流動介質中板狀結構輻射聲功率研究

摘要：由對流波動方程和歐拉方程，本文推導了流動介質中區分傳播波和倏逝波的輻射橢圓方程及板狀結構輻射聲功率計算公式。基于該公式，通過提取輻射橢圓內的傳播波波數對應的表面法向振速波數域頻譜，可實現流動介質中板狀結構輻射聲功率的計算。基于輻射橢圓方程，明確了介質流動對板狀結構輻射聲功率產生影響的機理。最后，以簡支板為對象，通過數值仿真對比了不同流速下的輻射聲功率，結果表明了考慮介質流動影響的必要性及其對聲功率的影響規律。

關鍵詞：聲功率；流動介質；輻射橢圓；波數域

中圖分類號：TB532 文獻標志碼：A 文章編號：1001-2443（2024）03-0224-06

板狀結構在工程實際中應用十分廣泛，是各類建筑外飾面和交通工具殼體的重要組成部分，也是這些結構輻射噪聲的主要貢獻來源［1-3］。因此，多年以來，國內外學者持續對板狀結構的聲輻射問題進行深入研究。Williams等［5-7］采用FFT實現了基于Rayleigh積分的板結構聲輻射計算，并引入級數展開，推導了板結構輻射聲功率。Leppington［8-9］推導了簡支板的聲輻射效率準確公式，并針對不同的波數區域給出了漸近表達式，之后又研究了約束性邊界條件下板的聲輻射問題，將相關理論拓展到更加實際的工況。通過引入彈性常數等效邊界條件，Berry等［10］推導了任意邊界條件下的矩形板聲輻射計算公式。Snyder等［11］采用類似文獻［6］的級數展開方法，建立了通過模態輻射效率計算輻射聲功率的方法。Li等［12］推導了簡支板模態自輻射和互輻射阻抗計算方法，并通過坐標變換提升了計算效率。Atalla等［13］采用邊界積分方程計算輻射聲場，并結合板的振動模態，建立了無障板和一般彈性邊界條件下的矩形板聲輻射計算方法。Oppenheimer［14］給出了低于臨界頻率的聲輻射效率近似公式，并通過實驗進行了驗證。Laulagnet［15］采用雙層勢積分計算聲場，建立了無障板條件下的矩形簡支板的聲輻射計算方法，基于該方法進一步分析了障板對聲輻射的影響。Xie等［16］基于遠場聲強和模態疊加深入分析了點激勵矩形板的聲輻射效率問題，并提出了平均輻射效率的概念。Davy［17］研究了聲波激勵下的平板強迫振動聲輻射問題，并給出了簡潔的解析近似公式。Putra等［18］詳細總結了前述研究，并探討了有障板和無障板等情況下的聲輻射效率計算公式的適用范圍和局限性。

在國內，朱理等［19］分析了一般邊界條件下矩形薄板的振動聲輻射特性，其中結構聲輻射采用的離散數值方法計算得到。朱擁勇等［20］對比了簡支矩形板在空氣與水中的聲功率和輻射效率等聲輻射特性。劉寶等［21-22］采用混合層勢代替雙層勢，建立了無障薄板的聲輻射計算方法，并分析了板厚對無障薄板聲輻射特性的影響以及障板對平板聲輻射特性的影響。

由上述研究現狀可以看到，經過多年的研究，板狀結構的聲輻射問題的理論研究已經取得了較大的進展，而且除了上述理論研究外，還逐漸發展了用于板狀結構聲輻射分析的有限元、邊界元和統計能量分析等數值計算方法。但是，不管是在解析方法，還是在數值計算方法的研究中，對與板狀結構相互作用的聲傳播介質的流動的影響均涉及較少。但在實際中，很多板狀結構卻正是處于流動的聲傳播介質中，如氣流中的建筑外飾面，運動中的汽車、高鐵和飛行中的飛機等。針對該問題，本文建立了包含聲傳播介質流動影響的板狀結構輻射聲功率計算方法，并通過數值仿真分析了介質流動對板狀結構輻射聲功率的影響。

