽△EBM，所以NH=EHEM·BM=35，所以EN=EH2+NH2=1095，從而FN=EF-EN=10920.易知△FIN∽△EHN，所以FIEH=FNEN=INNH=14，所以FI=12，NI=320，因為AN=AH-NH=910，所以AI=34.易知△AFI∽△AGD，所以FIDG=AIAD=14，所以DG=4FI=2.在Rt△ADG中，由勾股定理，得AG=AD2+DG2=13.

評注：根據圖形特征，線段AG在Rt△ADG中，只需求得線段DG的長即可.為此，構造△AFI，借助相似三角形的性質求線段DG的長.問題轉化為求線段AI和線段FI的長，由此易想到構造△ENH.

解法2

如圖3，取線段AD的中點H，連接EH.過點F作FM⊥CD于點M.過點E作CD的垂線，交CD的延長線于點N.由等腰三角形“三線合一”性質易知，EH⊥AD.

易知四邊形BCNE是直角梯形，FM是其中位線，所以FM=12（BC+EN）=94.由△GMF∽△GDA，得GMGD=FMAD=34，所以GM=3DM.令DM=x，則GM=3x，CG=3-4x.又易知EH=2，由CM=MN，得3-x=2+x，所以x=12.由此可知，GM=32，DG=2.在Rt△ADG中，由勾股定理，得AG=AD2+DG2=13.

評注：通過構造“A”型相似三角形求得線段GM與線段DM之間的數量關系，然后借助CM=MN列方程求得線段DG的長.與解法1相比，這種解法求解過程簡捷明了，計算量較小，不足之處是需要用到梯形的中位線的性質.

解法3

如圖4，取線段AD的中點H，連接EH.過點F作FI⊥AD于點I，FI的延長線交AE于點M.由等腰三角形“三線合一”性質易知，EH⊥AD.

因為F是BE的中點，易知FM=12AB=32.易知EH=2，所以IM=12EH=1.從而可知，FI=FM-IM=12，AI=12AH=34.易知△AFI∽△AGD，所以FIDG=AIAD，所以DG=2.在Rt△ADG中，由勾股定理，得AG=AD2+DG2=13.

評注：根據圖形結構特征，F是BE的中點，易想到通過構造三角形的中位線求有關線段的長.顯然，FM是△ABE的中位線，IM是△AEH的中位線.最后借助“A”型相似三角形的性質求得線段DG的長，從而使問題解決.與前兩種解法相比，這種解法更簡捷，涉及的知識點都是課程標準規定的基礎內容，是學生必須掌握的知識.

由以上三種解法可以看出，構造相似三角形是求解與線段長度有關幾何問題的通用方法，具有普適性.相似三角形的性質、勾股定理是解決這類問題的基本工具.

思路2 構造全等三角形

因為F是BE的中點，所以BF=EF.易知AB∥EM，所以∠ABE=∠MEB，∠BAF=∠EMF，所以△ABF≌△MEF，所以EM=AB=3.又易知EH=2，所以MH=EM-EH=1.由此可知DG=2MH=2.在Rt△ADG中，由勾股定理，得AG=AD2+DG2=13.

評注：根據圖形特征，F是BE的中點，可考慮構造全等三角形，利用全等三角形的性質求解.從涉及的知識可以看出，這種解法主要用到了正方形、平行線、全等三角形等性質，通俗易懂，計算量小，是一種非常美妙的解法.

易知C（0，0），A（3，3），B（0，3），E5，32，D（3，0），F52，94.易知直線AG的表達式為y=32x-32.令y=0，則32x-32=0，解得x=1，即G（1，0）.由此可知，CG=1，所以DG=2.在Rt△ADG中，由勾股定理，得AG=AD2+DG2=13.

評注：根據圖形特征，四邊形ABCD是正方形，△ADE是等腰三角形，故可考慮利用解析法求解.解析法是解決與正方形、矩形、菱形、梯形、等腰三角形等幾何圖形有關的線段長度計算問題的代數方法，利用這種方法解決幾何問題的關鍵是，根據幾何圖形的結構特征，建立適當的平面直角坐標系，以方便求出某些關鍵點的坐標或某些關鍵直線的解析式，從而實現幾何問題代數化，利用代數方法解決幾何問題.

4 變式探究

變式1 如圖7，在邊長為3的正方形ABCD的外側，作等腰三角形ADE，EA=ED=52.若F為CE的中點，連接AF并延長，與CD相交于點G，求AG的長.

變式2 如圖8，在邊長為3的正方形ABCD的內側，作等腰三角形ADE，EA=ED=52.若F為BE的中點，連接AF并延長，與BC相交于點G，求AG的長.

限于篇幅，解法從略，請讀者自行探究.

5 結束語

由以上解法可以看出，解決幾何問題的關鍵是根據圖形結構特征，架起已知條件與所求結論之間關系的橋梁.一般情況下，這種關系較為隱蔽.通常需要根據圖形結構特征構造基本圖形，從而完成“橋梁”的架設，然后借助基本圖形的性質完成從已知條件到所求結論的推理過程.除此之外，還可以借助解析法，實現幾何問題代數化，利用代數方法建構已知條件與所求結論之間的關系橋梁，從而使問題解決.通過“一題多解”，可以培養學生分析問題和解決問題的能力，提升學生的數學核心素養.