帶有私人和表達觀念的觀念動力學(xué)模型分析

摘要：研究了一類帶有私人觀念和表達觀念的觀念動力學(xué)模型的動力學(xué)特征。利用矩陣分析的相關(guān)理論，得到了系統(tǒng)收斂的若干結(jié)果。研究表明，當(dāng)社會網(wǎng)絡(luò)強連通時，私人觀念和表達觀念總是能快速收斂到一個穩(wěn)定的狀態(tài)，但穩(wěn)態(tài)處的私人觀念和表達觀念僅依賴于初始的私人觀念，與此同時，初始的表達觀念在演化的過程中被遺忘。如果社會網(wǎng)絡(luò)中不存在執(zhí)拗個體，個體的觀念將達到一致。觀念在穩(wěn)態(tài)處的分歧程度也被詳細(xì)地分析，在一些特殊的條件下，可以通過表達觀念的分歧程度來估計私人觀念的分歧程度。最后我們利用數(shù)值仿真對所得結(jié)果進行了驗證。

關(guān)鍵詞：觀念動力學(xué)；私人觀念和表達觀念；收斂；一致

中圖分類號：O193 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1001-2443（2024）03-0211-06

引言

近年來，觀念動力學(xué)引起了控制理論，社會學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域的廣泛關(guān)注［1-2］。觀念動力學(xué)主要研究社會網(wǎng)絡(luò)中觀念或行為的產(chǎn)生、擴散和聚合［3-4］。Degroot 模型［5］是經(jīng)典的觀念動力學(xué)模型之一，它研究了社會個體如何通過社會網(wǎng)絡(luò)交換他們的觀念從而在某個共同的問題上達成一致的過程。Friedkin-Johnsen模型［6］拓廣了Degroot 模型，它考慮了社會網(wǎng)絡(luò)中可能存在的執(zhí)拗個體。由于執(zhí)拗個體的存在，在Friedkin-Johnsen模型中觀念很難達成一致，社會個體往往會被剖分成幾個聚類。考慮到觀念相近的個體更有意愿進行相互的交流，Hegselmann-Krause 模型［7］中被提出來表征這種現(xiàn)象。在Hegselmann-Krause 模型中，每個社會個體都有一個置信邊界，個體只接受其置信邊界以內(nèi)的觀念，而忽視置信邊界之外的觀念。結(jié)合Degroot 模型和Friedkin-Johnsen模型，文獻［8］提出了Degroot- Friedkin模型對社會網(wǎng)絡(luò)中社會權(quán)利的演化進行了討論，給出了一般條件下社會權(quán)利的演化規(guī)律。目前所見的大多數(shù)觀念動力學(xué)模型都是基于以上的四個模型的拓展和改進，關(guān)于觀念動力學(xué)的更多的模型，可以參考文獻［3］。

應(yīng)該指出的是，大多數(shù)觀念動力學(xué)模型的文獻都集中于個體的表達觀念，而忽略個體的私人觀念［1-8］。然而，在很多情況下，個體的私人觀念和表達觀念之間存在持續(xù)的差異［9-10］。例如，在刑事審判中，超過三分之一的陪審員會私下投票反對陪審團的最終決定［11］。無論是發(fā)生在陪審團、公司董事會還是普通民眾中，對于一個敏感的政治問題，私人觀念和表達觀念之間巨大而持續(xù)的差異所帶來的潛在社會后果是顯而易見的［11］。因此，文獻［9］提出了一類帶有表達觀念和私人觀念的觀念動力學(xué)模型用來研究私人觀念和表達觀念產(chǎn)生差異的原因。應(yīng)該指出的是，在文獻［9］中，假設(shè)所有個體都是執(zhí)拗個體，而忽略了非執(zhí)拗個體的存在性，在本文中，我們將研究在非執(zhí)拗個體存在的情況下，表達觀念和私人觀念是如何聯(lián)合共演的，從而對文獻［9］的結(jié)果進行有效的拓廣。