1 理論

板狀結構的聲輻射分析既可以在空間域中直接進行，也可以在變換后的波數域中進行。兩個分析域各有特點，其中空間域更直觀，但當介質流動時，存在Doppler效應，波數域雖然需進行空間Fourier變換，但可直接分離Doppler效應的影響。因此，本文從波數域的角度分析板狀結構的聲輻射。

1.1 靜止介質中的板狀結構輻射聲功率

假設一板狀結構的表面法向振速分布是 [ux，y]，根據Rayleigh積分，該結構在半空間中的輻射聲壓為

[px，y=-iρω2π∞-∞ux′，y′eikrrdx'dy']" " （1）

式中，[r=x-x'2+y-y'2]，[ρ]是流體密度，[ω]是角頻率，[k=ωc]是聲波波數，[c]為流體中的聲速。

定義空間Fourier變換及其反變換分別為

[Fkx，ky=-∞fx，ye-ikxxe-ikyydxdy ][fx，y=14π2∞-∞Fkx，kyeikxxeikyydkxdky]

對式（1）進行空間Fourier變換，可得

[Pkx，ky=ρckkzUkx，ky]" （2）

式中，[Pkx，ky]和[Ukx，ky]分別為聲壓和表面振速的空間Fourier變換，[kx]和[ky]分別為[x]和[y]方向對應的波數分量，

[kz=k2-k2x-k2y=k2-k2x-k2y" " k2x+k2y≤k2ik2x+k2y-k2" " k2x+k2ygt;k2]" （3）

式（3）中，[kz=0]是傳播波（propagating waves）和倏逝波（evanescent waves）的分界線。由[kz=0]定義的是[kx，ky]平面上的一個圓，也被稱為輻射圓，圓內的波數對應的是傳播波，圓外的波數對應的是倏逝波，倏逝波隨傳播距離增加迅速衰減。

獲得板狀結構表面聲壓后，通過對結構輻射面上所有點的聲壓和表面法向振速的乘積進行積分，并將聲壓和表面法向振速的變換結果代入其中，得到平面聲源的輻射聲功率為

[Π=12Re∞-∞pu*dxdy" "=12Re∞-∞[14π2-∞Pkx，kyeikxxeikyydkxdky]×14π2∞-∞U*k'x，k'ye-ik'xxe-ik'yydk'xdk'ydxdy" "=132π4Re∞-∞∞-∞∞-∞Pkx，kyU*k'x，k'y×eikx-k'xxeiky-k'yydkxdkydk'xdk'ydxdy" "=132π4Re∞-∞∞-∞Pkx，kyU*k'x，k'ydkxdkydk'xdk'y×∞-∞eikx-k'xxeiky-k'yydxdy" "=18π2Re∞-∞∞-∞Pkx，kyU*k'x，k'yδkx-k'x×δky-k'ydkxdkydk'xdk'y]

[" " " =18π2Re∞-∞Pkx，kyU*kx，kydkxdky]" （4）

式中，[Re]表示復數的實部，[*]表示復數的共軛。

將式（2）代入式（4）中，可得

[Π=18π2Re∞-∞ρckkzUkx，kyU*kx，kydkxdky" "=ρck8π2Re∞-∞1kzUkx，ky2dkxdky" "=ρck8π2∞-∞Re1kzUkx，ky2dkxdky]" " " " " " " " （5）

因為只有在輻射圓內部，[kz]才有實部，且為純實數，也就是只有傳播波才對聲輻射有貢獻，因此式（5）可以進一步化簡為

[Π=ρck8π2ScUkx，ky2kzdkxdky]" " " （6）

式中，積分區域[Sc]表示輻射圓內部區域。

1.2 流動介質中的板狀結構輻射聲功率

當板狀結構處于流動的介質環境中時，包含對流效應的波動方程為

[?2p][x，y，z，t-1c2??t+V??2px，y，z，t=0] （7）

式中，[?2=?2?x2+?2?y2+?2?z2]，[?=??x，??y，??z]

