隱性直線型路徑問題的解法探究

摘" 要：2019年貴陽市中考題中有一道題隱性路徑問題，涉及的知識點多，綜合性強，屬于直線型路徑問題，試題有一定的難度.文章重點分析該題解題思路，并給出該題的六種解法，以期對讀者提供破解隱性直線型路徑問題的思路與方法.

關鍵詞：矩形；隱性路徑；直線型路徑；旋轉；相似；解法探究

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）17-0002-03

收稿日期：2024-03-15

作者簡介：張成林（1981.3—），男，甘肅省武都人，本科，中小學一級教師，從事數學教學研究.

隱性路徑包括直線型路徑與圓弧型路徑.隱性路徑問題是歷年中考的熱點，倍受命題者的青睞.這類問題通常考查勾股定理、線段垂直平分線的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、圖形的旋轉變換以及平面直角坐標系等［1］，其綜合性較強，具有一定的選拔性功能，對學生而言具有一定的難度.筆者以2019年貴陽市的一道中考題為例，對這類問題的解題思路進行分析，并給出六種不同的解法，供讀者參考.

1" 試題呈現

（2019年貴陽市中考數學第15題）如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，∠DCA=30°，F是對角線AC上的一個動點，連接DF，以DF為斜邊作∠DFE=30°的直角三角形DEF，使點E和點A位于DF兩側，點F從點A到點C的運動過程中，點E的運動路徑長是.

2" 思路分析

思路1" 如圖2（a）， 要化動為靜，“主動點”是點F，點E是因點F運動而運動，不妨稱之為“從動點”.先確定“從動點”E運動的起點E1和終點E3，再選取運動過程中若干個特殊點（這里選點F運動到AC中點F2位置）對應的 “從動點”為E2，畫出這三個時刻的狀態圖，猜想點E的運動路徑是什么圖形，然后簡單證明猜想.如圖2（b），E1是點F與A重合時的對應點，是一個定點，點E在運動過程中與定線段DE1的夾角不變，即∠DE1En=∠DAFn=60°.再根據相關計算公式計算出路徑的長，如圖2（c）所示.

思路2" 如圖3，分別過點F，E作y軸、x軸的平行線相交于G，交y軸于H.易得△FGE∽△EHD，OC所在的直線解析式為y=33x.設點Fm，33m，E（x，y），OD=433，則HE=x，EG=m-x，GF=y-33m，HD=y-433，根據△FGE∽△EHD，列出方程，消去m，即可得出點E運動的函數關系式， 據此可以判斷點E的運動路徑是一條線段.

思路3" 問題中，不變的量有：D是定點，∠FDE=60°，∠DFE=30°， 點F的運動路徑為線段AC，△FDE的形狀保持不變（大小在變）.如圖4（a）， 延長DE到點E′，使得DE=EE′，通過觀察這些點的位置可以發現，它們在一條直線上.從圖4中可以直觀地看出點F繞點D逆時針旋轉60°后各個時刻的情況.圖4（b）中是△FDE在運動過程中各個時刻的具體情況，在運動過程中E和E′的連線始終過點D，知E和E′的運動路徑之間滿足以點D為位似中心的位似關系［2］，位似比k=EDE′D=EDDF=cos60°=12.如圖4（c），點E′的運動路徑為線段AC繞點D逆時針旋轉60°所得；點E的運動路徑是點E′的運動路徑以點D為位似中心，以位似比k=EDE′D縮放形成.所以點E的運動路徑等于點F的運動路徑的一半，所以點E運動的路徑長為833×12=433.

3" 解法探究

解法1" 如圖5，將△ADF繞點D逆時針旋轉60°得△A′DF′，則△ADF≌△A′DF′，則∠DAF=∠DA′F′=60°，∠ADA′=60°.因為DA=DA′，所以△ADA′是等邊三角形，所以∠DA′A=60°，所以點A′在AC上.又因為∠A′DC=∠DCA′=30°，所以A′D=A′C=AA′，所以A′是AC的中點.因為A′為定點，∠DA′F′=60°為定角，所以點F在線段l上運動，且始終滿足AF=A′F′，即點F運動的路徑長等于點F′運動的路徑長.因為DE=12DF=12DF′，即點E運動的路徑長是點F′運動路徑長的一半，所以點E的運動路徑長是12×4÷32=433.