在本文中，我們研究了一類帶有私人觀念和表達觀念的觀念動力學(xué)模型，利用矩陣?yán)碚撆c圖論，在非執(zhí)拗個體存在的情況下，得到了觀念收斂的若干條件，并對最終觀念的分歧程度進行分析，得到了一種利用表達觀念的差異性評估私人觀念的差異程度的方法，并通過數(shù)值仿真驗證了我們所得的結(jié)論的有效性。

1 預(yù)備知識

1.1 符號

在本文中，[Rm×n]和[Rn]分別代表[m×n]維的實矩陣和[n]維實列向量，[1n]和[0n]分別代表所有分量都是1和0的[n]維列向量，[In]表示[n]階單位矩陣。對于矩陣[A∈Rm×n]，第[i]行[j]列的元素用[aij]來表示。一個矩陣A被認(rèn)為是非負(fù)的，即每一個元素[aij]都是非負(fù)的，用[A≥0]來表示。[ρ（A）]表示[A]的譜半徑。如果方陣A滿足[aij≥0，j=1naij=1]，則稱矩陣A是行隨機的。

1.2 圖論

通常一個網(wǎng)絡(luò)圖可以被描述為[G（V，E）]，其中[V={V1，V2，…，Vn}]是節(jié)點集，[E∈V×V]是邊集，[eij∈E（（vi，vj）∈E）]表示從節(jié)點[i]到節(jié)點[j]有一條邊，此時，節(jié)點[i]稱為節(jié)點[j]的鄰居，集合[Ni={vj：（vj，vi）∈E}]稱為[vi]的鄰居集。[eii]表示自環(huán)。對于一個非負(fù)矩陣[A]，如果[aijgt;0]當(dāng)且僅當(dāng)[eji∈E]，則稱[A]為圖[G（V，E）]的加權(quán)鄰接矩陣，這時候也用[G（A）]來表示圖[G（V，E）]。如果存在一個節(jié)點[i]，使得節(jié)點[i]到其他所有節(jié)點都存在至少一條路徑，那么我們稱圖[G（V，E）]包含支撐樹，其中節(jié)點[i]是根節(jié)點。如果每個節(jié)點都是根節(jié)點，則稱[G（V，E）]是強連通。

1.3 模型描述

在本文中，我們考慮一類帶有私人觀念和表達觀念的觀念動力學(xué)模型。在一個由n個社會個體組成的社會網(wǎng)絡(luò)中，在時間[t={0，1，2，3，…}]時，個體[i]對某一特定話題的私人觀念和表達觀念分別用[yi（t）]和[yi（t）]來表示，一般的[yi（t）]和[yi（t）]是不一樣的，我們認(rèn)為[yi（t）]是個體的真實觀念，個體會因為各種各樣的原因可能不會發(fā)表他的真實觀念[yi（t）]，例如：敏感的政治問題，社會壓力。在我們的模型中，個體要遵循群體壓力而發(fā)表自己的表達觀點，所以私人觀念和表達觀念是共演的，個體[i]的私人觀念演化如下：

在這里常數(shù)[λi∈[0，1]]代表著個體[i]對人際交往影響的敏感度，[1-λi]代表著個體[i]對初始觀念的執(zhí)拗程度，當(dāng)[λi=1]，稱個體[i]是非執(zhí)拗個體，這意味著個體[i]很容易被其他的個體影響和說服。如果[0≤λilt;1]，我們稱個體[i]是執(zhí)拗個體，當(dāng)執(zhí)拗個體與其他個體交流是，執(zhí)拗個體在一定程度上保持他的初始觀念。特別的，當(dāng)[λi=0]，我們稱個體[i]是完全執(zhí)拗個體，這意味著個體[i]拒絕和其他個體溝通，或者忽視其他的個體觀念，完全執(zhí)拗個體的觀念始終不會發(fā)生改變。在等式（1）中，[wij]表示個體[j]對個體[i]的影響程度，在這篇文章中我們要求[W=[wij]]是行隨機矩陣。在等式（2）中，[yi.lavg（t）=j∈Nimijyi（t）]表示個體鄰居的平均表達觀念，代表著在t時刻個體[i]所感受到的局部群體標(biāo)準(zhǔn)或者規(guī)范。我們假設(shè)[wij]和[mij]同構(gòu)，即滿足[wijgt;0?mijgt;0]和[j∈Nimij=1]，即矩陣[M=[mij]]也是行隨機的，[G（W）]和[G（M）]有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，但邊的權(quán)重可能是不同的。一個自然的選擇是[mij=1Ni]，當(dāng)然也可以用方案[mij=wij]代替，常數(shù)[?i∈（0，1）]編碼了個體[i]對遵守群體標(biāo)準(zhǔn)壓力的彈性。