假設流體介質沿著[x]方向流動，流動速度為[V]，那么上式可化簡為

[?2px，y，z，t-1c2??t+V??x2px，y，z，t=0] （8）

將式（8）中的平方項展開，得到

[?2px，y，z，t-1c2?2?t2+2V??t?x+V2?2?x2px，y，z，t=0] （9）

假設聲壓時間簡諧，則式（9）可轉化為

[?2px，y，z，ω+1c2ω2+2iωV??x-V2?2?x2px，y，z，ω=0] （10）

進一步整理式（10）可得

[?2px，y，z，ω+k2+2ikM??x-M2?2?x2px，y，z，ω=0]" （11）

式中，[M=Vc]為馬赫數。

對式（11）做三維空間Fourier變換，可得

[-k2x-k2y-k2z+k2-2kMkx+M2k2x=0]" （12）

根據式（12），可得

[k2z=k2-1-M2k2x-2kMkx-k2y]" " （13）

同樣令[kz=0]，可得包含流動效應后傳播波和倏逝波的分界線方程

[1-M2k2x+2kMkx+k2y=k2]" " " " "（14）

式（14）化簡后，可得

[kx+kM1-M22a2+k2yb2=1]" " " " （15）

式中，[a=k1-M2]，[b=k1-M2]。由式（15）可以看出，此時的傳播波和倏逝波的分界線變為橢圓，定義為輻射橢圓。

包含介質流動效應后，歐拉方程變為

[ρ??t+V??xux，y，z，t=-?px，y，z，t?z]" （16）

假設聲場簡諧，并對式（16）中[x]和[z]做空間Fourier變換，可得

[ρ-iω+iVkxUkx，ky=-ikzPkx，ky]" （17）

通過式（17）進一步得到聲壓譜[Pkx，ky]為

[Pkx，ky=1-MkxkρckkzUkx，ky]" " "（18）

將式（18）代入公式（4），可得包含介質流動效應的板狀結構輻射聲功率為

[Π=ρck8π2∞-∞Re1kz1-MkxkUkx，ky2dkxdky] （19）

同樣考慮到輻射橢圓之外的倏逝波對聲功率沒有貢獻，聲功率可進一步簡化為

[Π=ρck8π2Se（1-Mkxk）Ukx，ky2kzdkxdky] （20）

式中，積分區域[Se]表示輻射橢圓內部區域。

2 介質流動對聲功率的影響分析

2.1 影響機理分析

波數變換本質是將聲場分解為平面波的疊加，而輻射圓又將平面波分為兩類：位于輻射圓內的傳播波和位于輻射圓外的倏逝波。根據前面的推導可知，只有傳播波才對聲功率存在貢獻。考慮介質流動后，輻射圓變為輻射橢圓。圖1所示是頻率為1000 Hz時，輻射圓和輻射橢圓的對比，其中介質流動速度分別為30 m/s、65 m/s、100 m/s，對應的馬赫數分別為0.087、0.189、0.291。從圖中可以看到，隨著介質流動速度的增加，輻射橢圓中心逐漸向負[kx]的方向偏移，其長軸和短軸均大于輻射圓的半徑，且[ky]軸是長軸。由于上述變化，輻射橢圓所覆蓋的波數與輻射圓產生了差別，也就是對聲功率產生貢獻的平面波波數產生了變化。但是，同樣可以發現，當介質流動較小時，輻射圓和輻射橢圓比較接近，因此介質流動對聲功率的影響較小。但當介質流動速度較大時，輻射圓和輻射橢圓存在明顯的差別，此時介質流動對聲功率的影響不可忽略。上述分析揭示了介質流動對板狀結構輻射聲功率產生影響的機理。

但需要強調的是，輻射橢圓所起作用是選擇對聲功率有貢獻的波數，但是由式（20）可知，最終的聲功率數值與這些波數對應的表面法向振速波數域譜[Ukx，ky]直接相關。在不同頻率下，由于結構的模態分布影響，其表面法向振速分布是不同的，因此介質流動對板狀結構輻射聲功率的影響與頻率相關。