解法2" 如圖6，當點F與點A重合時，點E在點E1處，當點F與點C重合時，點E在點E2處，在線段AC上除A，C外任取一點Fn，點E在點En處.連接E1E2.因為DEnDFn=DE1DA=cos60°=12，∠EnDE1+∠E1DFn=∠ADFn+∠E1DFn=60°，所以∠EnDE1=∠ADFn，所以△EnDE1∽△FnDA，所以∠DE1En=∠DAC=60°.因為DE1是定直線，∠DE1En=60°是定角，所以點E運動的路徑是定線段E1E2.因為AB=4，∠DCA=30°，所以AD=BC=433.由旋轉的性質可知∠E1DE2=∠ADC=90°，所以DE2∥AE1.又因為∠DE1E2=60°，∠E1DA=90°-30°=60°，所以AD∥E1E2，所以四邊形AE1E2D為平行四邊形，所以E1E2=AD=433.

解法3" 如圖7，分別過點F，E作y軸、x軸的平行線相交于G，交y軸于H.因為tan∠COB=tan30°=33，所以OC所在直線的解析式為y=33x.設Fm，33m，E（x，y），OD=433， 則HE=x，EG=m-x，GF=y-33m，HD=y-433.因為∠EHD=∠EGF=∠DEF=90°，所以∠HDE+∠HED=∠HED+∠GEF=90°，所以∠HDE=∠GEF，所以△FGE∽△EHD，所以GFHE=GEDH=EFED=3.從而可得y-3m/3x=3，且m-xy-43/3=3，消去m，得x=1，所以點E到y軸距離恒為1，即點E運動的路徑是一條線段.仿照解法2，可以求出運動的路徑長為433.

解法4" 如圖8，過點E作EG⊥AD于點G，過D作DH⊥AC于點H.因為EG//CD，所以∠CDE=∠DEG.因為∠CDE+∠FDA=30°，∠HDF+∠FDA=30°，所以∠CDE=∠HDF，所以∠DEG=∠HDF.又因為∠DGE=∠FHD=90°，所以△DEG∽△FDH，所以GEDH=DEDF=12，所以GE=12DH=14DC=1.因為點E到直線AD的距離為定值，所以點E在一條平行于AD的直線上運動.仿照解法2，可以求出運動的路徑長為433.

解法5" 如圖9，取DF的中點G，在Rt△DEF中，因為∠DFE=30°，所以DE=DG=GF=12DF.因為∠GDE=60°為定值，因此點F在線段AC上運動過程中，點G和點E運動狀態相同，運動路徑長度相等.當點F在點A位置時，點G為AD中點，因此點G運動的路徑是△ACD的中位線，所以點E運動的路徑長是12AC=12×4÷32=433.

解法6" 由題意知，D是一定點，∠FDE=60°，所以點E可以看成動點F以點D為位似中心，位似比是12，再繞點D逆時針旋轉60°得到的一個圖形.所以點E的運動路徑與點F的路徑形狀相同，長度是它的一半，點F的路徑長度是833的線段，所以點E的路徑長是AC長度的一半，故點E運動的路徑長為433.

4" 結束語

判斷動點運動路徑為直線型（直線、射線、線段）的方法一般有三種，一是動點與定直線距離不變時，動點的路徑是直線（平行線間的距離處處相等）；二是動點與一定點（定點可在定直線上或直線外）連線與定直線所成的角度不變時，動點的路徑是直線（角平分線和線段垂直平分線都可以看作這種情況）；三是用函數知識探索點的運動路徑.建立適當的平面直角坐標系，求出動點坐標所滿足的函數關系式.若動點路徑對應的函數解析式為一次函數，則可判斷動點運動路徑是直線型的［3］.對于圓弧型路徑問題，一般要先確定圓弧所在圓的圓心和半徑，再利用圓心角與圓周角之間關系、三角函數等知識點來解決問題.

參考文獻：［1］ 呂小兵.幾何變換巧解隱性路徑問題［J］.中學生數學，2014（2）：45-46.

［2］ 魯仁偉.例析如何再現動點的“隱路徑”［J］.數理化解題研究，2017（29）：2-3.

［3］ 曾志勇.聚焦操作推理 引導素養培育：福建省2021年中考數學第22題的研究與思考［J］.數學之友，2021（5）：75-79.

［責任編輯：李" 璟］