注1：與現(xiàn)有許多模型不同，我們的模型同時考慮私人觀念和表達觀念。當(dāng)[?i=1]時，我們的模型就變成了標(biāo)準(zhǔn)的Friedkin-Johnsen模型；當(dāng)[?i=λi=1]時，我們的模型回歸到經(jīng)典的Degroot模型，因此，我們的模型是對Degroot模型和Friedkin-Johnsen模型進行了有效拓廣。

注2：局部群體標(biāo)準(zhǔn)[yi.lavg（t）]確保了模型在大型網(wǎng)絡(luò)中的可擴展性，在小型的社會網(wǎng)絡(luò)中，考慮到所有個體之間可能都是相互熟悉的，他們之間可以進行自由的信息交流，這時，可以用全局群體標(biāo)準(zhǔn)

[yavg（t）=1nj=1nyj（t）]代替局部群體標(biāo)準(zhǔn)。

2 主要結(jié)果

為了更好的研究系統(tǒng)（1）和（2），我們將把系統(tǒng)（1）和（2）改寫成更加緊湊的形式。讓[yi（t）=[y1（t），y2（t），…，yn（t）]T]和[yi（t）=[y1（t），y2（t），…，yn（t）]T]表示影響網(wǎng)絡(luò)中n個社會個體的私人觀念和表達觀念的列向量，讓[W=W+W]，其中[W=diag[w11，w22，…，wnn]]，令[Λ=diag[λ1，λ2，...，λn]]和[Φ=diag[?1，?2，...，?n]]，將系統(tǒng)（2）帶入系統(tǒng)（1），根據(jù)[yi.lavg（t）=j∈Nimijyi（t）]，我們可以得到

[yi（t+1）=λiwiiyi（t）+λij≠inwij?jyj（t）+（1-λi）yi（0）+" " " " " " " " λij≠inwij（1-?j）j∈Njmjkyk（t-1）] （3）

從等式（2）和等式（3），我們可以得到：

[y（t+1）y（t）=Py（t）y（t-1）+（In-Λ）y（0）0n] （4）

其中P的表示如下：

[P=P11P12P21P22=Λ（W+WΦ）ΛW（In-Φ）MΦ（In-Φ）M] （5）

為了獲得我們主要結(jié)果，我們還需要下面的假設(shè)和引理。

假設(shè)1 社會網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)銰（W）是強連通的。

引理1［12］ 設(shè)矩陣A是一個行隨機矩陣 ，如果G（A）包含支撐樹，并且所以的根節(jié)點組成的強連通子圖是非周期的，那么1是A的唯一的最大的模特征值，其代數(shù)重數(shù)為1。

引理2 如果假設(shè)1成立，系統(tǒng)（1）中存在執(zhí)拗個體，則[ρ（P）lt;1]，[ρ（P11）lt;1]。

證明 構(gòu)建矩陣[F=10Τ2nαP]，其中[α=12n-P12n]，[F]表示的是[R2n+1×2n+1]的一個矩陣。[G（F）]的頂點標(biāo)注成[N0，N1，…，N2n]，[G（P）]的頂點為[N1，N2，…，N2n]。根據(jù)[α]的構(gòu)造，我們可以得到，從[N0]到所有執(zhí)拗個體都有一條邊。由于圖[G（W）]是強連通，所以圖[G（W+WΦ）]也是強連通，這意味著任何一個非執(zhí)拗個體都存在一個執(zhí)拗個體，該執(zhí)拗個體到非執(zhí)拗個體有至少一條路徑。這意味著，節(jié)點[N0]到節(jié)點[N1，N2，…，Nn]有至少一條路徑。又因為[P21=Φ]，節(jié)點[Nj]到節(jié)點[Nn+j]恰有一條邊，這意味著頂點[N0]是[G（F）]唯一的根節(jié)點。根據(jù)引理1，1是[F]的唯一的最大的模特征值，其代數(shù)重數(shù)為1。又[F]的特征多項式為[|λIn-F|=λ-10Τ2n-αλIn-P=（λ-1）λIn-P]。因此，對于矩陣[P]，所有特征值的模都小于1，即[ρ（P）lt;1]。類似的，可以證明[ρ（P11）lt;1]。