2.2 輻射聲功率對比分析

以四邊簡支薄板為例來分析介質流動對其輻射聲功率的影響。薄板的邊長為1 m×1 m，厚度為0.005 m，密度為7850 kg/m3，楊氏模量為2.06×1011 Pa，泊松比為0.3。流體介質為空氣，密度為1.29 kg/m3，聲速為343 m/s。設激勵點位于薄板的中心位置，激勵動載荷幅值為1 N。首先通過模態疊加法，計算獲得薄板表面均勻分布的51×51點的法向振速。

在計算聲功率的過程中，首先采用二維FFT算法將法向振速變換到波數域，然后提取輻射圓內或輻射橢圓內的波數點及對應的法向振速波數域譜，分別代入式（6）和式（20）可以計算得到介質靜止和流動兩種情況下的輻射聲功率。

在不同介質流速下，在100-2000Hz頻段內，計算得到的聲功率級結果如圖2-圖4所示，其中計算聲功率級時的參考值為10-12 W。從圖2可以看到，當流速為30 m/s時，在900 Hz以下的低頻段，介質流動對聲功率的影響較小，隨著頻率增加介質流動的影響逐漸顯現，在有些頻率處（如1700 Hz）可達6 dB。隨著流速增加至65 m/s，介質流動對聲功率的影響增強，從300 Hz處即開始體現出較明顯的變化，而且隨著頻率增加，這種變化進一步增強。在1300 Hz等模態頻率處，聲功率級的變化達到了約10 dB。當介質流速增加至100 m/s后，在大部分頻率處，均產生了非常明顯的影響，且影響值總體較高。

綜合圖2-圖4的結果可知：隨著流速增加，介質流動對聲功率級的影響增強；介質流動通常會導致聲功率級數值的增加，而不是減小；隨著頻率增加，在總體趨勢上，介質流動對聲功率級的影響增強，但由于聲功率與板狀結構的表面法向振速分布（也就是模態貢獻）和輻射橢圓有關，因此在有些頻率處，介質流動的影響較小；即使當流速較小時（如30 m/s），在有些頻率處，聲功率級仍有6 dB的變化，因此介質流動對聲功率級的影響不可忽略。

3 結論

本文從波數域的角度首先給出了靜止介質中板狀結構輻射聲功率的計算公式，然后由對流波動方程和歐拉公式入手，引入介質流動的影響，推導得到了區分傳播波和倏逝波的輻射橢圓方程，并在此基礎上進一步推導得到了流動介質中板狀結構輻射聲功率計算公式。

基于推導得到的輻射橢圓方程，明確了介質流動對聲功率產生影響的機理在于：相比于靜止介質中的輻射圓，流動介質中的輻射橢圓所覆蓋的波數產生差別，也就是對聲功率產生貢獻的平面波波數產生變化。

基于推導得到的聲功率計算公式，對比了簡支板在不同介質流速下的輻射聲功率，結果表明：隨著流速增加和頻率增加，介質流動對聲功率級的影響增強，聲功率數值增大；即使當流速較小時，在有些頻率處，介質流動對聲功率級的影響也不可忽略。

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Study on Sound Power Radiated by Planar Structures in Moving Media

WANG Wen-jing 1，ZHANG Yong-bin 2

（1. Tongling Polytechnic，Tongling 244061，China；2. Institute of Sound and Vibration Research， Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

Abstract： Based on the convective wave equation and Euler equation，this paper derives the radiation ellipse for distinguishing propagating waves and evanescent waves，as well as the formula for calculating the radiation sound power of planar structures in moving media. Based on this formula，the calculation of radiated sound power from planar structures in moving media can be achieved by extracting the wavenumber domain spectrum of surface normal velocity within the radiation ellipse. Based on the radiation ellipse equation，the mechanism of the influence of moving medium on the radiated sound power of planar structures is clarified. Finally，taking a simply supported plate as the object，the radiated sound power under different moving velocities is compared through numerical simulation. The results show the necessity of considering the influence of moving medium and its impact on sound power.

Key words： sound power; moving media; radiation ellipse; wave number domain

（責任編輯：馬乃玉）