引理3［13］ 假設(shè)[A，B，C，D∈Rn×n]，如果[A，D，（A-BD-1C）]是非奇異的，[（D-CA-1B）]也是非奇異的，則

[ABCD-1=（A-BD-1C）-1-A-1BD-D-1CA（D-CA-1B）-1]

其中[A=（A-BD-1C）-1，D=（D-CA-1B）-1]。

接下來，我們將給出本文的一個重要結(jié)果。

定理1 如果假設(shè)1成立，且在社會網(wǎng)絡(luò)存在執(zhí)拗個體，則系統(tǒng)（1）和（2）是指數(shù)收斂的，且

[limt→∞y（t）=y?=Ry（0）， limt→∞y（t）=y?=SRy（0）=Sy?] （6）

其中[R=（In-P11-P12（In-P22）-1P21）-1（In-Λ）]，S=（In-P22）-1P21都是非負(fù)的行隨機矩陣。

證明 根據(jù)引理2，如果假設(shè)1成立，且在社會網(wǎng)絡(luò)存在執(zhí)拗個體，則[ρ（P）lt;1]，注意到系統(tǒng)（4）是具有恒定的輸入[[（（In-Λ）y（0））Τ，0nΤ]Τ]的線性時不變系統(tǒng)，根據(jù)文獻［14］有關(guān)線性系統(tǒng)的理論，系統(tǒng)（4）指數(shù)收斂，且

[limt→∞y（t）limt→∞y（t）=（I2n-P）-1（In-Λ）y（0）0n=In-P11-P12-P21In-P22-1（In-Λ）y（0）0n]

" " [=A（In-P11）-1P12D（In-P22）-1P21AIn-P22（In-Λ）y（0）0n]

其中，[A=（In-P11-P12（In-P22）-1P21）-1]，[D=（In-P22-P21（In-P11）-1P12）-1]。所以[limt→∞y（t）=Ry（0） ]，[limt→∞y（t）=SRy（0）]。接下來我們將證明[R，S]是非負(fù)的行隨機矩陣。因為[（I2n-P）-1=k=0∞Pk≥0]，[（In-P22）-1=k=0∞P22k≥0]，所以[A≥0，S≥0]，進而[R≥0]。即[S]和[R]都是非負(fù)矩陣。又[S-1=（（In-P22）-1P21）-1=P21-1（In-P22）=Φ-1（In-P22）]，[S-11n=][Φ-1（In-P22）1n=1n]，因此[S]是行隨機矩陣。另一方面，[A-1=In-P11（In-P22）-1P21][=In-P11-P12S]，[A-11n=（In-P11-P12S）1n=In1n-P111n-P121n=In1n-（P11+P12）1n=][（In-Λ）1n]，又因為[R1n=A（In-Λ）1n=AA-11n=1n]，因此[R]是行隨機的。這樣就完成了定理的證明。

注3 文獻［9］指出，當(dāng)所有個體都是不完全執(zhí)拗個體時（[0lt;λilt;1]），在網(wǎng)絡(luò)強連通的情況下，所有觀念都將快速的收斂。定理1表明，即使存在非執(zhí)拗個體（[λi=1]）和完全執(zhí)拗的個體（[λi=0]），只要網(wǎng)絡(luò)是連通的，表達觀念和私人觀念都將快速的收斂的一個穩(wěn)定的狀態(tài)，這表明所得結(jié)果具有更好的保守性。

當(dāng)整個社會網(wǎng)絡(luò)中不存在執(zhí)拗個體時，我們有下面的結(jié)果。

推論1 如果假設(shè)1成立，社會網(wǎng)絡(luò)中不存在執(zhí)拗個體，且G（W）是非周期的，則所有個體的觀念將達到一致，即：[limt→∞y（t）=limt→∞y（t）=α1n]，其中實數(shù)[α]依賴于W，M和[Φ]。

證明 當(dāng)社會網(wǎng)絡(luò)中不存在執(zhí)拗個體時，系統(tǒng)（1）和（2）將變成經(jīng)典的DeGroot模型，根據(jù)文獻［5］關(guān)于DeGroot模型結(jié)果，這里我們僅需證明當(dāng)所有[λi]都取1時，G（P）是強連通的和非周期的即可。顯然，當(dāng)圖[G（W）]是強聯(lián)通和非周期的時，圖[G（P11）]和圖[G（P22）]也是強聯(lián)通和非周期的。注意到[P12]和[P21]都不是零矩陣，因此圖[G（P）]是強聯(lián)通和非周期的。這樣我們就完成推論1的證明。

推論1表明，執(zhí)拗個體是導(dǎo)致表達觀念和私人觀念產(chǎn)生差異的一個重要因素。

個體觀念在穩(wěn)態(tài)處的差異程度一定程度上反映了社會個體的和諧程度，因此分析個體觀念在穩(wěn)態(tài)處的差異十分必要。對于系統(tǒng)（1）和（2）在穩(wěn)態(tài)處的觀念差異，我們有以下結(jié)果。

定理2 如果假設(shè)1成立，則最終的觀念服從以下不等式：

[y（0）max≥y?max≥y?max，" y（0）min≤y?min≤" y?min] （7）

在這里，[y?]和[y?" ]表示最終的私人觀念和表達觀念，[xmax=max{x1，x2，...，xn}，][xmin=min{x1，x2，...，xn}]對于任意的[x∈Rn]。

證明 根據(jù)定理1，[y?=Ry（0）]，[y?=Sy?]，[R]，[S]是行隨機矩陣，所以[y?max=（Sy?）max≤[S（y?max1n）]max=y?max ，y?max=（Ry（0））max≤[R（y（0）max1n）]max=y（0）max，]即[y（0）max≥][y?max≥y?max]，同理，[y（0）min≤y?min≤y?min]。

這一結(jié)果表明，當(dāng)社會網(wǎng)絡(luò)強連通時，最終的表達觀念和私人觀念存在持續(xù)的分歧。由于表達觀念能夠被其他個體充分感知，因此最終的表達觀念的分歧程度往往是能夠被感知的，而最終的私人觀念的分歧程度則是不容易感知的，所以如何通過最終的表達觀念的分歧程度來評估最終私人觀念的分歧程度就非常具有一定的現(xiàn)實意義。對此，我們有如下推論。

推論2 如果假設(shè)1成立。在系統(tǒng)（2）中。對于任意的[i∈I]，[yi.lavg（t-1）]用[yavg=n-1j=1nyi]來代替，令[ ?max=maxi∈I?i]，[?min=mini∈I?i]，[k（?）=1-?min?max（1-?max）][∈（0，1）]，則

[y?max-y?mink（?）≤y?max-y?min] （8）

證明 定義函數(shù)[V（x）=xmax-xmin]，[x∈Rn]，則[V（y（t））]代表觀念[y（t）]的分歧程度，對于一個行隨機矩陣[A]，定義遍歷系數(shù)[τ（A）=1-mini，j∈{1，…，n}s=1nmin{ais，ajs}]，則對函數(shù)[V（x）]有[V（Ax）≤τ（A）V（x）]［15］，根據(jù)定理1，[V（y?）=V（Sy?）≤τ（S）V（y?）]，這意味著[V（y?）/τ（S）≤V（y?）]，另一方面，當(dāng)[M=n-11n1Τn]時，根據(jù)文獻［11］的結(jié)果，我們有[τ（S）≤k（?）]。因此[V（y?）≤k（?）V（y?）]。即[y?max-y?mink（?）≤y?max][-y?min]。這樣我們就完成了證明。

注4：明顯的，對于一些小型的社會網(wǎng)絡(luò)，社會個體之間往往都是相互熟悉的，他們彼此之間能夠進行充分的交流，這個時候[yi.lavg（t-1）]可以用[yavg=n-1j=1nyj]來代替，從而使得我們可以利用（8）式來估計最終私人觀念的分歧程度，這使得推論2具有較強的現(xiàn)實意義。

3 仿真

在這一部分中，我們將通過一個例子來驗證我們獲得的結(jié)果。我們考慮一個具有7個社會個體的社會網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋄W]，[M]和固執(zhí)系數(shù)[Λ]如下：

[Λ=diag[0.1，0.5，0.3，1，1，1，1]]。根據(jù)[W]，[M]和[Λ]可以看出，[W～M]，并且[W]和[M]都是強連通和非周期的，有3個社會個體是非執(zhí)拗個體。隨機生成[?i∈（0，1）]，根據(jù)定理1，私人觀念和表達觀念都收斂到一個穩(wěn)定狀態(tài)，觀念的演化如圖1所示。從圖1中，可以看出觀念很快收斂到一個穩(wěn)定的狀態(tài)，并且最終表達觀念的分歧也嚴(yán)格小于最終私人觀念之間的分歧。另外，如果[M=n-11n1Τn]，最大和最小的彈性值分別為[?max=0.7 ，" ?min=0.1]，則[k（?）=0.957]，我們可以得到[y?max-y?min=0.2459]， [y?max-y?min=0.5011]，這意味著[y?max-y?mink（?）]可以作為[y?max-y?min]的下界，這進一步印證了我們所得結(jié)論的正確性。假設(shè)這個社會網(wǎng)絡(luò)中不存在執(zhí)拗個體，根據(jù)推理1，社會個體的將達到一致，其觀念的演化如圖2所示，根據(jù)圖2，明顯的可以看出，社會個體的所有觀念快速的達到了一致。這表明了執(zhí)拗個體往往更容易引起觀念的差異，從而對社會網(wǎng)絡(luò)的和諧性產(chǎn)生不良的影響。

4 結(jié)論

在這篇文章中，我們討論了一類帶有私人觀念和表達觀念的觀念動力學(xué)模型，研究在社會網(wǎng)絡(luò)中，私人觀念和表達觀念的差異的一般性的理論框架。個體的觀念受網(wǎng)絡(luò)拓?fù)洌舾卸纫约皬椥灾档挠绊懀谙到y(tǒng)強聯(lián)通的情況下，模型總是能以指數(shù)快的速度收斂到穩(wěn)定的狀態(tài)，除非不存在執(zhí)拗個體，否則，私人觀念和表達觀念之間的差異在穩(wěn)態(tài)觀念處將持續(xù)存在。對于一些小型的社會網(wǎng)絡(luò)，我們可以通過最終表達觀念的分歧程度來估計最終私人觀念的差異程度。最后，我們通過一個數(shù)值仿真驗證了我們的結(jié)果。

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An Analysis of Opinion Dynamics Models with Private and Expressed Opinions

ZHU Yi-xin， HE Guang， WU Yan-lei

（School of Mathmatics， Physics and Finance，Anhui Polytechnic University，Wuhu 241000，China）

Abstract： In this paper， an opinion dynamics model with private and expressed opinions is analyzed. By utilizing the relevant theories of matrix analysis， the conditions of system convergence are obtained. It has been found that when social networks are strongly connected， private and expressed opinions always converge quickly to steady opinions. At the same time， the steady opinions only depends on initial private opinions， while initial expressed opinions are forgotten in the process of evolution. If there are no stubborn individuals in the social network， opinions will reach a consensus. The disagreement level at steady opinions is also analyzed， and under some special conditions， the disagreement level of private opinions can be estimated by the disagreement level of expressed opinions. Finally， a numerical simulation example is used to prove this result.

Key words： opinion dynamics; private and expressed opinions; convergence; consensus

（責(zé)任編輯：馬乃玉）